专题10.4 统计及一元线性回归（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.4 统计及一元线性回归 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：三种抽样方法的适用范围 4 考点二：分层抽样 4 考点三：系统抽样 4 考点四：频率分布直方图 4 考点五：样本的均值、方差与标准差 6 考点六：一元线性回归 6 【考纲要求】 1. 了解随机抽样的意义，理解总体与样本，理解随机抽样常用的方法； 2. 了解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 3. 理解样本平均数、方差、标准差，会用样本平均数、方差、标准差估计总体平均数、方差、标准差； 4. 能运用统计初步知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.三种抽样方法的适用范围 2.分层抽样 3.系统抽样 4.频率分布直方图 5.样本的均值、方差与标准差 6.一元线性回归 【知识导图】 【知识清单】 1.有关概念 (1)总体：所考察对象的______的全体． (2)个体：构成总体的______数值指标． (3)样本：从______中抽出的一部分． (4)样本容量：样本中个体的______． 2.随机抽样 (1)简单随机抽样 ①简单随机抽样：设一个总体含有N个个体，从中逐个______地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体中的每个个体被抽到的机会______，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样． ②简单随机样本：用简单随机抽样抽取的样本． ③简单随机抽样的具体做法：______和______． (2)系统抽样 ①系统抽样：当总体元素个数很大时，可以将总体分成______的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取______个体，得到所需要的样本． ②系统抽样的步骤 a． 先将总体的N个个体编号； b． 确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取；当不是整数时，从总体中剔除一些个体使剩下个体个数N′能被n______，这时k＝； c． 在第1个号码段用简单随机抽样法确定一个个体编号l(l≤k)； d． 依次得到其他的个体编码l＋k，______，…，l＋(n－1)k. (3)分层抽样 ①分层抽样：在抽样时，将总体分成______，然后按照______，从各层______一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本． ②分层抽样的基本步骤 a．明确分层；b.计算抽样比例；c.计算各层样本容量；d.合并各层得到样本． 3.三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 系统抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 4.频率与概率 将一组数据按要求分成若干个组，各组内数据个数的______叫作该组的频数，每组的频数除以______，得各小组的频率，频率反映每组数据在样本中所占比例的大小． 5.求频率分布表、频率分布直方图的步骤 (1)求极差(极差＝最大值－最小值). (2)决定组数与组距(组距＝). (3)决定分点． (4)列频率分布表(频率＝). (5)绘制频率分布直方图(各个小长方形的面积分别等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1). 6．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)n个样本数据x1，x2，x3，…，xn，则平均数＝． (2)设样本的元素为x1，x2，x3，…，xn，样本的平均数为， 则s2＝，s＝． 其中s2表示样本方差，s表示样本标准差． (3)常用的数据直观表示的方法有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图． 特别提醒：标准差是反映数据离散程度的量，标准差越大数据越分散，标准差越小数据越集中． 7．一元线性回归 (1)Y对x的回归方程记为，b叫作______． (2)一般地，a，b满足公式 【考点分类剖析】 考点一：三种抽样方法的适用范围 例1．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．不确定 【变式探究】某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 B．①用分层抽样法，②用随机抽样法 C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 D．①用分层抽样法，②用系统抽样法 考点二：分层抽样 例2．某企业甲车间有人，乙车间有人，现采用分层抽样的方法在这两个车间中抽取人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数为（　　） A．5 B． C．8 D．9 【变式探究】某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多件，则甲种产品被抽取的件数为 . 考点三：系统抽样 例3.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本的个体编号依次为005，021，…，则样本中最后一个个体编号是 . 【变式探究】从123个编号中抽取12个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则剔除编号的个数及分段间隔分别是（    ） A．3，10 B．10，12 C．5，10 D．5，12 考点四：频率分布直方图 例4．某职业学校为了了解学生的体质健康水平，随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据分组：，绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远195cm以下成绩为不合格，195cm及以上成绩为合格，255cm及以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校800名男生中立定跳远项目不合格的人数为（    ） A．96 B．48 C．64 D．24 【变式探究】1.如图所示为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A．样本数据落在上的频率为0.4 B．若样本容量为50，则样本数据落在上的频数为4 C．若样本容量为50，则样本数据落在上的频数为20 D．由频率分布立方图可得出结论：估计总体数据大约有分布在上 2.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2% 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（    ）. A．参加活动次数是3场的学生约为360人 B．参加活动次数是2场或4场的学生约为480人 C．参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D．参加活动次数不低于4场的学生约为360人 考点五：样本的均值、方差与标准差 例5.现有一组数据6，8，8，m，11，12，若它们的平均值是9，则其标准差等于 【变式探究】1.已知一组样本数据是，，，，，则样本方差是 . 2.某中学五个学生的跳高成绩（单位：米）分别为1.68，1.53，1.50，1.72，a，他们的平均成绩为1.61米，则 ． 考点六：一元线性回归 例6.某种型号的机器使用总时间x（年）（其中，）与所需支出的维修总费用y（万元）的统计数据如下表.根据表中数据可得y与x之间的线性回归方程为，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年（填整数） 使用时间x/年 6 8 10 12 维修费用y/万元 2 3 5 6 【变式探究】1.已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 2.已知变量y与x具有线性相关关系，若，，且y与x的回归直线的斜率为2，则回归直线方程是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.4 统计及一元线性回归 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 4 考点一：三种抽样方法的适用范围 4 考点二：分层抽样 5 考点三：系统抽样 6 考点四：频率分布直方图 6 考点五：样本的均值、方差与标准差 8 考点六：一元线性回归 9 【考纲要求】 1. 了解随机抽样的意义，理解总体与样本，理解随机抽样常用的方法； 2. 了解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 3. 理解样本平均数、方差、标准差，会用样本平均数、方差、标准差估计总体平均数、方差、标准差； 4. 能运用统计初步知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.三种抽样方法的适用范围 2.分层抽样 3.系统抽样 4.频率分布直方图 5.样本的均值、方差与标准差 6.一元线性回归 【知识导图】 【知识清单】 1.有关概念 (1)总体：所考察对象的某一数值指标的全体． (2)个体：构成总体的每一个数值指标． (3)样本：从总体中抽出的一部分． (4)样本容量：样本中个体的数量． 2.随机抽样 (1)简单随机抽样 ①简单随机抽样：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体中的每个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样． ②简单随机样本：用简单随机抽样抽取的样本． ③简单随机抽样的具体做法：抽签法和随机数表法． (2)系统抽样 ①系统抽样：当总体元素个数很大时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本． ②系统抽样的步骤 a． 先将总体的N个个体编号； b． 确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取；当不是整数时，从总体中剔除一些个体使剩下个体个数N′能被n整除，这时k＝； c． 在第1个号码段用简单随机抽样法确定一个个体编号l(l≤k)； d． 依次得到其他的个体编码l＋k，l+2k，…，l＋(n－1)k. (3)分层抽样 ①分层抽样：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本． ②分层抽样的基本步骤 a．明确分层；b.计算抽样比例；c.计算各层样本容量；d.合并各层得到样本． 3.三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 系统抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 将总体分成几层，分层进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 4.频率与概率 将一组数据按要求分成若干个组，各组内数据个数的累计数叫作该组的频数，每组的频数除以样本容量，得各小组的频率，频率反映每组数据在样本中所占比例的大小． 5.求频率分布表、频率分布直方图的步骤 (1)求极差(极差＝最大值－最小值). (2)决定组数与组距(组距＝). (3)决定分点． (4)列频率分布表(频率＝). (5)绘制频率分布直方图(各个小长方形的面积分别等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1). 6．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)n个样本数据x1，x2，x3，…，xn，则平均数＝． (2)设样本的元素为x1，x2，x3，…，xn，样本的平均数为， 则s2＝，s＝． 其中s2表示样本方差，s表示样本标准差． (3)常用的数据直观表示的方法有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图． 特别提醒：标准差是反映数据离散程度的量，标准差越大数据越分散，标准差越小数据越集中． 7．一元线性回归 (1)Y对x的回归方程记为，b叫作回归系数． (2)一般地，a，b满足公式 【考点分类剖析】 考点一：三种抽样方法的适用范围 例1．为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是（    ） A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．不确定 【答案】A 【分析】根据随机抽样的定义即可解得. 【详解】选项A：简单随机抽样：每个样本单位被抽中的概率相等，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性， 选项B：系统抽样：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本， 选项C：分层抽样法，也叫类型抽样法，将总体单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在类型或层中随机抽取样本单位， 由题可知这种抽查符合简单随机抽样的特征，故A正确，BCD错误. 故选：A. 【变式探究】某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；那么，完成上述2项调查应采用的抽样方法是（    ） A．①用随机抽样法，②用系统抽样法 B．①用分层抽样法，②用随机抽样法 C．①用系统抽样法，②用分层抽样法 D．①用分层抽样法，②用系统抽样法 【答案】B 【分析】根据随机抽样法、系统抽样法和分层抽样法的概念及特点，对题干进行分析，即可得出答案. 【详解】随机抽样：设一个总体含有有限个个体，且其个体总数为N， 如果通过逐个抽取（不放回）的方式从中抽取一个样本， 且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等，这种抽样称为随机抽样. 系统抽样：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分， 然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体， 得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样. 分层抽样：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本能更充分地反映总体的情况， 通常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样称为分层抽样. 因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显， 所以根据三种抽样方法的概念和特点可知：①用分层抽样法. 又因为某校高一年级有12名女排球运动员， 要从中选出3人调查学习负担情况的调查中，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小， 所以根据三种抽样方法的概念和特点可知：②用随机抽样法. 故选：B. 考点二：分层抽样 例2．某企业甲车间有人，乙车间有人，现采用分层抽样的方法在这两个车间中抽取人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数为（　　） A．5 B． C．8 D．9 【答案】B 【分析】首先计算出抽样比，再运用甲车间的人数乘抽样比即可. 【详解】已知某企业甲车间有人，乙车间有人， 则总数为人，抽取人进行技能考核， 所以抽样比为， 所以从甲车间抽取的人数为人. 故选：B. 【变式探究】某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种产品比乙种产品多件，则甲种产品被抽取的件数为 . 【答案】 【分析】甲种产品被抽取的件数为，乙种产品被抽取的件数为，按照比例即可求解. 【详解】设甲种产品被抽取的件数为，则乙种产品被抽取的件数为， 因为甲、乙两种产品的数量之比为， 所以，即， 解得. 故答案为： 考点三：系统抽样 例3.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本的个体编号依次为005，021，…，则样本中最后一个个体编号是 . 【答案】469 【分析】系统抽样方法的概念，确定抽样间隔及抽取的个数，进而可得答案. 【详解】由题意可知，抽样间隔为，共抽取个， 则样本中最后一个个体编号是， 故答案为：469． 【变式探究】从123个编号中抽取12个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则剔除编号的个数及分段间隔分别是（    ） A．3，10 B．10，12 C．5，10 D．5，12 【答案】A 【分析】先利用简单随机抽样剔除3个，再将120个数进行编号，将其平均分成10组即可． 【详解】若采用系统抽样的方法，123不能被12整除，故先利用简单随机抽样剔除3个； 然后将120个数进行编号，将其平均分成10组，这120个编号需要被分成12段，每段包含相同数量的编号.故每组12个数，则抽样的间隔为10. 故选：A. 考点四：频率分布直方图 例4．某职业学校为了了解学生的体质健康水平，随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据分组：，绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远195cm以下成绩为不合格，195cm及以上成绩为合格，255cm及以上成绩为优秀，根据图中的数据估计全校800名男生中立定跳远项目不合格的人数为（    ） A．96 B．48 C．64 D．24 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中所有频率之和等于1求出，再根据频率分布直方图求出对应频率，根据频率求出相应人数即可. 【详解】由频率分布直方图可知，，即， 立定跳远项目成绩为不合格的频率是， 故估计全校800名男生中立定跳远项目成绩为不合格的人数为. 故选：B 【变式探究】1.如图所示为某样本数据的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A．样本数据落在上的频率为0.4 B．若样本容量为50，则样本数据落在上的频数为4 C．若样本容量为50，则样本数据落在上的频数为20 D．由频率分布立方图可得出结论：估计总体数据大约有分布在上 【答案】B 【分析】根据频率直方图中频数、频率及样本容量的关系对给定的四个选项逐个计算判定即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图知，样本数据落在的频率为，故A选项正确； 对于B选项，样本数据落在上的频率是，若样本容量为50，则频数为，故B选项不正确； 对于C选项，样本数据落在上的频率是，若样本容量为50，则频数为，故C选项正确； 对于D选项，样本数据落在上的频率为，故D选项正确. 故选：B. 2.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2% 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（    ）. A．参加活动次数是3场的学生约为360人 B．参加活动次数是2场或4场的学生约为480人 C．参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D．参加活动次数不低于4场的学生约为360人 【答案】D 【分析】利用样本占比为总体占比可求. 【详解】样本占比即为总体占比. 参加活动次数是3场的学生约为，错误； 参加活动次数是2场或4场的学生约为，错误； 参加活动次数不高于2场的学生约为，错误； 参加活动次数不低于4场的学生约为，正确； 故选：. 考点五：样本的均值、方差与标准差 例5.现有一组数据6，8，8，m，11，12，若它们的平均值是9，则其标准差等于 【答案】人教版：2；高教版： 【分析】根据均值公式先求出的值，再根据标准差公式求解. 【详解】解法1（人教版）：根据均值公式,得， 标准差. 故答案为：2. 解法2（高教版）：根据均值公式，得, 标准差. 故答案为：2（人教版）；   （高教版）. 【变式探究】1.已知一组样本数据是，，，，，则样本方差是 . 【答案】（高教版）；（人教版）2 【分析】先算出样本平均数，再根据方差计算公式即可解得. 【详解】由题，样本数据为， 则平均数为：， 解法一（对应高教版）： . 解法二（对应人教版）： . 故答案为：（高教版）；（人教版）2. 2.某中学五个学生的跳高成绩（单位：米）分别为1.68，1.53，1.50，1.72，a，他们的平均成绩为1.61米，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平均数公式代入求解即可. 【详解】数据为1.68，1.53，1.50，1.72，a，且平均成绩为1.61米， 所以， 解得. 故答案为：. 考点六：一元线性回归 例6.某种型号的机器使用总时间x（年）（其中，）与所需支出的维修总费用y（万元）的统计数据如下表.根据表中数据可得y与x之间的线性回归方程为，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用 年（填整数） 使用时间x/年 6 8 10 12 维修费用y/万元 2 3 5 6 【答案】20 【分析】根据所给数据求出中心点，代入方程可求出a，再由不等式即可得解. 【详解】由统计数据表可得， ，即线性回归方程的中心点为， 代入线性回归方程得，解得， 所以，即，解得， 由于x为正整数年，，故设备最多可使用20年. 故答案为：20. 【变式探究】1.已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 【答案】 【分析】将，代入方程即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：. 2.已知变量y与x具有线性相关关系，若，，且y与x的回归直线的斜率为2，则回归直线方程是 . 【答案】 【分析】由回归直线方程的定义求解即可. 【详解】因为变量y与x具有线性相关关系，且y与x的回归直线的斜率为2， 可设回归直线方程为. ，，，解得， 故回归直线方程是. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$