专题10.3 概率初步（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.3 概率初步 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：随机事件和样本空间 3 考点二：古典概率 3 考点三：频率与概率 4 考点四：互斥事件的概率 5 【考纲要求】 1. 了解样本空间、随机事件、基本事件的概念； 2. 了解古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质； 3. 能运用概率知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.随机事件与样本空间 2.古典概率 3.频率与概率 4.互斥事件的概率 【知识导图】 【知识清单】 1.随机事件和样本空间 (1)随机现象：在一定条件下，具有多种结果可能发生，但事先______哪一种结果将会发生的现象，称为随机现象． (2)随机试验：在同一条件下，研究某种随机现象所做的___称为随机试验，简称试验． (3)基本事件和样本空间：每次随机试验产生的结果都称为一个基本事件；所有______组成的集合称为随机试验的样本空间，通常用大写希腊字母Ω表示． (4)随机事件：一般地，我们把样本空间的非空真子集称为随机事件，简称______． (5)在一定条件下，______的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为______． 特别提醒：①基本事件是不能再分的最简单的随机事件． ②必然事件和不可能事件是随机事件的特殊情况． 2.古典概率 (1)古典概型的特点：①______，②______． (2)古典概率：在古典概型中，若事件A所包含的基本事件数为m，样本空间中基本事件的总数为n，我们就用______来描述事件A出现的可能性大小，并称为事件A发生的______，也称古典概率，记作P(A)＝(m≤n). 特别提醒：①0≤P(A)≤1； ②必然事件的概率等于______，不可能事件的概率等于______． 3.互斥事件及其概率 (1)互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为______． (2)和事件：一般地，当事件C发生则事件A与事件B至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作______． (3)互斥事件的加法公式：若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)＝______． 4.概率的统计定义 (1)频率：若在相同的条件下试验n次，其中事件A出现了m次，则称比值______为这次试验中事件A出现的频率． (2)概率的统计定义：一般地，在______进行同一个试验时，事件A出现的频率______总是接近某一个常数p(即 总是在p附近摆动)，这时就把p叫作事件A的概率，记作P(A)＝p. 【考点分类剖析】 考点一：随机事件和样本空间 例1．已知集合，集合，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点； (4)说出事件所表示的实际意义． 【变式探究】1.做抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．试求： (1)事件“出现点数之和等于7”包含哪几个基本事件？ (2)事件“出现点数之和大于10”包含哪几个基本事件？ 2.下列事件为随机事件的是（    ） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 考点二：古典概率 例2．袋中有10个只有颜色不同的小球，其中6个是黑球，4个是白球，甲、乙两人依次各取一球． (1)甲取到黑球，乙取到白球的概率是多少？ (2)甲、乙二人都取到黑球的概率是多少？ (3)甲、乙二人都取到白球的概率是多少？ 【变式探究】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 例3.有6件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求： (1)其中恰有1件次品的概率； (2)至少有一件次品的概率． 【变式探究】1.箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是（    ）. A． B． C． D． 2.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为（　　） A． B． C． D． 考点三：频率与概率 例4．某射击运动员为了检测自己近阶段的训练成果，做了一次射击测试．在这次测试中，他一共射击100次，击中10环的有85次，则这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是 ，频率是 ． 【变式探究】1.统计发现200辆汽车通过某段公路时，时速在内的汽车的频率是0.3，则时速在内的汽车辆数为（    ） A．90 B．80 C．60 D．40 2.在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的次数51，则“正面朝上”的频率为（    ） A．49 B．0.5 C．0.51 D．0.49 考点四：互斥事件的概率 例5.设事件A，B为互斥事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.35，则P(A∪B)＝________． 【变式探究】抛掷一颗质地均匀的骰子，求点数为奇数或2的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.3 概率初步 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：随机事件和样本空间 3 考点二：古典概率 4 考点三：频率与概率 6 考点四：互斥事件的概率 7 【考纲要求】 1. 了解样本空间、随机事件、基本事件的概念； 2. 了解古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质； 3. 能运用概率知识解决简单的实际问题. 【考向预测】 1.随机事件与样本空间 2.古典概率 3.频率与概率 4.互斥事件的概率 【知识导图】 【知识清单】 1.随机事件和样本空间 (1)随机现象：在一定条件下，具有多种结果可能发生，但事先不能确定哪一种结果将会发生的现象，称为随机现象． (2)随机试验：在同一条件下，研究某种随机现象所做的试验称为随机试验，简称试验． (3)基本事件和样本空间：每次随机试验产生的结果都称为一个基本事件；所有基本事件组成的集合称为随机试验的样本空间，通常用大写希腊字母Ω表示． (4)随机事件：一般地，我们把样本空间的非空真子集称为随机事件，简称事件． (5)在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为不可能事件． 特别提醒：①基本事件是不能再分的最简单的随机事件． ②必然事件和不可能事件是随机事件的特殊情况． 2.古典概率 (1)古典概型的特点：①有限性，②等可能性． (2)古典概率：在古典概型中，若事件A所包含的基本事件数为m，样本空间中基本事件的总数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，并称为事件A发生的概率，也称古典概率，记作P(A)＝(m≤n). 特别提醒：①0≤P(A)≤1； ②必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0． 3.互斥事件及其概率 (1)互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件． (2)和事件：一般地，当事件C发生则事件A与事件B至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作C＝A∪B． (3)互斥事件的加法公式：若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4.概率的统计定义 (1)频率：若在相同的条件下试验n次，其中事件A出现了m次，则称比值为这次试验中事件A出现的频率． (2)概率的统计定义：一般地，在大量重复进行同一个试验时，事件A出现的频率总是接近某一个常数p(即 总是在p附近摆动)，这时就把p叫作事件A的概率，记作P(A)＝p. 【考点分类剖析】 考点一：随机事件和样本空间 例1．已知集合，集合，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点； (4)说出事件所表示的实际意义． 【答案】(1)． (2)12 (3)，，，． (4)表示得到的点是第三象限内的点． 【分析】根据随机事件的相关概念进行作答. 【详解】（1）样本空间为 （2）由（1）知这个试验样本点的总数为12． （3）得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为：，，，． （4）表示得到的点是第三象限内的点． 【变式探究】1.做抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．试求： (1)事件“出现点数之和等于7”包含哪几个基本事件？ (2)事件“出现点数之和大于10”包含哪几个基本事件？ 【答案】(1)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)；(2)(5，6)，(6，5)，(6，6) 【解析】(1)事件“出现点数之和等于7”包含的基本事件为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1). (2)事件“出现点数之和大于10”包含的基本事件为(5，6)，(6，5)，(6，6). 2.下列事件为随机事件的是（    ） A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7 B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7 C．下周日下雨 D．没有水和空气，人也可以生存下去 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义即可判断. 【详解】对于A选项，投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7，是必然事件. 对于B选项，投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7，是不可能事件. 对于C选项，下周日下雨，是随机事件. 对于D选项，没有水和空气，人也可以生存下去，是不可能事件. 故选：C. 考点二：古典概率 例2．袋中有10个只有颜色不同的小球，其中6个是黑球，4个是白球，甲、乙两人依次各取一球． (1)甲取到黑球，乙取到白球的概率是多少？ (2)甲、乙二人都取到黑球的概率是多少？ (3)甲、乙二人都取到白球的概率是多少？ 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】甲、乙二人从10个球中依次各取一球的基本事件总数是n＝10×9＝90，这些基本事件是等可能的． 事件A“甲取到黑球，乙取到白球”所含基本事件个数m1＝6×4＝24， 事件B“甲、乙二人都取到黑球”所含基本事件个数m2＝6×5＝30， 事件C“甲、乙二人都取到白球”所含基本事件个数m3＝4×3＝12， 因此P(A)＝；P(B)＝；P(C)＝. 所以(1)概率为；(2)概率为；(3)概率为. 【变式探究】一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知正四面体玩具的四个面上分别标有这四个数字， 连续两次抛掷这个玩具的基本事件的总数为个， 其中两次向下的面上的数字之积为偶数的基本事件有， ，共个. 两次向下的面上的数字之积为偶数的概率. 故选：D. 例3.有6件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求： (1)其中恰有1件次品的概率； (2)至少有一件次品的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】】　(1)设事件A为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则P(A)＝ (2)设事件B为“从中随机抽取3件，则至少有一件次品”，则P(B)＝1－ 【变式探究】1.箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从箱子中6张黑色卡片和4张白色卡片中任取一张，共有不同的取法种. 其中黑色卡片有6张，则恰好取到黑色卡片的概率. 故选：D. 2.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由组合数求出全部的基本事件，再由分类计数原理和组合数求出所求的基本事件，由此即可得出所求的概率. 【详解】某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动， 现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数为， 选出的4人中有2人来自同一小组，另外2人来自不同小组的基本事件个数为， 选出的4人中有2人来自同一小组，另外2人也是来自同一小组的基本事件个数为， 选出的4人中至少有2人来自同一小组的基本事件个数为， 故选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为. 故选：A. 考点三：频率与概率 例4．某射击运动员为了检测自己近阶段的训练成果，做了一次射击测试．在这次测试中，他一共射击100次，击中10环的有85次，则这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是 ，频率是 ． 【答案】 85 0.85 【分析】根据频数、频率的概念即可解出. 【详解】由题意得这名射击运动员在这次测试中击中10环的频数是85，频率是． 故答案为：85；. 【变式探究】1.统计发现200辆汽车通过某段公路时，时速在内的汽车的频率是0.3，则时速在内的汽车辆数为（    ） A．90 B．80 C．60 D．40 【答案】C 【分析】根据样本的频率求解即可. 【详解】由时速在内的汽车的频率是0.3， 而共有200辆车通过该路段， 所以估计时速在内的汽车有辆. 故选：C. 2.在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的次数51，则“正面朝上”的频率为（    ） A．49 B．0.5 C．0.51 D．0.49 【答案】C 【分析】“正面向上”的次数与总次数的比值就是频率. 【详解】在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的次数51， 则“正面朝上”的频率为 故选：C. 考点四：互斥事件的概率 例5.设事件A，B为互斥事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.35，则P(A∪B)＝________． 【答案】0.85 【解析】因为互斥事件的概率加法公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(A∪B)＝0.5＋0.35＝0.85. 【变式探究】抛掷一颗质地均匀的骰子，求点数为奇数或2的概率． 【答案】 【详解】因为事件“点数为奇数”和事件“点数为2”为互斥事件， 故事件“点数为奇数或2”的概率为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$