专题10.2 二项式定理（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.2 二项式定理 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：求二项展开式的特定项 2 考点二：二项式系数性质的应用 3 【考纲要求】 1. 理解二项式定理，理解二项式系数的性质； 2. 理解二项式系数与项的系数的区别. 【考向预测】 1.求二项展开式的特定项 2.二项式系数性质的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.二项式定理 . 这个公式所表示的规律称为二项式定理，右边的多项式称为(a＋b)n的展开式，其中，(m＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数；叫作二项式展开式的通项公式． 2.二项式系数的性质 (1)根据二项式系数组成的“杨辉三角”可知，二项展开式中的系数除每行两端的1之外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即． (2)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． (3)二项展开式共有n+1项，如果二项式的幂指数n是偶数时，那么二项展开式的项数是奇数项，且中间一项即第项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数时，那么二项展开式的项数是偶数项，中间两项即第项和第项的二项式系数相等且最大． (4)(a＋b)n的二项式系数之和为2n，即． (5)(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1， 即． (6)二项式的系数之和可采用赋值法，令a=b=1可得. 【考点分类剖析】 考点一：求二项展开式的特定项 例1．在二项式(x－)10的展开式中，求： (1)第4项； (2)含x6的项； (3)常数项； (4)二项式系数最大的项． 【变式探究】1.的二项展开式中，二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 2.展开式中的常数项是（    ） A． B． C．20 D．15 3.的二项展开式中的系数为（    ） A．-80 B．80 C．-10 D．10 4.在的二项展开式中，第4项为 ． 考点二：二项式系数性质的应用 例2．已知二项式(a＋b)10，求： (1)第7项的二项式系数和系数； (2)二项展开式的所有二项式系数之和与系数之和． 【变式探究】1.若的展开式中二项式系数之和为，则展开式中的常数项为 ． 2.已知的展开式二项式系数和为，则展开式中常数项是 ． 3.若的展开式中第5项和第11项的二项式系数相等，则的值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 二项式定理 【考纲要求】 1 【考向预测】 2 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：求二项展开式的特定项 3 考点二：二项式系数性质的应用 5 【考纲要求】 1. 理解二项式定理，理解二项式系数的性质； 2. 理解二项式系数与项的系数的区别. 【考向预测】 1.求二项展开式的特定项 2.二项式系数性质的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.二项式定理 . 这个公式所表示的规律称为二项式定理，右边的多项式称为(a＋b)n的展开式，其中，(m＝0，1，2，…，n)叫作二项式系数；叫作二项式展开式的通项公式． 2.二项式系数的性质 (1)根据二项式系数组成的“杨辉三角”可知，二项展开式中的系数除每行两端的1之外，每个数字都等于它肩上两个数之和，即． (2)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即． (3)二项展开式共有n+1项，如果二项式的幂指数n是偶数时，那么二项展开式的项数是奇数项，且中间一项即第项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数时，那么二项展开式的项数是偶数项，中间两项即第项和第项的二项式系数相等且最大． (4)(a＋b)n的二项式系数之和为2n，即． (5)(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1， 即． (6)二项式的系数之和可采用赋值法，令a=b=1可得. 【考点分类剖析】 考点一：求二项展开式的特定项 例1．在二项式(x－)10的展开式中，求： (1)第4项； (2)含x6的项； (3)常数项； (4)二项式系数最大的项． 【答案】(1)－3 240x4;(2)405x6;(3)－61 236;(4)－61 236 【解析】(1)T4＝T3＋1＝ ＝－3 240x4， ∴第4项是－3 240x4. (2)∵Tm＋1＝ ∴10－2m＝6，即m＝2，∴含x6的项为T3＝T2＋1＝(－3)2＝405x6. (3)由(2)知10－2m＝0，即m＝5. ∴展开式的第6项是常数项，即T6＝T5＋1＝ (4)∵n＝10，∴展开式有11项，中间一项的二项式系数最大， 中间一项为第＋1＝6项． ∴T6＝T5＋1＝ 【变式探究】1.的二项展开式中，二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定二项式系数最大的项为最中间的项，根据二项式展开式的通项公式求出最中间的项即可. 【详解】因为的二项展开式中共有项， 二项式系数最大的项为最中间的项，即第项， 则其最中间的项为. 故选：A. 2.展开式中的常数项是（    ） A． B． C．20 D．15 【答案】D 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解. 【详解】由题意可得，由于展开式的通项公式为， 令，求得， 故展开式的常数项为=15. 故选：D. 3.的二项展开式中的系数为（    ） A．-80 B．80 C．-10 D．10 【答案】B 【分析】写出二项式展开式通项即可解得 【详解】由题可得二项式展开式通项为：， 令，解得，则的系数为， 故选：B 4.在的二项展开式中，第4项为 ． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得. 【详解】由题，二项式展开式的通项公式为： ， 要求第项，令，则， ， 故答案为： 考点二：二项式系数性质的应用 例2．已知二项式(a＋b)10，求： (1)第7项的二项式系数和系数； (2)二项展开式的所有二项式系数之和与系数之和． 【答案】(1)二项式系数：210；系数：1 680 (2)二项式系数之和：1 024，系数之和：(1＋)10 【解析(1)(a＋b)10的二项展开式第7项的二项式系数为＝210； (a＋b)10的二项展开式第7项为T7＝T6＋1＝＝＝1 680a4b6， ∴(a＋b)10的二项展开式第7项的系数为1 680. (2)(a＋b)10的展开式的所有二项式系数之和为210＝1 024， 令a＝1，b＝1，则(a＋b)10的展开式的所有系数之和为(1＋)10. 【变式探究】1.若的展开式中二项式系数之和为，则展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】利用二项式系数之和为求出，再利用展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，∴， ∴通项公式为， 令，则， ∴常数项为． 故答案为：. 2.已知的展开式二项式系数和为，则展开式中常数项是 ． 【答案】 【分析】由二项定理的通项公式即可求解 【详解】由二项式系数的性质可得，解得， 的展开式的通项为， 令，解得，则展开式中常数项为． 故答案为：. 3.若的展开式中第5项和第11项的二项式系数相等，则的值为 . 【答案】14 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，∴. 故答案为：14. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$