专题10.1 计数原理与排列组合（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.1 计数原理与排列组合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：分步计数原理与分类计数原理 3 考点二：排列问题 5 考点三：组合问题 8 考点四：组合数性质的应用 9 考点五：排列组合综合运用 9 【考纲要求】 1. 掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决一些较简单的问题； 2. 理解排列和排列数的意义，会用排列数公式计算简单的排列问题； 3. 理解组合的概念及组合数的性质，会用组合数公式计算简单的组合问题. 【考向预测】 1.分步计数原理与分类计数原理 2.排列问题 3.组合问题 4.组合数性质的应用 5.排列组合的综合运用 【知识导图】 【知识清单】 1.计数原理 (1)分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法． 特别提醒：两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法中的每一种办法都能把事单独完成； 分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成，必须经过每一个步骤，才能完成这件事． 2.排列 (1)定义 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果m<n，这样的排列叫作选排列．如果m＝n，这样的排列叫作全排列．全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序完全相同． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示． (3)排列数公式 ①＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)； ②＝； ③特别地， ＝n！，规定0！＝1． 3.组合 (1)定义 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，它们是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (3) 组合数公式 或(n，m∈N＋，且m≤n). 特别地，规定 (4) 组合数性质 ①＝； ②＝． 【考点分类剖析】 考点一：分步计数原理与分类计数原理 例1．一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球． (1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)16；(2)140；(3)83 【解析】(1)从盒子中任取一球有三类取法：第一类是从4个红球中任取1个，有4种取法；第二类是从7个黄球中任取1个，有7种取法；第三类是从5个蓝球中任取1个，有5种取法．只要任取一球即可完成任务，根据分类计数原理，不同的取法共有N＝4＋7＋5＝16(种). (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，可以分为三个步骤完成：第一步取红球，有4种不同的方法；第二步取黄球，有7种不同的方法；第三步取蓝球，有5种不同的方法．根据分步计数原理，不同的取法共有N＝4×7×5＝140(种). (3)可按所选两球的颜色分为如下三类． 第一类：红球、黄球各一个，有4×7＝28种选法； 第二类：红球、蓝球各一个，有4×5＝20种选法； 第三类：黄球、蓝球各一个，有7×5＝35种选法． 根据分类计数原理，不同的选法种数为N＝28＋20＋35＝83(种). 【变式探究】某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目，3个舞蹈节目，4个小品节目． (1)从中选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选法？ 【答案】(1)13；(2)72；(3)54 【解析】(1)由分类计数原理可知，不同的选法共有N＝6＋3＋4＝13(种). (2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝72(种). (3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法； 第2类选歌曲和舞蹈，有6×3＝18(种)选法； 第3类选舞蹈和小品，有3×4＝12(种)选法． 由分类计数原理可知，共有不同的选法为N＝24＋18＋12＝54(种). 例2．由数字0，1，2，3，4，5可以组成： (1)多少个不同的三位数？ (2)多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】(1)180；(2)100 【解析】(1)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法； 第二步：选十位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任选一个，有6种选法； 第三步：选个位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任选一个，有6种选法； 由分步计数原理可知，共可以组成不同的三位数5×6×6＝180(个). (2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法； 第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数和0中任选一个，有5种选法； 第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一个，有4种选法； 由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三位数5×5×4＝100(个). 【变式探究】由数字0～7可以组成： (1)多少个没有重复数字的四位数？ (2)多少个没有重复数字的四位奇数？ 【答案】(1)1470；(2)720 【解析】解：(1)要组成没有重复数字的四位数，要依次不能重复的选出千位、百位、十位、个位上的数字，并且千位上的数不能为0. 根据分步计数原理可知， 可组成没有重复数字的四位数的个数为N＝7×7×6×5＝1 470(个). (2)根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5，7中选一个数字，有4种选法； 第二步，千位上的数需从剩余的6个非零数字中选一个，有6种选法； 百位、十位上依次有6种和5种选法． 故组成没有重复数字的四位奇数共有N＝4×6×6×5＝720(个). 例3．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ 【答案】64 【解析】根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则3个小球有4×4×4＝64(种)不同的放法． 【变式探究】学校有4名学生报名参加三项体育比赛． (1)若每人限报一项，报名方法的种数为多少？ (2)若他们争夺这三项比赛的冠军，荣获冠军的可能性有多少种？ 【答案】(1)81；(2)64 【解析】(1)4名学生中的任一名均可报其中的一项，因此每个学生都有3种报名方法，由分步计数原理，报名方法有N＝3×3×3×3＝81(种). (2)因为每个项目的冠军只有一个，4名学生中的每一名学生都有可能获得其中的一个冠军，所以每个项目获得冠军的可能性有4种，由分步计数原理，获得冠军的可能性有N＝4×4×4＝64(种). 考点二：排列问题 例4．4名男生和3名女生排成一排照相，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)同学甲必须排在最左边或最右边； (2)同学甲、乙均不在两端； (3)同学甲、乙相邻； (4)同学甲、乙不相邻． 【答案】(1)1 440　；(2)2 400　；(3)1 440；(4)3 600 【解析】(1)甲排在两头，可先排甲同学，再排其他6名同学，即＝2×720＝1 440(种). (2)第一步，在中间5个位置中选两个排甲、乙两人；第二步，剩余5人全排列，即＝20×120＝2 400(种). (3)相邻问题可采用捆绑法．第一步，把甲、乙看成一个元素，与其他5人共6个元素进行全排列；第二步，甲、乙二人进行全排列．即＝720×2＝1 440(种). (4)不相邻问题可用插空法．第一步，把甲、乙之外的5名同学进行全排列；第二步，在5名同学之间或两端共6个空中插入甲、乙两名同学．即＝120×30＝3 600(种). 【方法指导】(1)有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排列特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法； (2)要求某些元素相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； (3)要求某些元素不相邻时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”． 【变式探究】现有5名同学，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)5名同学站成一排； (2)5名同学站成两排，前排2名，后排3名； (3)5名同学站成一排，其中甲同学站在中间的位置； (4)5名同学站成一排，甲、乙只能站在两端； (5)5名同学站成一排，甲、乙不能站在两端； (6)5名同学站成一排，甲、乙不能相邻； (7)5名同学站成一排，甲、乙、丙三人必须相邻． 【答案】(1)120　；(2)120　；(3)24；(4)12；(5)36；(6)72；(7)36 【解析】解：(1)5名同学的全排列，即＝120(种). (2)由分步计数原理可得＝120(种). (3)采用先特殊后一般的方法．第一步，将甲排在中间的位置； 第二步，对剩余的4名同学进行全排列．即 ＝24(种). (4)采用先特殊后一般的方法．第一步，在两端排甲、乙两同学； 第二步，对剩余的3名同学进行全排列．即＝12(种). (5) 采用先特殊后一般的方法．第一步，在中间的三个位置选两个排甲、乙两同学； 第二步，对剩余的3名同学进行全排列．即＝36(种). (6) 不相邻问题采用插空法．第一步，把甲、乙之外的3名同学进行全排列； 第二步，在3名同学之间或两端共4个空中插入甲、乙两名同学．即＝72(种). (7)相邻问题采用捆绑法．第一步，把甲、乙、丙看成一个元素，与其他2人共3个元素进行全排列； 第二步，甲、乙、丙三人进行全排列．即＝36(种). 例5． 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数字的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数． 【答案】(1)48；(2)30；(3)36；(4)18 【解析】(1)应采用特殊位置优先法．因为0不能为首位(百位)，所以首位的排法有种，其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列，有种，所以共有＝48(个). (2)由于0的存在，应分两类：第一类个位是0，有种；第二类个位不是0，先确定个位，从2，4中选一个，有种，再确定首位，有种，剩余的一位是从3个数中选1个，有种． 所以共有＝30(个). (3)要组成比200大的数，首位应从2，3，4中选一个，有种选法，其他两位有种排法，所以比200大的数共有＝36(个). (4)方法一：直接法．因为要组成一个三位奇数，首先个位数是从1，3中选一个，共有种选法，然后首位不能为0，首位的排法种数是，最后十位从剩下的三个数中选一个，共有种选法，所以共有 ＝18(个). 方法二：间接法．组成三位数的个数减去组成的三位数中偶数的个数即为组成的三位数中奇数的个数，即48－30＝18(个). 注意：对数字进行排列时，如果数字中含有0，应区别对待．因为0作为特殊元素，不能出现在首位． 【变式探究】用2，3，4，5，6这5个数，共可以组成： (1)无重复数字的五位数多少个？ (2)五位无重复数字的奇数多少个？ (3)共组成比40 000大的无重复数字的数多少个？ 【答案】(1)120；(2)48；(3)72 【解析】解：(1)因不含特殊数字0，该问题可以看成这五个数字的全排列，即＝120(个). (2)该问题可分为两步完成．第一步，个位上的数字需从3，5中选一个，有种选法；第二步，排剩余的四位，有种排法，∴共有＝48(个). (3)要组成比40 000大的数，万位上的数需从4，5，6中选一个有种选法，其余各位没有限制条件，有种选法，∴共有＝72(个). 考点三：组合问题 例6．在产品检验中，常从产品中抽取一部分产品进行检验．现有100件产品，其中有2件次品，现从中任意抽取3件．问： (1)一共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法共有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法共有多少种？ 【答案】(1)161 700；(2)9 506；(3)9 604 【解析】(1)所求抽法的总数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，即＝161 700(种). (2)分两步：第一步，从2件次品中抽取1件，有种抽法；第二步，从98件合格品中抽出2件，有种抽法，所以，不同的抽取方法共有＝2×4 753＝9 506(种). (3)方法一：从100件产品中抽出3件，至少有1件次品的抽法，包括抽取1件次品和2件次品两类抽法．因此，至少有1件次品的抽法种数为＝9 506＋98＝9 604(种). 方法二：从100件产品中抽出3件的所有抽法中，除抽出3件都是合格品外，剩下的就是至少有1件次品的抽法，共有抽取方法＝161 700－152 096＝9 604(种). 【变式探究】现有10件不同的产品，其中有7件正品、3件次品．从中抽出3件，其中至多有2件次品的抽法有(　　) A．63种 B．119种 C．35种 D．120种 【答案】B 【分析】 “至多有2件次品”包括三类：“没有次品”有种；“1件次品”有种；“2件次品”有种．∴共有＝119(种).(也可以列式为 ＝119). 故选：B. 例7.将6本不同的书分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本，则不同的分配方法的种数是(　　) A．30种 B．60种 C．360种 D．120种 【答案】B 【详解】从6本中选3本分给甲，有种选法，从剩余的3本中选2本分给乙，有种选法，最后的1本分给丙，有种选法．∴共有＝60(种)选法. 故选：B. 【变式探究】将6本不同的书分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本，1人得2本，1人得1本，则不同的分配方法的种数是(　　) A．30种 B．60种 C．360种 D．120种 【答案】C 【解析】将6本书按照要求先分为3组，共有种分法，然后将三组分给甲、乙、丙三人，相当于对3个元素的全排列．∴不同的分配方法的种数是＝360(种)，故选C. 考点四：组合数性质的应用 例8.(1)计算：＝________； (2)若 ，则x＝________． 【答案】161700；4 【详解】(1) (2)由组合数的性质得x＝3x＋2或x＋(3x＋2)＝18，解得x＝－1(舍) 或x＝4，∴x＝4. 故答案为：161700；4. 【变式探究】(1)已知 ，求x； (2)已知，求n. 【答案】(1)7或9；(2)8 【详解】解：(1)由组合数的性质得， x＝2x－7或x＋(2x－7)＝20， 解得x＝7或x＝9. (2)∵，∴ 即n2－3n－40＝0， 解得n＝8或n＝－5(舍)，∴n＝8. 考点五：排列组合综合运用 例9.由0，1，2，3，4，5这六个数字可组成（    ）个没有重复数字的六位奇数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列组合的定义，先确定个位数的选择方式，再确定最高位不能为的选择方式，剩余无限制随机组合即可解得. 【详解】由题，六个数字组成没有重复数字的六位奇数， 则个位数只能从中选，即为种情况， 六位数最高位不能为，则只能从剩余个数中选择，有， 剩余个数随机排列，故为， 故选：C 【变式探究】从5名同学中选出3人，分别担任班长、副班长、团支书，共有（    ）种不同的选法． A．15 B．27 C．125 D．60 【答案】D 【分析】先从5名同学中选出3人，再将这三人分配到三个职务上，进而得到答案. 【详解】从5名同学中选出3人，有种选法. 选出的三人分别担任班长、副班长、团支书，有种选法. 故从5名同学中选出3人，分别担任班长、副班长、团支书，共有种选法. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 计数原理与排列组合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：分步计数原理与分类计数原理 3 考点二：排列问题 4 考点三：组合问题 5 考点四：组合数性质的应用 6 考点五：排列组合综合运用 6 【考纲要求】 1. 掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决一些较简单的问题； 2. 理解排列和排列数的意义，会用排列数公式计算简单的排列问题； 3. 理解组合的概念及组合数的性质，会用组合数公式计算简单的组合问题. 【考向预测】 1.分步计数原理与分类计数原理 2.排列问题 3.组合问题 4.组合数性质的应用 5.排列组合的综合运用 【知识导图】 【知识清单】 1.计数原理 (1)分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (2)分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法． 特别提醒：两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法中的每一种办法都能把事单独完成； 分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成，必须经过每一个步骤，才能完成这件事． 2.排列 (1)定义 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果m<n，这样的排列叫作选排列．如果m＝n，这样的排列叫作全排列．全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序完全相同． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示． (3)排列数公式 ①＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)； ②＝； ③特别地， ＝n！，规定0！＝1． 3.组合 (1)定义 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，它们是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (3) 组合数公式 或(n，m∈N＋，且m≤n). 特别地，规定 (4) 组合数性质 ①＝； ②＝． 【考点分类剖析】 考点一：分步计数原理与分类计数原理 例1．一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球． (1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 【变式探究】某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目，3个舞蹈节目，4个小品节目． (1)从中选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选法？ 例2．由数字0，1，2，3，4，5可以组成： (1)多少个不同的三位数？ (2)多少个没有重复数字的三位数？ 【变式探究】由数字0～7可以组成： (1)多少个没有重复数字的四位数？ (2)多少个没有重复数字的四位奇数？ 例3．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ 【变式探究】学校有4名学生报名参加三项体育比赛． (1)若每人限报一项，报名方法的种数为多少？ (2)若他们争夺这三项比赛的冠军，荣获冠军的可能性有多少种？ 考点二：排列问题 例4．4名男生和3名女生排成一排照相，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)同学甲必须排在最左边或最右边； (2)同学甲、乙均不在两端； (3)同学甲、乙相邻； (4)同学甲、乙不相邻． 【方法指导】(1)有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排列特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法； (2)要求某些元素相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； (3)要求某些元素不相邻时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”． 【变式探究】现有5名同学，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)5名同学站成一排； (2)5名同学站成两排，前排2名，后排3名； (3)5名同学站成一排，其中甲同学站在中间的位置； (4)5名同学站成一排，甲、乙只能站在两端； (5)5名同学站成一排，甲、乙不能站在两端； (6)5名同学站成一排，甲、乙不能相邻； (7)5名同学站成一排，甲、乙、丙三人必须相邻． 例5． 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数字的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数． 【变式探究】用2，3，4，5，6这5个数，共可以组成： (1)无重复数字的五位数多少个？ (2)五位无重复数字的奇数多少个？ (3)共组成比40 000大的无重复数字的数多少个？ 考点三：组合问题 例6．在产品检验中，常从产品中抽取一部分产品进行检验．现有100件产品，其中有2件次品，现从中任意抽取3件．问： (1)一共有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法共有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法共有多少种？ 【变式探究】现有10件不同的产品，其中有7件正品、3件次品．从中抽出3件，其中至多有2件次品的抽法有(　　) A．63种 B．119种 C．35种 D．120种 例7.将6本不同的书分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本，则不同的分配方法的种数是(　　) A．30种 B．60种 C．360种 D．120种 【变式探究】将6本不同的书分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本，1人得2本，1人得1本，则不同的分配方法的种数是(　　) A．30种 B．60种 C．360种 D．120种 考点四：组合数性质的应用 例8.(1)计算：＝________； (2)若 ，则x＝________． 【变式探究】(1)已知 ，求x； (2)已知，求n. 考点五：排列组合综合运用 例9.由0，1，2，3，4，5这六个数字可组成（    ）个没有重复数字的六位奇数． A． B． C． D． 【变式探究】从5名同学中选出3人，分别担任班长、副班长、团支书，共有（    ）种不同的选法． A．15 B．27 C．125 D．60 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$