第十章 概率与统计（测）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10 概率与统计 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．某电影院有座位45排，每排有40个座位，在观看《流浪地球2》时恰好坐满了观众.为了了解观众意见，需要抽取45名观众进行座谈，则最合理的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数表法 【答案】B 【分析】根据总体样本的特点可得结果. 【详解】该电影院总体容量较大，又有编号，符合系统抽样的特点， 故最合理的抽样方法为系统抽样， 故选：B. 2．某同学军训时第一次和第二次的打靶成绩（单位：环）分别为8，8，9，8，7和7，8，9，9，7，对这两次训练成绩的稳定性进行评判，其结论是（    ） A．第一次比第二次稳定 B．第二次比第一次稳定 C．两次的稳定性相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】分别计算两次的方差比较即可. 【详解】由题可知：第一次成绩平均数为， 方差为， 第二次成绩平均数为， 方差为， 由，所以可知第一次比第二次稳定， 故选：A 3．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A．普查 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法 【答案】B 【详解】因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层抽样． 故选：B. 4．从位学生中任意选出位参加志愿者活动,不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】由组合的应用即可得解. 【详解】由题意可知不同的选法有种. 故选:. 5．投掷两枚骰子，出现点数之和为4的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率的计算方法即可得解. 【详解】投掷两枚骰子的总的基本事件共有个， 其中两个点数之和为4的基本事件有，共3个， 则所求概率为. 故选：D. 6．二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可. 【详解】依题意，的展开式的通项为，， 令，得，即是二项式的展开式的常数项， 所以展开式中的常数项是第5项. 故选：C 7．展开式中，的系数为（    ） A．20 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数位置等于即可求解. 【详解】展开式通项为， 令可得， 所以的系数为， 故选：D. 8．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（    ） A．48 B．54 C．72 D．84 【答案】C 【分析】根据题意，现将3个乘客全排列，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，结合插空法，即可求解. 【详解】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种. 故选：C. 9．某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（    ）附：若，则. A．23 B．46 C．159 D．317 【答案】C 【分析】依题意，计算数据后乘以总人数即可. 【详解】由，得， 则， 估计优秀的学生人数约为. 故选：C 10．从某批次产品共取10件产品进行抽检，其中恰好有2件次品.现从中抽2件产品进行检测，则检测到次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合组合的知识与古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】一共10件产品进行抽检，抽2件产品的所有可能结果为种， 恰有一件是次品的可能结果为， 两件都是次品的可能结果为， 所以检测到次品的概率是. 故选:B. 11．7名同学排成一排照相，其中4名男生，3名女生，则女生被男生隔开的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用插空法求得女生不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】7名同学随机排成一排照相,共有种排法, 若4名男生,3名女生,女生不相邻,则先排4名男生,共有种排法, 再把3名女生插入4名男生的5个空位中,共有种排法, 所以4名男生,3名女生,女生不相邻的概率为. 故选：B. 12．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数为（　　） A．479 B．180 C．455 D．456 【答案】C 【详解】 若十万位上的数字大于4，则有3×A＝360（个）;若十万位上的数字等于4，当万位上的数字大于2时，有3×A＝72（个）；当万位上的数字等于2、千位上的数字不等于0时有3×A＝18（个）；当万位上的数字等于2、千位上的数字等于0时有2×A＋1＝5（个）．则一共有360＋72＋18＋5＝455（个）． 13．甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ） A．80% B．60% C．40% D．20% 【答案】B 【分析】乙不输即是和棋或者获胜两种情况可求得结果. 【详解】甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%， 则乙获胜的概率为， 故乙不输的概率有. 故选：B. 14．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x（百件）与单位成本y（元）满足回归直线方程.下列说法正确的是（    ） A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 【答案】A 【分析】该方程在上为单调递减，函数模型是一个递减的函数模型，产量每增加100件，单位成本下降14.2元，故可判断． 【详解】解：由可知，该函数模型是一个递减的函数模型. 对A：当变量x每增加100件，单位成本y下降14.2元，A项正确； 对B：产量每减少100件，单位成本约上升14.2元，B项错误； 对C：产量每减少100件，单位成本约下降14.2元，C项错误； 对D：产量每减少100件，单位成本约上升14.2元，D项错误. 故选:A. 15．如图所示，由甲、乙两人射击训练成绩绘制而成的折线统计图可知（单位：环），甲、乙两人次射击训练成绩的平均值分别为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折线统计图得出甲、乙两人的数据，再求出平均数即可. 【详解】根据甲、乙两人射击训练成绩绘制而成的折线统计图，可知 ，， 所以. 故选：D. 16．根据表中的数据，用最小二乘法得到与的线性回归方程为，则表中的值为（    ） 2 3 4 5 6 20 40 60 70 A． B．20 C． D．25 【答案】B 【分析】先求出样本中心点，然后代入回归方程计算即可. 【详解】由表中数据，计算可得，， 因为回归直线过样本中心点， 所以有， 解得． 故选：B. 17．已知，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或1 【答案】C 【分析】由组合数的运算性质求解方程即可. 【详解】由 则， 所以或， 解得或. 故选：C. 18．设，则该样本的标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据标准差的公式求解即可. 【详解】因为. . 故选：B. 19．设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案. 【详解】由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称, 因为， 故， 故选：B 20．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在上的频率为（    ） A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64 【答案】D 【分析】由频数分布表可直接计算求得结果． 【详解】由频数分布表知：样本数据落在内的频率为. 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．某学生在上学 路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为 ，方差为 . 【答案】 【分析】由题意知这名学生在上学路上因遇到红灯的次数服从二项分布，利用二项分布求期望与方差即可. 【详解】设变量为这名学生在上学路上因遇到红灯的次数，则， 由题意， 所以，， 所以，， 故答案为： 22．已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则 ． 【答案】1 【分析】求出组数据的平均数和方差，令方差为3.6求出即可. 【详解】这组数据的平均数为， 所以这组数据的方差为， 得，解得舍去，或. 故答案为：1. 23．李明上学要经过4个路口，前3个路口遇到红灯的概率均为，第4个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为 . 【答案】 【解析】首先分析李明从家到学校恰好遇到一次红灯有两种情况，前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯和前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯，再由互斥事件的概率加法公式即可计算. 【详解】解：前3个路口恰有一次遇到红灯，且第4个路口为绿灯的概率为， 前3个路口都是绿灯，且第4个路口为红灯的概率为， 由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为. 故答案为：. 24．某企业生产甲､乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测量结果如下： 甲 7 7 9 乙 6 由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲､乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则 . 【答案】 【分析】求出均值可得，再由方差相等可得，解方程组即可求解. 【详解】，可得 ①， ， 则， 可得  ②， 由①②可得 ，所以 ， 故答案为： . 25．的二项展开式中，常数项为 【答案】1 【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第项，令x的指数为0得常数项. 【详解】的二项展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 故答案为：1. 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26．盒子中装有编号为的七个球，从中任意取出两个，求这两个球的编号之积为偶数的概率（结果用最简分数表示）. 【答案】 【分析】1,2,3,4,5,6,7七个数任取两个数有21种情况，两数之积为偶数则必有一个偶数，可有两种解法：其一，先求出奇数的概率，根据概率的性质可求出两数之积为偶数的概率；其二，两数之积为偶数，有一奇一偶和两偶两种情况，再根据古典概率即可得解. 【详解】解法一：设事件是从7个球中任意取出2个，这两个球的编号之积为偶数， 由题意可得，从7个球中任取2个球的基本事件总数为个， 2个数之积为奇数，则2个数都是奇数，共有个， 所以. 解法二：设事件是从7个球中任意取出2个，这两个球的编号之积为偶数， 由题意可得，从7个球中任取2个球的基本事件总数为， 2个球编号之积为偶数，至少有一个球的编号是偶数的基本事件数为个， 所以. 27．200名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下. (1)求本次数学考试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若从本次考试成绩在内的学生中选人，刚好选中的人成绩在之间，另人成绩在之间的概率为多少？ 【答案】(1)(2) 【分析】（1）从频率分布直方图中读取信息，再由频率分布直方图的知识进行计算即可. （2）根据古典概型和分步计数原理、组合的知识求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为，且， 解得，因此成绩在区间的频率分别为, 因此本次数学的平均成绩为. （2）由（1）可知成绩在的频率分别为，所以在区间频率为， 因此在这两个区间内的学生分别为，总共有人. 选到每个人的概率是相等的，可视为古典概型，按要求可将其分为两个步骤，将从人中选人共有 种情况，满足要求的选人第一步从中的选人，第二步是从中的人选人， 故完成符合要求的选人情况有种，因此满足题目要求的概率为. 28．在（n为正整数）二项展开式中，若，求： (1)展开式中所有项的系数之和； (2)展开式中含的项的系数. 【答案】(1)729(2)240 【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得，再令，求所有项的系数之和； （2）利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得，可得， 故二项式为， 令，可得， 所以展开式中所有项的系数之和为729. （2）设的通项为， 令时，则，此时， 故展开式中含的项的系数为240. 29．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）利用相互独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件概率的加法公式求解即可； （3）利用相互独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率公式求解即可； 【详解】（1）由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和， 两人能否破译密码相互独立， 所以两人都能破译的概率为； （2）恰有一人能破译的概率为； （3）事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件， 所以至多有一人能破译的概率为． 30．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【答案】(1)分布列见解析，方差为180(2)答案见解析，理由见解析 【分析】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【详解】（1）设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率与统计 一、选择题（本大题共20小题，每题3分，共60分.在每小题所列的四个选项中，只有一项符号题目要求.） 1．某电影院有座位45排，每排有40个座位，在观看《流浪地球2》时恰好坐满了观众.为了了解观众意见，需要抽取45名观众进行座谈，则最合理的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数表法 2．某同学军训时第一次和第二次的打靶成绩（单位：环）分别为8，8，9，8，7和7，8，9，9，7，对这两次训练成绩的稳定性进行评判，其结论是（    ） A．第一次比第二次稳定 B．第二次比第一次稳定 C．两次的稳定性相同 D．无法判断 3．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A．普查 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．非以上三种抽样方法 4．从位学生中任意选出位参加志愿者活动,不同的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．投掷两枚骰子，出现点数之和为4的概率为（    ） A． B． C． D． 6．二项式的展开式中为常数项的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 7．展开式中，的系数为（    ） A．20 B． C．160 D． 8．市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（    ） A．48 B．54 C．72 D．84 9．某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（    ）附：若，则. A．23 B．46 C．159 D．317 10．从某批次产品共取10件产品进行抽检，其中恰好有2件次品.现从中抽2件产品进行检测，则检测到次品的概率是（    ） A． B． C． D． 11．7名同学排成一排照相，其中4名男生，3名女生，则女生被男生隔开的概率是（    ） A． B． C． D． 12．用数字0，2，4，7，8，9组成无重复数字的六位数，其中大于420789的正整数的个数为（　　） A．479 B．180 C．455 D．456 13．甲、乙两人下棋，和棋的概率为40%，甲获胜的概率为40%，则乙不输的概率为（    ） A．80% B．60% C．40% D．20% 14．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x（百件）与单位成本y（元）满足回归直线方程.下列说法正确的是（    ） A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 15．如图所示，由甲、乙两人射击训练成绩绘制而成的折线统计图可知（单位：环），甲、乙两人次射击训练成绩的平均值分别为（    ）    A． B． C． D． 16．根据表中的数据，用最小二乘法得到与的线性回归方程为，则表中的值为（    ） 2 3 4 5 6 20 40 60 70 A． B．20 C． D．25 17．已知，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．3或1 18．设，则该样本的标准差为（    ） A． B． C． D． 19．设随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D．1 20．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在上的频率为（    ） A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 21．某学生在上学 路上要经过4人路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的期望为 ，方差为 . 22．已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则 ． 23．李明上学要经过4个路口，前3个路口遇到红灯的概率均为，第4个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为 . 24．某企业生产甲､乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测量结果如下： 甲 7 7 9 乙 6 由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲､乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则 . 25．的二项展开式中，常数项为 3、 解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分） 26．盒子中装有编号为的七个球，从中任意取出两个，求这两个球的编号之积为偶数的概率（结果用最简分数表示）. 27．200名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下. (1)求本次数学考试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若从本次考试成绩在内的学生中选人，刚好选中的人成绩在之间，另人成绩在之间的概率为多少？ 28．在（n为正整数）二项展开式中，若，求： (1)展开式中所有项的系数之和； (2)展开式中含的项的系数. 29．甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率． 30．某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$