专题10.5 随机变量及其分布（考点精练）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题10.5 随机变量及其分布 1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则表中p值等于（    ） 0 1 2 P 0.4 p 0.3 A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1 2.已知随机变量的概率分布如下表所示，则（    ） 0 1 2 3 P 0.3 0.1 0.4 0.2 A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.6 3.已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 2 4 P A． B．1 C． D． 4.甲、乙两个人投篮，他们投进篮的概率分别为，，现甲、乙两人各投篮1次，则两个人都投进的概率是（    ） A． B． C． D． 5.若随机变量，则（    ） A．3 B．7 C．2.1 D．21 6．设随机变量服从正态分布，则正态曲线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 7．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 8．离散型随机变量的分布列的性质 （1），；（2） . 9．已知离散型随机变量的概率分布如表，则 . 10．若，且，，则 ． 11.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 12.已知某小麦品种的株高X（单位：cm）服从正态分布，且，现从该品种小麦中任取2株，则这2株小麦株高都超过的概率为 13.在10件产品中有2件次品，从中任取3件. (1)求其中所含次品数的分布列及数学期望； (2)根据所得分布列，求事件“其中含有次品”的概率. 1．若随机变量，则（    ） A．2 B． C． D． 2．甲、乙、丙三个小朋友玩卡片游戏，每人都有红、黄、蓝颜色的卡片各一张，游戏规则是：每人同时随机拿出一张卡片，若有且只有两人的卡片颜色相同，则第三人胜出．那么出卡一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3.甲、乙两名射手一次射击得分（分别用、表示）的分布列如下： 甲得分： 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 乙得分： 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 则甲、乙两人的射击技术相比（    ） A．甲更好 B．乙更好 C．甲、乙一样好 D．不可比较 4．甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（    ） （若随机变量，则，，）    A．甲地数学的平均成绩比乙地的高 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 C． D．若，则 5．若随机变量X的分布列如下，且， 1 a P p 则 ， . 6.在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率 ． 7.某次试验中，是离散型随机变量，服从分布，该事件恰好发生次的概率是 （用数字作答）. 8.仙居杨梅是台州市著名特产之一，其栽培有1000多年的历史.据统计，仙居杨梅的单果重量（单位：克）服从正态分布，则单果重量在的概率为 .参考数据：，. 9．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为 .（参考数据：若，则） 10.某次数学知识比赛中共有6道不同的题目，每名同学从中随机抽取3道题目进行作答.已知这6道题目中，甲正确作答每道题目的概率均为，且甲同学对每道题目的作答都是相互独立、互不影响的.若甲同学答对题目道数为，求： (1)甲同学答对2道题目的概率； (2)的概率分布和数学期望. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.5 随机变量及其分布 1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则表中p值等于（    ） 0 1 2 P 0.4 p 0.3 A．0.5 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【分析】根据分布列的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2.已知随机变量的概率分布如下表所示，则（    ） 0 1 2 3 P 0.3 0.1 0.4 0.2 A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【分析】由即为和这两种情况，计算概率即可. 【详解】由概率分布表可知， . 故选:C. 3.已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 2 4 P A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的均值的定义即可求解. 【详解】解：. 故选：D. 4.甲、乙两个人投篮，他们投进篮的概率分别为，，现甲、乙两人各投篮1次，则两个人都投进的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为甲、乙两个人投篮，他们投进篮的概率分别为， 所以甲、乙两人各投篮1次，则两个人都投进的概率是. 故选：A. 5.若随机变量，则（    ） A．3 B．7 C．2.1 D．21 【答案】A 【分析】根据已知条件结合二项分布数学期望的计算公式即可求解. 【详解】因为随机变量， 则. 故选：A. 6．设随机变量服从正态分布，则正态曲线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态分布的性质即可求解. 【详解】随机变量服从正态分布， 则正态曲线关于直线对称. 故选：C. 7．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 8．离散型随机变量的分布列的性质 （1），；（2） . 【答案】1 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可直接得结果. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质可知， . 故答案为： 9．已知离散型随机变量的概率分布如表，则 . 【答案】/ 【分析】由概率的性质列出等式即可得解. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 10．若，且，，则 ． 【答案】6 【分析】根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】因为，且，， 即，解得. 故答案为：6. 11.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】2 【分析】根据正态分布的对称性即可求解的值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以由正态分布的对称性可得. 故答案为:2. 12.已知某小麦品种的株高X（单位：cm）服从正态分布，且，现从该品种小麦中任取2株，则这2株小麦株高都超过的概率为 【答案】 【分析】根据正态分布的概率求解即可. 【详解】小麦品种的株高X（单位：cm）服从正态分布， 得， 所以， 所以这2株小麦株高都超过的概率为， 故答案为：. 13.在10件产品中有2件次品，从中任取3件. (1)求其中所含次品数的分布列及数学期望； (2)根据所得分布列，求事件“其中含有次品”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，(2) 【分析】（1）由题意可知，的取值可能为，分别求出其概率，再写出分布列，最后由分布列求出数学期望即可. （2）由分布列，根据概率的加法公式计算即可. 【详解】（1）在10件产品中有2件次品，从中任取3件，其中所含次品数为， 则的取值可能为， ， 所以分布列为 0 1 2 数学期望. （2）设事件“其中含有次品”为事件， 由所得分布列，可得. 故事件“其中含有次品”的概率为. 1．若随机变量，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差计算公式带入即可求解. 【详解】因为随机变量，所以. 故选：. 2．甲、乙、丙三个小朋友玩卡片游戏，每人都有红、黄、蓝颜色的卡片各一张，游戏规则是：每人同时随机拿出一张卡片，若有且只有两人的卡片颜色相同，则第三人胜出．那么出卡一次，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率计算公式即可解得. 【详解】甲获胜则甲与乙、丙颜色不同，乙、丙颜色相同， 若乙、丙选红色，概率分别为， 则甲可能选择黄蓝，概率为， 同理乙、丙选黄色或蓝色，则甲获胜总概率为， 故选：D 3.甲、乙两名射手一次射击得分（分别用、表示）的分布列如下： 甲得分： 1 2 3 P 0.4 0.1 0.5 乙得分： 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 则甲、乙两人的射击技术相比（    ） A．甲更好 B．乙更好 C．甲、乙一样好 D．不可比较 【答案】B 【分析】根据分布列计算均值，即可判断. 【详解】由题可知 ， . 所以，故乙的射击技术更好. 故选：B. 4．甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（    ） （若随机变量，则，，）    A．甲地数学的平均成绩比乙地的高 B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D. 【详解】对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分， 故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误； 对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中， 故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误； 对于C，由于，根据正态分布曲线的对称性可知，C错误； 对于D，，， ，D正确， 故选：D 5．若随机变量X的分布列如下，且， 1 a P p 则 ， . 【答案】 / / 【分析】先利用分布列的性质求得，再利用数学期望公式求得，从而得解. 【详解】由分布列的性质得，解得， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：；. 6.在“剪刀、石头、布”游戏中，两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率 ． 【答案】 【分析】在游戏中，每个人出“剪刀、石头、布”的可能性都是，两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能，根据独立事件乘法公式计算即可. 【详解】在游戏中，每个人出“剪刀、石头、布”的可能性都是，两个人分别出“石头”与“剪刀”有两种可能， 则两个人分别出“石头”与“剪刀”的概率． 故答案为：. 7.某次试验中，是离散型随机变量，服从分布，该事件恰好发生次的概率是 （用数字作答）. 【答案】 【分析】根据二项分布的概率计算公式，代值计算即可. 【详解】根据二项分布的概率计算公式， 可得事件发生2次的概率为 故答案为：. 8.仙居杨梅是台州市著名特产之一，其栽培有1000多年的历史.据统计，仙居杨梅的单果重量（单位：克）服从正态分布，则单果重量在的概率为 .参考数据：，. 【答案】0.9544 【分析】利用正态分布知识解答即可. 【详解】根据题意，，则，， 故答案为：0.9544. 9．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为 .（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故σ至多为1． 故答案为：1． 10.某次数学知识比赛中共有6道不同的题目，每名同学从中随机抽取3道题目进行作答.已知这6道题目中，甲正确作答每道题目的概率均为，且甲同学对每道题目的作答都是相互独立、互不影响的.若甲同学答对题目道数为，求： (1)甲同学答对2道题目的概率； (2)的概率分布和数学期望. 【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可知答对2道题目，答错1道题目计算概率即可. （2）先求出可能的取值，再根据的不同取值求出相对应的概率，列出分布列并求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意，为甲同学答对题目的道数，服从二项分布， 甲同学答对2道题目的概率为. （2）可能的值为0，1，2，3，服从二项分布， ，， ，， 的概率分布如下表所示. 0 1 2 3 P 数学期望. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$