第6章　几何图形初步 同步练习 2024-2025学年人教版七年级数学上册

6.3.2　角的比较与运算 第1课时　角的比较与和差运算 课后·知能演练 一、基础巩固 1.计算72°22'+50°40'30″的结果是(　　) A.123°62'30″ B.123°2'30″ C.122°2'30″ D.123°12'30″ 2.计算52°10'20″-37°49'40″的结果为(　　) A.14°20'40″ B.14°40'20″ C.13°20'40″ D.15°20'40″ 3.小正方形网格如图所示,点A,B,C,D,O均为格点,那么∠AOB________∠COD.(填“>”“<”或“=”)  4.按图填空. (1)∠AOC-∠AOB=________;  (2)∠BOC+∠COD=________;  (3)∠AOE-∠BOE=________;  (4)∠BOE-________=∠BOD.  5.计算: (1)153°29'42″+26°40'32″; (2)132°25'-55°43'20″; (3)35°12'-34°48'+60°30'. 二、能力提升 6.如图所示,在正方形网格中,∠ABC________∠DEF(填“>”“<”或“=”).  7.计算7.56°-7°5'6″的值是________.  三、思维拓展 8.已知∠A=24.1°+6°,∠B=56°-26°30',∠C=18°12'+11.8°,试通过计算,比较∠A,∠B和∠C的大小. 第2课时　角的等分 课后·知能演练 一、基础巩固 1.计算15°23'×4的结果是(　　) A.61°92' B.60.92° C.60°32' D.61°32' 2.如图,在直线AD上任取一点O,过点O作射线OB,OE平分∠DOB,OC平分∠AOB,∠BOC=26°时,∠BOE的度数为(　　) A.61° B.62° C.63° D.64° 3.已知∠AOB=90°36',射线OC在∠AOB内部. (1)若OC是∠AOB的平分线,则∠COA的大小为________;  (2)若∠COA=2∠COB,则∠COA的大小为________.  4.计算: (1)18°23'×6; (2)34°25'×4+35°42'; (3)21°36'20″÷5. 二、能力提升 5.如图,已知P是直角三角尺ABC斜边AB上的一个动点,CD,CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线,试探究:当点P在斜边AB上移动时,∠DCE的大小是否会发生变化?请说明理由. 三、思维拓展 6.已知∠ABC=50°,射线BD在射线BA的上方,BE平分∠CBD. (1)如图1,当射线BE在射线BA的下方,且∠ABD=30°时,求∠ABE的度数.请补全下面的解答过程; 解:因为∠ABC=50°,∠ABD=30°, 所以∠CBD=∠________+∠ABD=________°.  因为BE平分∠CBD,所以∠DBE=________∠CBD=________°,  所以∠ABE=∠DBE-∠________=________°.  (2)如图2,当射线BE在射线BA的上方,且∠ABE=15°时,求∠ABD的度数. 【课后·知能演练】 1.B　解析:72°22'+50°40'30″=122°62'30″=123°2'30″. 2.A　解析:52°10'20″-37°49'40″ =51°69'80″-37°49'40″ =14°20'40″. 3.>　解析:如图,取点E,连接OE, 根据网格可知,∠AOB=∠EOD. 因为∠EOD>∠COD, 所以∠AOB>∠COD. 4.(1)∠BOC　(2)∠BOD　(3)∠AOB (4)∠DOE 5.解:(1)153°29'42″+26°40'32″ =179°69'74″ =180°10'14″. (2)132°25'-55°43'20″ =131°84'60″-55°43'20″ =76°41'40″. (3)35°12'-34°48'+60°30' =34°72'-34°48'+60°30' =24'+60°30' =60°54'. 6.>　解析:因为∠ABC=45°,∠DEF<45°, 所以∠ABC>∠DEF. 7.28'30″　解析:因为7.56°=7°+0.56°=7°+0.56×60'=7°+33.6'=7°+33'+0.6'=7°+33'+0.6×60″=7°+33'+36″=7°33'36″,所以7.56°-7°5'6″=7°33'36″-7°5'6″=28'30″. 8.解:因为∠A=24.1°+6°=30.1°=30°+0.1°=30°+0.1×60'=30°+6'=30°6', ∠B=56°-26°30'=55°60'-26°30'=29°30', ∠C=18°12'+11.8°=18°12'+11°+0.8°=18°12'+11°+0.8×60'=18°12'+11°+48'=29°60'=30°,所以∠A>∠C>∠B. 6.3.2　角的比较与运算 【课后·知能演练】 1.D　解析:15°23'×4=60°92'=61°32'. 2.D　解析:因为OC平分∠AOB,∠BOC=26°, 所以∠AOB=2∠BOC=52°. 所以∠BOD=180°-52°=128°. 因为OE平分∠DOB, 所以∠BOE=∠DOB=×128°=64°. 3.(1)45°18'　(2)60°24'　解析:(1)因为OC是∠AOB的平分线,∠AOB=90°36', 所以∠COA=45°18'. (2)若∠COA=2∠COB,则∠COB=∠COA. 因为∠COA+∠COB=90°36',所以∠COA=90°36',所以∠COA=60°24'. 4.解:(1)18°23'×6 =18°×6+23'×6 =108°+138' =110°18'. (2)34°25'×4+35°42' =137°40'+35°42' =173°22'. (3)21°36'20″÷5 =4°+96'20″÷5 =4°+19'+80″÷5 =4°+19'+16″ =4°19'16″. 5.解:∠DCE的大小不会发生变化,理由如下: 因为CD,CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线, 所以∠DCP=∠ACP,∠PCE=∠BCP. 所以∠DCE=∠DCP+∠PCE=∠ACP+∠BCP=∠ACB=45°. 6.解:(1)ABC　80　　40　ABD　10　 (2)因为∠ABE=15°,∠ABC=50°, 所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=65°. 因为BE平分∠CBD,所以∠CBD=2∠CBE=130°.所以∠ABD=∠CBD-∠ABC=80°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.2　点、线、面、体 课后·知能演练 一、基础巩固 1.用笔在纸上写字,从几何的角度可解释为(　　) A.点到直线的距离 B.面动成体 C.点动成线 D.过一点作直线 2.《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品,其中有诗句:鸣雨既过渐细微,映空摇飏如丝飞.译文:喧哗的雨已经过去,逐渐变得细微,映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞.诗中描写雨滴滴下来形成雨丝,用数学知识解释为________________.  3.用数学原理分析下列生活实例: (1)自行车的辐条运动形成几何图形:________;  (2)直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥体:________.  二、能力提升 4.(1)如果将图①~⑤的平面图形绕轴旋转一周,可以得到图Ⅰ~Ⅴ的立体图形,请你把有对应关系的平面图形与立体图形用线连接起来; (2)在图Ⅰ~Ⅴ的立体图形中,有顶点的是________,没有顶点的是　;  (3)图Ⅴ中的立体图形由几个面围成?面与面相交成几条线?它们是直的还是曲的? 三、思维拓展 5.小丽跟妈妈到银行办理业务,她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2 m、高为3 m的玻璃隔板组成的.她提出了以下问题,你能帮她解决吗? (1)将此旋转门旋转一周,能形成的立体图形是________.  (2)这能说明的事实是________(选择正确的一项填入).  A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 (3)求该旋转门旋转一周形成的立体图形的体积.(边框及衔接处忽略不计,结果保留π) 【课后·知能演练】 1.C　2.点动成线 3.(1)线动成面　(2)面动成体 4.解:(1)如图所示. (2)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ　Ⅳ、Ⅴ (3)图Ⅴ中的立体图形由2个面围成,其中一个是平面,一个是曲面.面与面相交有一条线,是一条曲线. 5.(1)圆柱　(2)C (3)解:该旋转门旋转一周形成的立体图形是圆柱,体积为π×22×3=12π(m3). 故形成的立体图形的体积是12π m3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.1　角的概念 课后·知能演练 一、基础巩固 1.如图,在下列各组角中,表示同一个角的是(　　) A.∠ABE与∠EBC B.∠BAE与∠DAC C.∠AED与∠AEB D.∠ACD与∠ADC 2.如图, (1)用三种方法表示图中以D为顶点的角; (2)写出以B为顶点的角与角的边; (3)画出DA',使∠ADA'成平角,并写出它的边. 二、能力提升 3.在下图中,画出下列方向的射线. (1)射线OA:南偏东60°; (2)射线OB:北偏东30°; (3)射线OC:西南方向. 三、思维拓展 4.根据给出的图回答下列问题: (1)∠1表示成∠A,这样的表示方法是否正确?如果不正确,应该怎样改正? (2)图中哪个角可以用一个字母来表示? (3)以A为顶点的角有几个?请表示出来. (4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗?请说明理由. 【课后·知能演练】 1.B 2.解:(1)∠ADB或∠1或∠D. (2)角为∠CBD(或∠B或∠2),边是射线BC,BD. (3)如图,DA'是射线DA的反向延长线, 则∠ADA'成平角,∠ADA'的边是射线DA,DA'. 3.解:(1)如图所示,OA即为所求. (2)如图所示,OB即为所求. (3)如图所示,OC即为所求. 4.解:(1)不正确,因为以A为顶点的角不止一个,∠1可表示为∠DAC. (2)∠B. (3)以A为顶点的角有3个,分别是∠BAC,∠BAD,∠DAC. (4)不是同一个角.因为这两个角的顶点不同,所以不是同一个角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1　直线、射线、线段 课后·知能演练 一、基础巩固 1.下列几何图形与相应语言描述相符的有(　　) ①直线a,b相交于点A;②射线CD与线段AB没有公共点;③延长线段AB;④直线MN经过点A. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,点P在直线AB________;点Q在直线AB________,也在射线AB________,但在线段AB的________上.  3.指出下图中的射线、线段、直线,并一一表示出来. 二、能力提升 4.两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏,欣欣站在图中的点A处,没有看到希希,那么在图中所给出的点中,希希不可能躲藏的位置是点________处(图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物).  5.如图①,直线l1,l2相交于点A,点B在直线l1上.按要求完成下列问题: (1)在图①中作射线DB; (2)在图①中作直线BC; (3)在图①中作线段CD,与直线l1交于点E; (4)如图②,两条直线相交,把一个平面分成4部分,三条直线相交,最多可以将平面分成7部分,那么四条直线相交,最多可将平面分成________部分.  三、思维拓展 6.由下表中的规律推测:若在直线上有10个不同的点,则此图中共有________条线段.  图形 直线上点 的个数 共有线段 的条数 2 1 3 3 4 6 5 10 … … … 【课后·知能演练】 1.B 2.外　上　上　延长线 3.解:射线AB(或射线AC),射线BA,射线BC,射线CB(或射线CA);线段AB,线段AC,线段BC;直线AB或直线BC或直线AC. 4.B或F　解析:如图,连接AB,AC,AD,AE,AF,AG. 由图可知,仅有AB,AF没有与障碍物相交,故希希不可能躲藏的位置是点B或点F处. 5.解:(1)(2)(3)如图所示. (4)根据题意得, 两条直线相交,把一个平面分成4部分, 三条直线相交,把一个平面分成4+3=7部分, 四条直线相交,把一个平面分成4+3+4=11部分. 6.45　解析:由题图可知,当在直线上有2个点时:1=1, 当在直线上有3个点时:3=2+1, 当在直线上有4个点时:6=3+2+1, 当在直线上有5个点时:10=4+3+2+1,…, 当在直线上有10个点时:线段数=9+8+7+6+5+4+3+2+1=45. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.2　线段的比较与运算 课后·知能演练 一、基础巩固 1.如图,AB+AC比BC________,理由是:两点之间,________最短.  2.已知平面上的三个点D,E,F和直线l,根据要求画图. (1)画射线EF; (2)确定点N的位置,使得点N既在直线DE上,又在直线l上; (3)在直线l上确定点M的位置,使得点M到点D与点F的距离之和最小. 3.如图,点B,C在射线AP上,AB=a,BC=b(a>b). (1)尺规作图:在射线CP上作出点D,使CD=a-b.(保留作图痕迹) (2)若AD=6 cm,求线段AB的长. 请完成下列填空: 解:因为BD=BC+________,BC=b,CD=a-b,  所以BD=b+(a-b)=________.  因为AB=a,所以AB=________.  因为AD=AB+BD, 所以AD=2a=6 cm, 所以AB=________ cm.  二、能力提升 4.在线段AB的延长线上截取线段BC=AB,在线段AC上截取线段CD=AC,下列结论: ①点D是AC的中点; ②点B是DC的中点; ③BC=AC; ④DB=AC. 其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 三、思维拓展 5.如图,线段AB=4 cm,点C在直线AB上,且BC=2AB,点D在线段AC上,且CD=AC.求线段BD的长. 小明思考了一下做出如下解答: 解:如图,因为AB=4 cm,BC=2AB, 所以BC=8 cm. 所以AC=AB+BC=________ cm.  因为CD=AC, 所以CD=________ cm.  所以BD=BC-________=5 cm.  (1)请把小明的解答过程补充完整; (2)小红:小明思考不严密,还缺一种情况.你同意小红的观点吗?如果同意,请在备用图上画出图形,并写出小红的另一种情况的解答过程. 【课后·知能演练】 1.大　线段 2.解:(1)如图所示,射线EF为所求. (2)如图所示,点N即为所求. (3)如图所示,点M即为所求. 3.解:(1)如图,CD即为所求. (2)CD　a　BD　3 4.B　解析:由题意,画图如下: 因为CD=AC, 所以点D是AC的中点,故①正确; 因为BC=AB, 所以AC=AB+BC=3BC. 所以CD=BC,BC=AC. 所以点B不是DC的中点,故②错误,③正确; 所以BD=CD-BC=BC=AC,故④错误. 故正确的有2个. 5.解:(1)12　3　CD (2)同意小红的观点. 当点C在点B左侧时,如图, 因为AB=4 cm,BC=2AB,所以BC=8 cm. 所以AC=BC-AB=4(cm). 因为CD=AC,所以CD=1 cm. 所以BD=BC-CD=7(cm). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3　余角和补角 课后·知能演练 一、基础巩固 1.将一副三角尺分别按图中甲至丁的位置摆放,下列说法错误的是(　　) A.甲图中α与β相等 B.乙图中α与β相等 C.丙图中α与β互余 D.丁图中α与β互补 2.填写下表(若不存在,则填“无”): ∠A ∠A的余角 ∠A的补角 35° 25° 90° 60° n°(0<n<90) 3.如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角.如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角. (1)若∠A的余角是∠α,∠A的补角是∠β,则∠α和∠β之间有怎样的数量关系? (2)若一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数. 二、能力提升 4.如图,点A,O,B在同一条直线上,过点O作射线OC,OD,OE,OF,且∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,OA平分∠COE. (1)判断∠COE和∠DOF之间满足的数量关系,并说明理由; (2)判断OB是否平分∠DOF,并说明理由. 三、思维拓展 5.【探索与解决】 如图1,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. (1)与∠AOD互余的角是________;  (2)与∠AOD互补的角是________;  (3)∠DOE是多少度?请简单写出理由. 【拓展与延伸】 如图2,点A,O,B不在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,请你直接写出∠DOE与∠AOB之间的数量关系. 6.3.3　余角和补角 【课后·知能演练】 1.B 2.从左往右,第1行:55°,145°;第2行:65°,115°;第3行:无,90°;第4行:120°,无;第5行:(90-n)°,(180-n)°. 3.解:(1)因为∠α=90°-∠A,∠β=180°-∠A, 所以∠β-∠α=180°-∠A-(90°-∠A)=90°. (2)设这个角为x度,则它的余角为(90-x)度,它的补角为(180-x)度. 根据题意可得180-x=4(90-x),解得x=60. 答:这个角的度数为60度. 4.解:(1)∠COE+∠DOF=180°,理由如下: 因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE和∠BOF互余,所以∠AOC+∠BOD=90°,∠AOE+∠BOF=90°,所以∠COE+∠DOF=∠AOC+∠AOE+∠BOD+∠BOF=180°. (2)OB平分∠DOF,理由如下: 因为OA平分∠COE,所以∠AOC=∠AOE. 因为∠AOC和∠BOD互余,∠AOE与∠BOF互余,所以∠BOD=90°-∠AOC,∠BOF=90°-∠AOE,即∠BOD=∠BOF.所以OB平分∠DOF. 5.解:[探索与解决] (1)∠COE,∠BOE　因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠AOD=∠COD=∠AOC,∠BOE=∠COE=∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=90°. 即∠AOD+∠COE=90°,∠AOD+∠BOE=90°, 所以与∠AOD互余的角是∠COE和∠BOE. (2)∠BOD　因为∠AOD+∠BOD=180°, 所以与∠AOD互补的角是∠BOD. (3)∠DOE是90°,理由如下: 因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠COD=∠AOC,∠COE=∠BOC. 因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=90°. [拓展与延伸] ∠DOE=∠AOB. 提示:因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,所以∠AOD=∠COD=∠AOC,∠BOE=∠COE=∠BOC.因为∠AOB=∠AOC+∠BOC,所以∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=∠AOB. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.1　立体图形与平面图形 第1课时　立体图形与平面图形 课后·知能演练 一、基础巩固 1.直径为60 cm的圆,在生活中可能是(　　) A.杯盖的面 B.井盖的面 C.一元硬币的面 D.蒙古包占地的面 2.如图,标注的图形名称与图形不相符的是(　　) 3.将下列几何图形分类: 按柱体、锥体、球体分类:是柱体的是________,是锥体的是________,是球体的是________(填序号).  二、能力提升 4.在方格纸中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点都叫作格点.已知一条线段的两个端点A,B都在格点上. (1)仅用直尺,在方格纸中画出正方形ABCD; (2)正方形ABCD的面积为________.  三、思维拓展 5.补全下面两个长方体. 6.1.1　立体图形与平面图形 第2课时　从不同方向看立体图形、几何图形的展开与折叠 课后·知能演练 一、基础巩固 1.下图是一个无盖正方体盒子,盒底标有一个字母m,现沿箭头所指方向将盒子剪开,则展开后的图形是(　　) 2.下图是大家熟悉的骰子,每个骰子相对两面的点数之和均为7.若其中一个骰子的展开图如图所示,则其中一面上代表的点数是6的是________(填“A”“B”或“C”).  3.请你在图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形能构成正方体的表面展开图.(注:①添加的正方形用阴影表示;②要求用3种不同的方法) 二、能力提升 4.(1)观察下面立体图形,画出从前面、左面、上面看到的平面图形; (2)若再添加n个大小相同的正方体,使新得到的立体图形从前面和左面看到的平面图形不变,则n的最大值为________.  三、思维拓展 5.在数学综合实践活动课上,小明将一个无盖鞋盒拆开并展开,如图,若展开后的长与宽分别记为a cm,b cm,在纸盒四个角上的空白处均为边长为x cm的正方形. (1)用a,b,x表示无盖鞋盒的体积.(表示成长×宽×高即可,不用展开) (2)当a=10,b=8,x=2时,求该无盖鞋盒的体积. 【课后·知能演练】 1.B　2.A 3.①③⑤　④⑥　② 4.(1)解:正方形ABCD如图所示. (2)18　解析:正方形ABCD的面积为4×=18. 5.解:补全的长方体如图所示. 【课后·知能演练】 1.A　2.A 3.解:答案不唯一. 4.(1)解: (2)6　解析:如图,在最下面一层,最后面一行的前面加上6块,得到的立体图形从前面和左面看到的平面图形不变. 从上面看 5.解:(1)由题图可知,无盖鞋盒的长为(a-2x)cm,无盖鞋盒的宽为(b-2x)cm,无盖鞋盒的高为x cm,鞋盒的体积为x(a-2x)(b-2x)cm3. (2)当a=10,b=8,x=2时,无盖鞋盒的体积为2×(10-2×2)×(8-2×2)=48(cm3). 答:该无盖鞋盒的体积为48 cm3. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$