第2章 三角形 单元测试卷 2024-2025学年湘教版八年级数学上册

三角形单元测试卷 考试时间：120分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．下列各图中，正确画出边上的高的是（    ） A．B．C． D． 4．下列命题： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②有公共顶点且有公共边的角是邻补角 ③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．是的高，若，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，已知点D，E分别为的中点，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 第2题图 第6题图 第7题图 8．如图，，，，则x的值为（     ） A．80 B．120 C．100 D．140 9．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，的周长为20，的长为8，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 第8题图 第9题图 第10题图 二、填空题（每题3分，共24分） 11．自行车的三角架结构使其更牢固，运用数学原理是 ． 12．如图，是的中线，的周长为26，的周长为19，，= ． 13．如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是 ． 14．如图，已知，，请你添加一个条件（一个即可）： ，使． 15．已知中，为的角平分线，为边上的高，，若，则 ． 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 16．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 17．在如图所示的正方形网格中，等于 ． 18．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 第16题图 第17题图 第18题图 三、解答题（第19-25题8分，第26题10分，共66分） 19．如图，已知 是 的中线， 交 的延长线于点 E ， 于点F．求证：．    20．如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 21．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，平分，请判断的形状并说明理由． 22．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 23．如图，，，点在边上，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC． 25．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 26．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D C C D C C 1．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 故选：． 2．A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：图形中有三角形：，，，，， 图中共有5个三角形． 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【详解】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据邻补角的定义，点到直线的距离，两直线的位置关系一一判断即可得出答案． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故①是假命题． ②有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故②是假命题， ③直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③是假命题， ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故④是假命题， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】①如图1，当高在的内部时，； ②如图2，当高在的外部时，， 综上所述，的度数为或． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7．C 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案．本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查三角形内角和定理，由三角形内角求得是解决问题的关键． 【详解】解：三角形内角和是 ，， ，即的值为， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，得到答案． 【详解】垂直平分， ， ∴的周长， 又， ． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．由折叠性质可得，，，再由等腰直角三角形性质得，即可得到；设，，可得，，，即可推导出；∠1与∠2不一定相等，与不一定平行，即可确定答案． 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项③正确； 设，， ∴，，∵， ∴， ∴， ∴，故选项②正确； ∵， ∴与不一定相等，故选项①不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行，故选项④不一定正确； 综上分析可知：正确的结论有②③． 故选：C． 11．三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性即可判断，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】自行车的三角架结构使其更牢固，运用数学原理是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12． 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键．根据三角形的周长和中线的定义求与的差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， 即， 则． 故答案为：． 13．SSS 【分析】根据SSS判断三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得： ∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM， ∴△POM≌△QOM（SSS）， ∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线． 故答案为SSS．    【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 14．(合理即可） 【分析】本题是开放性题目，考查了全等三角形的判定，由已知条件：，，再添加一组角相等或即可证明全等． 【详解】添加条件：； 证明：∵，， ∴， 故答案为：(合理即可）． 15．/25度 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形外角的定义以及性质，三角形内角和定理，设，由已知条件可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，即，再根据角的倍数关系可得出，由角平分线的定义可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：设， ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ ∵，即 ∴， ∴， 故答案为： 16．40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 17．/225度 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用　，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据中线得，根据垂直得，即可利用证明，则有结论成立． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ． 20．(1)见解析； (2)或． 【分析】（1）利用平行线的判定定理，作，注意射线包括两条； （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线和就是所要求做的射线. （2）解：当时，， 所以 当时，， 综上所述：为或． 【点睛】本题考查射线的定义，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意射线有两条． 21．(1)见解析 (2)是等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得到，已知，则，可判定，即可得到； （2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明： ∴ ∴ （2）是等边三角形 ∵平分， ∵ ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 22．(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数； （2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：在中， ，， ， 是的垂直平分线， ，， ； （2）解：是的垂直平分线，， ，， ， ． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定， （1）根据全等三角形的判定即可判断； （2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数； 【详解】（1）证明：和相交于点， ． 在和中， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ． （2）解：， ，． 在中， ，， ， ． 24．(1)证明见解析；（2）说明见解析. 【详解】分析：（1）由△ABC和△ADE都是等腰三角形且∠BAC=∠DAE知AB=AC、AD=AE、∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE即可得证；     （2）由（1）知BD=CE，结合CD=CE知CD=BD，据此可得点D在BC的中垂线上，根据AB=AC知点A在BC的中垂线上，从而得出AD垂直平分线段BC． 详解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中，     ∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．     （2）由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD=CE．     ∵CD=CE，∴CD=BD，∴点D在BC的中垂线上．     ∵AB=AC，∴点A在BC的中垂线上，∴AD垂直平分线段BC． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质、线段的中垂线的性质． 25．（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 26．（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$