第一单元长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 板块一：考点精讲 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 板块二：高频考点 一、选择题 1．下图是一个长方体的两个相邻面，与这两个面的面积都不相同的另一个面的面积是（    ）cm2。 A．16 B．30 C．36 D．25 2．一个正方体纸盒，每个面都写有一个汉字，下图是它的展开图，在这个正方体中，与“自”字相对的字是（    ）。 A．力 B．成 C．功 D．努 3．一个正方体棱长是另一个正方体棱长的4倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（    ），那么大正方体的棱长总和是小正方棱长总和的（    ）。 ①4倍  ②8倍  ③16倍  ④24倍 A．③；① B．③；② C．④；① D．④；② 4．下面选项中，（    ）表示“m的2倍比52少多少”。 A．2（m－52） B．2m－52 C．52－2m D．2（52－m） 5．把4个棱长是1厘米的小正方体拼成1个长方体，这个长方体的表面积最少是()平方厘米． A．16 B．18 C．22 D．24 6．用一根长（　　）厘米的铁丝，正好围成一个长7厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架。 A．28 B．48.8 C．56 D．70 7．一个正方体的棱长总和是48分米，它的表面积是（    ）。 A．64平方分米 B．96平方分米 C．144平方分米 D．72平方分米 8．小明将一罐新买的饮料（净含量为650ml）完全浸没在一个装满水的盆中，盆中溢出（    ）的水。 A．正好650ml B．比650ml多 C．比650ml少 D．无法判断 二、填空题 9．把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的所有棱长之和是( )cm。 10．一个容积是3000升的长方体水池，底面积是20平方米，水池深( )米。 11．如图把3个棱长1分米的正方体拼成长方体，这个长方体的棱长总和是( )分米，表面积比原来少( )平方分米，体积是( )立方分米。 12．一个长方体的长宽高分别为10cm、8cm、6cm，如果把它的长延长之后，体积就增加了240cm³。它的表面积增加了( )cm2。 13．在括号里填上合适的单位。 一个铅笔盒的体积约有200( )       一间卧室面积约为15( ) 一个浴缸的容积约为0.8( )       一个货舱的容积约300( ) 14．一个长方体的底面是周长20cm的正方形，高4cm，这个长方体的表面积是( )。 15．一个长方体恰好可以截成两个正方体，截开后其表面积增加18平方米，这个长方体的体积是( )。 三、判断题 16．一个正方体的底面周长是8厘米，这个正方体的表面积是24平方厘米。( ) 17．和都是由棱长相同的正方体积木搭成，它们的表面积相比，大于。（ ） 18．长方体和正方体都有8条棱、12个顶点和6个面．( ) 19．至少要8个小正方体才能堆成一个较大的正方体。( ) 20．由4个棱长1分米的小正方体拼成的长方体，表面积可能是18平方分米，也可能是16平方分米。( ) 21．把一块橡皮泥捏成泥人或正方体，它们的体积一样大。( ) 22．把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，长方体体积不变。( ) 四、解答题 23．长度单位是米、分米、厘米，面积单位是平方米、平方分米、平方厘米，那么体积单位用什么来表示呢？ 24．要给一个棱长是5分米的正方体玻璃鱼缸镶上不锈钢角边，至少需要多少分米长的不锈钢角铁？制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？（鱼缸的上面没有盖） 25．一个棱长为1分米的正方体，从中间挖去一个长方体，长方体长5厘米，宽4厘米，高3厘米，剩下物体的表面积是多少？ 26．陈叔叔汽车的油箱形状是一个长5分米，宽2.5分米，高4分米的长方体。（铁皮厚度和接头处都忽略不计） 当日油价（元/升） 油号  油价 90   7.55 92   7.89 95   8.30 98   9.19 （1）做这个油箱至少需要多少平方分米铁皮？ （2）陈叔叔到加油站加95号汽油。当日油价如图，陈叔叔加满油箱大约需要多少元？ 27．一个长方体的罐头盒，长15厘米，宽8厘米，高9厘米。如果在盒的四周贴上商标纸（上下面不贴），需要商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 28．一块正方体魔方的棱长是8厘米，它的表面积是多少？ 29．在一个周长为50.24米的圆形花园外铺设2米宽的环形水泥路，这条水泥路的面积是多少平方米？ 30．把一块长30厘米、宽25厘米的长方形铁皮，从四个角剪去边长5厘米的正方形，再焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C A C B B 1．B 【分析】由图可知，长方体的长为6cm，宽为4cm，高为5cm，用长×高可得另一个面的面积。 【详解】6×5＝30（cm2） 故答案为：B 【点睛】本题考查长方体的特征，找出另一个面的对应两条边的长度是解决本题的关键。 2．C 【分析】1－4－1型正方体展开图，将努当成下面，则信是左面，力是右面，自是后面，成是上面，功是前面，再根据左右相对，前后相对，上下相对，确定“自”字相对的字。 【详解】根据分析可知，“自”字相对的字是功。 故答案为：C 3．A 【解析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长总和＝棱长×12，据此解答。 【详解】设小正方体的棱长为1，大正方体的棱长为4，求出大小正方体的表面积，进而求出大正方体的表面积是小正方体表面积的多少倍即可；再求出大小正方体棱长总和，用大正方体的棱长总和除以小正方体的棱长总和即可。此题考查了学生对正方体棱长之和以及表面积的处理以及灵活运用情况。 解：设小正方体的棱长为1，大正方体的棱长为4， 大正方体的表面积是小正方体表面积的： （4×4×6）÷（1×1×6） ＝96÷6 ＝16 大正方体的棱长总和是小正方体棱长总和的： （4×12）÷（1×12） ＝48÷12 ＝4 答：大正方体的表面积是小正方体表面积的16倍，大正方体的棱长总和是小正方体棱长总和的4倍。 故答案为：A。 【点睛】熟练掌握正方体的特征和表面积的计算是解答此题的关键。 4．C 【分析】根据题意可知，用52减去m乘2的积即可，依此列式并选择。 【详解】计算m的2倍比52少多少，可列式为：52－2m。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是用字母表示数，应熟练掌握。 5．A 6．C 【解析】长方体的棱长总和为：（长＋宽＋高）×4，代入数据求解即可。 【详解】（7＋5＋2）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 答：需要一根长56厘米的铁丝。 故选：C。 【点睛】掌握长方体的特征、长方体的棱长总和的求法是解决问题的关键。 7．B 【分析】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱，且每条棱长都相等，棱长总和是48分米，则可以求出每条棱的长度，进而利用正方体的表面积公式就可以求出其表面积。 【详解】棱长：48÷12＝4（分米） 正方体的表面积： 4×4×6 ＝16×6， ＝96（平方分米） 故答案为：B 【点睛】解答此题的主要依据是：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等以及正方体的表面积公式。 8．B 【分析】根据题意可知，650 mL是这瓶饮料的净含量，所以饮料瓶的体积大于650 mL；然后根据盆里溢出的水等于饮料瓶的体积，可得盆里溢出的水比650mL多。 【详解】根据分析可知： 小明将一罐新买的饮料（净含量为650ml）完全浸没在一个装满水的盆中，盆中溢出比650ml多的水。 故答案为：B 【点睛】本题考查物体体积与容积的区别，物体的体积一般情况下大于它的容积。 9．40 【分析】根据题意，把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，则大长方体的长是4＋2＝6（cm），宽是2cm，高是2cm，据此解答即可。 【详解】大长方体的长是4＋2＝6（cm），宽是2cm，高是2cm （6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（cm） 【点睛】明确长方体和正方体拼组成一个新长方体，找出新长方体的长宽高是解答此题的关键；用到的知识点：长方体棱长和的计算方法。 10．0.15 【分析】根据进率“1升＝1立方分米，1立方米＝1000立方分米”，先把3000升换算成3立方米； 根据长方体的体积（容积）公式V＝Sh可知，长方体的高h＝V÷S，代入数据计算即可求出水池的深度。 【详解】3000升＝3000立方分米 3000立方分米＝3立方米 3÷20＝0.15（米） 一个容积是3000升的长方体水池，底面积是20平方米，水池深0.15米。 【点睛】本题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，以及容积、体积单位的换算。 11． 20 4 3 【分析】根据图可知，这个长方体的长是：1×3＝3分米，宽：1分米，高：1分米，根据长方体的棱长总和的公式：（长＋宽＋高）×4，把数代入公式即可求解；由于两个正方体拼在一起会减少2个面，即3个正方体拼在一起会减少2×2＝4（个）面，一个面的面积：1×1＝1（平方分米），则减少的面积：1×4＝4（平方分米）；再根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解。 【详解】由分析可知：长方体的长：1×3＝3（分米） 长方体的宽：1分米；长方体的高：1分米 棱长总和：（3＋1＋1）×4 ＝5×4 ＝20（分米） 2×2＝4（个） 1×1×4 ＝1×4 ＝4（平方分米） 3×1×1 ＝3×1 ＝3（立方分米） 【点睛】本题主要考查立体图形的拼接、长方体的棱长总和公式以及长方体的体积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 12．140 【分析】由题意可知：增加部分是一个长方体，根据长方体的体积公式求出长延长的长度；又增加的表面积是增加部分上、下、前、后面的面积，代入数据计算即可。 【详解】240÷8÷6 ＝30÷6 ＝5（厘米） 增加表面积：5×8×2＋5×6×2 ＝40×2＋30×2 ＝80＋60 ＝140（平方厘米） 【点睛】理解增加表面积是增加部分上、下、前、后面的面积，求出延长的长度是解题的关键。 13． 立方厘米/cm3 平方米/m2 立方米/m3 立方米/m3 【分析】根据生活经验、对长度单位和数据大小的认识可知，一个铅笔盒的体积应用“立方厘米”作单位；计量一间卧室面积应用“平方米”作单位；计量一个浴缸的容积应用“立方米”作单位；计量一个货舱的容积应为“立方米”作单位，据此解答。 【详解】一个铅笔盒的体积约有200立方厘米；一间卧室面积约为15平方米； 一个浴缸的容积约为0.8立方米；一个货舱的容积约为300立方米。 【点睛】解答本题的关键是联系生活实际，结合对长度单位和数据大小的认知作出判断。 14．130cm2/130平方厘米 【分析】已知长方体的底面周长是20cm的正方形，高4cm，由此可知长方体的4个侧面是完全相同的长方形，用底面周长×高＋两个底面积，就是长方体的表面积。 【详解】底面边长： 20÷4＝5（cm） 表面积： 5×5×2＋20×4 ＝25×2＋80 ＝50＋80 ＝130（cm2） 这个长方体的表面积是130cm2。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积的计算，首先求出底面边长，再根据表面积公式解答即可。 15．54立方米/54m3 【分析】根据题意，把长方体截成两个正方体，会增加2个横截面，用18除以2可计算出一个横截面的面积，根据横截面的面积可计算出这个正方体的棱长，用正方体的棱长乘2就是这个长方体的长，然后再用横截面的面积乘长方体的长就是这个长方体的体积，列式解答即可得到答案。 【详解】一个横截面的面积为：18÷2＝9（平方米） 因为3×3＝9，所以正方体的棱长为：9÷3＝3（米）； 长方体的长为：3×2＝6（米） 长方体的体积为：9×6＝54（立方米） 【点睛】解答此题的关键是根据增加的面积确定正方体的棱长，然后再计算出长方体的长，最后再用底面积乘长计算出长方体的体积即可。 16．√ 17．× 【详解】根据题干分析可得： 正方体木块，从顶点上挖去一个小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的，也就是说这两个立体图形的表面积是相等的。 故答案为×。 18．× 19．√ 【分析】将若干个小正方体，摆成一个大正方体，那么这个正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，由此即可计算得出小正方体的总个数，据此判断即可。 【详解】根据正方体的特征，大正方体每条棱上的小正方体个数相等，那么这个大正方体的每个棱长上至少有2个小正方体，也就是说至少需要个小正方体才能拼成一个大正方体，本题说法正确。 故答案为：√ 20．√ 【分析】由4个棱长1分米的小正方体拼成的长方体，可以有两种拼法，可以拼成长、宽、高分别是4分米、1分米、1分米的长方体，也可以拼成长、宽、高分别是2分米、1分米、2分米的长方体，根据长、宽、高求出表面积判断。 【详解】4×1×4＋1×1×2 ＝16＋2 ＝18（平方分米） 2×1×4＋2×2×2 ＝8＋8 ＝16（平方分米） 拼法不同，表面积不同，表面积可能是18平方分米，也可能是16平方分米。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查简单的立方体切拼问题以及长方体表面积的求法。 21．√ 【分析】物体所占空间的大小，是物体的体积，据此判断。 【详解】把一块橡皮泥捏成泥人或正方体，只是形状发生了变化，所占空间的大小是不变的，所以它们的体积一样大，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了体积的认识，明确体积不会随着形状的变化而改变。 22．× 【分析】由长方体的体积公式V＝abh可知：长方体的体积由长方体的长、宽、高三个要素决定其大小。长和高的数据变化知道了，但高的数据变化不知道，也就不能判断体积的变化。据此解答。 【详解】把长方体的高增长到原来的两倍，长缩短为原来的一半，新的长方体的长乘高等于原长方体的长乘高，但宽的数据变化不知道，故体积的大小不能确定。 故原题说法错误。 【点睛】掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。 23．用立方米、立方分米、立方厘米表示 【分析】根据对体积单位的认识，直接答题即可。 【详解】答：体积单位用立方米、立方分米、立方厘米表示。棱长是1米的正方体的体积是1立方米；棱长是1分米的正方体的体积是1立方分米；棱长是1厘米的正方体的体积是1立方厘米。 【点睛】本题考查了体积单位，掌握常见的体积单位是解题关键。 24．60分米；125平方分米 【分析】在正方体鱼缸镶上不锈钢角边，即要求出正方体的棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，得出答案；由于正方体鱼缸没有上面的盖子，则需要5个面，需要玻璃面积＝棱长×棱长×5，据此可得出答案。 【详解】制作角铁需要：（分米） 需要玻璃面积为：（平方分米） 答：至少需要60分米长的不锈钢角铁；制作鱼缸至少需要125平方分米玻璃。 25．654平方厘米 【分析】在一个大正方体里，挖去一个长方体，表面积增加了，是原来的正方体表面积再加上小长方体的前后左右4个面。 【详解】1分米＝10厘米，大正方体的表面积是：10×10×6＝600（平方厘米） 长方体的表面积：5×3×2＋2×4×3＝54(平方厘米) 剩下物体的表面积:600＋54＝654(平方厘米) 答：剩下物体的表面积是654平方厘米。 【点睛】从正方体里挖去一个小长方体，体积变小了，表面积增加了。 26．（1）81平方分米 （2）415元 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出油箱的容积，再乘95号汽油的单价即可解答。 【详解】（1）（5×2.5＋5×4＋2×4）×2 ＝（12.5＋20＋8）×2 ＝40.5×2 ＝81（平方分米） 答：做这个油箱至少需要81平方分米铁皮。 （2）5×2.5×4 ＝12.5×4 ＝50（立方分米） 50立方分米＝50升 50×8.3＝415（元） 答：陈叔叔加满油箱大约需要415元。 27．414平方厘米 【分析】由题意可知，商标纸的面积就是长方体罐头盒的侧面积，长方体的侧面积＝底面周长×高，据此计算即可。 【详解】（15＋8）×2×9 ＝23×2×9 ＝414（平方厘米） 答：需要商标纸的面积至少是414平方厘米。 28．384平方厘米 【分析】已知正方体的棱长，要求它的表面积，用公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，据此列式解答. 【详解】8×8×6 =64×6 ＝384（平方厘米）. 答：它的表面积是384平方厘米. 29．113.04平方米． 【分析】根据圆的周长公式，C=2πr，得出r=C÷π÷2，再根据圆环的面积的计算方法，即用大圆的面积减去小圆的面积，求出环形小路的面积． 【详解】花坛的半径：50.24÷3.14÷2=8（米） 小路的面积：3.14×（8+2）2﹣3.14×82 =3.14×100﹣3.14×64 =3.14×（100﹣64） =3.14×36 =113.04（平方米） 答：小路的面积是113.04平方米． 30．1500平方厘米 【分析】根据题意，折成的长方体铁盒的长、宽、高分别为（30－5×2）厘米、（25－5×2）厘米、5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，将数据代入公式，即可求出这个容器的容积。 【详解】（30－5×2）×（25－5×2）×5 ＝（30－10）×（25－10）×5 ＝20×15×5 ＝1500（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是1500立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体体积的计算方法，关键是求出长方体容器的长、宽、高。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$