圆的知识点和经典方法汇总讲义-2025届高三数学一轮复习

一、圆的相关知识 1 圆的标准方程：，其中圆心为，半径为。 例：圆的方程，其中圆心为，半径为。 2点与圆的关系的判断方法： （1）>，点在圆外； （2）=，点在圆上； （3）<，点在圆内。 3 圆的一般方程： 转为圆的标准方程为：，其中圆心为。 4 圆的特殊方程 （1） 圆心在坐标原点的圆的标准方程：。 例：圆心在坐标原点，且半径为1的圆的标准方程：。 （2） 圆心在轴的圆的标准方程：。 例：圆心在，且半径为3的圆的标准方程：。 （3）圆心在轴的圆的标准方程：， 例：圆心在，且半径为2的圆的标准方程：。 （4）圆与轴相切的圆的标准方程：， 例：圆心在，且轴相切的圆的标准方程：。 （5）圆与轴相切的圆的标准方程：， 例：圆心在，且轴相切的圆的标准方程：。 （5） 圆与两坐标轴都相切的圆的标准方程：。 例：圆与两坐标轴都相切，且半径为2的圆的标准方程：。 （6） 圆过坐标原点的圆的标准方程：。 例：圆过坐标原点，且圆心在的圆的标准方程：。 5用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当时，直线与圆相离；（2）当时，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆相交；（4）当时，直线与圆有交点。 当直线与圆相交时，弦长=。 例：已知直线与圆相交于两点，求的值 解：第一步：将圆转化为标准形式：， 第二步：圆心到直线的距离， 第三步：。 当直线与圆相切时，（圆心到直线的距离等于半径） 例：已知直线与圆相切，求的值 解：第一步：将圆转化为标准形式：， 第二步：圆心到直线的距离， ，解得或。 当直线与圆相离时，（圆心到直线的距离大于半径） 例：圆上的点到直线的距离的最大值与最小值 解：第一步：将圆转化为标准形式：， 第二步：圆心到直线的距离， 第三步：圆上的点到直线的距离最大值为，圆上的点到直线的距离最小值为。 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系． 一、设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： 圆： ，圆：， 两圆圆心距：（两点间的距离公式） （1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切； （3）当时，圆与圆相交； （4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含； 二、看两圆的公切线数 （1）两圆有4条公切线，说明两圆相离。（2）两圆有3条公切线，说明两圆外切。 （3）两圆有2条公切线，说明两圆相交。（4）两圆有1条公切线，说明两圆内切。 （5）两圆有0条公切线，说明两圆内含。 两圆外切时， 例：若圆与圆有3条公切线，则正数＝（　　） 解：第一步：两圆的圆心分别为，， 第二步：两圆有3条公切线，说明两圆外切，（）， ，由题意得。 两圆相离时， 例：已知圆O1：x2+y2＝16和圆O2：x2+y2﹣6mx﹣8my+16m2＝0有且仅有4条公切线，则实数m的取值范围是？ 解：第一步：圆O2转化为标准形式：， 第二步：两圆的圆心分别为，，， 第三步：两圆有4条公切线，说明两圆相离，（） ，由题意得或。 两圆相交时，。 例：圆：x2+y2﹣4＝0与圆：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为 解：第一步：圆：，圆：， 两圆的圆心分别为，，，说明两圆相交。 第二步：两圆一般式作差，，化解。 第三步：圆的圆心到直线的距离， 第四步：弦长。 例题分析：　 1直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　） 解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝＝2， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+，）， ∴点P到直线x+y+2＝0的距离：d＝＝， ∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d＝∈[]， ∴△ABP面积的取值范围是：[，]＝[2，6]． 2若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（　　） 解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0． 故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1， 故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． 故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）； 故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝； 3已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　） 解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2. ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$