专题03 勾股定理（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）

清单03 勾股定理（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 【清单02】勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【清单04】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单05】勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一】利用勾股定理解三角形 【例1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（    ） A． B．6 C． D． 【变式1-1】如图，在中，．以为边在点C同侧作正方形，则正方形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．25 【变式1-2】阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（     ） A．5 B．12 C．17 D．13 【变式1-3】如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 【变式1-4】若一个直角三角形的三边长分别为 3 ，5 ，，则的值是 ． 【变式1-5】如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【考点题型二】勾股数问题 【例2】下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，10 D． 【变式2-1】有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 【变式2-2】在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 则当时，的值为（    ） A．242 B．200 C．128 D．162 【变式2-3】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【变式2-4】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【考点题型三】利用勾股定理求图形面积 【例3】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（      ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式3-1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式3-2】如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则图中所有正方形的面积之和为 ． 【变式3-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【变式3-4】如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 【考点题型四】勾股定理与网格结合求距离 【例4】如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【变式4-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【变式4-2】如图， 的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 【变式4-3】如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 【变式4-4】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； (2)求（1）中所作三角形最长边上的高． 【变式4-5】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上． (1)的长为____________，的长为____________． (2)在正方形网格中，画出以为公共边与全等的所有三角形． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【例5】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【变式5-4】如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【变式5-5】直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【考点题型六】勾股定理的验证 【例6】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 【变式6-1】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式6-2】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【变式6-3】已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【变式6-4】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【考点题型七】判断三边能否构成直角三角形 【例7】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．3，3，3 B．1，， C．45，45，90 D．8，16，17 【变式7-1】以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．13，14，15 D．5，12，13 【变式7-2】满足下列条件的中，不是直角三角形的是(     ) A． B． C． D． 【变式7-3】以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（其中 ）（     ） A． B． C．，， D． 【变式7-4】下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 【变式7-5】如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【考点题型八】勾股定理逆定理的实际应用 【例8】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【变式8-1】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（     ） A．60 B．75 C．30 D．78 【变式8-2】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【变式8-3】一块木板如图所示，已知，，，，，木板的面积是多少？ 【变式8-4】某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【变式8-5】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元．求：    (1)说明是直角三角形； (2)试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【考点题型九】利用勾股定理解实际应用问题 【例9】如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（     ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 【变式9-1】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　 　） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 【变式9-4】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B距底端O为0.7m． (1)求的长度． (2)如果梯子下滑0.4m，则梯子滑出的距离是否等于0.4m？请通过计算来说明理由． 【变式9-5】如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【变式9-6】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 勾股定理（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 【清单02】勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 【清单04】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单05】勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 【考点题型一】利用勾股定理解三角形 【例1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴根据勾股定理求得斜边为：， ∵直角三角形的面积为：， ∴此直角三角形斜边上的高为：， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理和三角形面积的计算，求出直角三角形的斜边长是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，．以为边在点C同侧作正方形，则正方形的周长为（     ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题根据勾股定理求出的长，再求出正方形的周长即可． 【详解】解：在中，， 则， 所以，正方形的周长 故选：C 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用。 【变式1-2】阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（     ） A．5 B．12 C．17 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-3】如图所示，在中，，，，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为 ． 【答案】 【分析】本题在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即． 解得： 故答案为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 【变式1-4】若一个直角三角形的三边长分别为 3 ，5 ，，则的值是 ． 【答案】4或 【分析】本题由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与5为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，，（舍去）， 当5为斜边时，， 解得，，（舍去）， 综上所述，的值是4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解． 【变式1-5】如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)8，15； (2)． 【分析】本题（1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）设，则，由勾股定理得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【考点题型二】勾股数问题 【例2】下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．4，5，6 B．，2， C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，2，这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义。 【变式2-1】有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3，4，5这三个数，因为，，，可以计算得出，所以3，4，5是勾股数．运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．3，5，7 D．2，2，4 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，根据题意给出的勾股数的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【变式2-2】在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 8 15 24 35 48 10 17 26 37 50 则当时，的值为（    ） A．242 B．200 C．128 D．162 【答案】D 【分析】本题根据表格中数据确定、、的关系，然后再代入求出、的值进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得， 则， 则． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定、、的数量关系． 【变式2-3】我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 【变式2-4】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【分析】本题根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用． 【考点题型三】利用勾股定理求图形面积 【例3】如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（      ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理进行求解是解题的关键。 【变式3-1】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2023次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理．设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是．则，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，从而得出规律． 【详解】解：设第一个直角三角形的两条直角边是，，斜边是． 根据勾股定理，得， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 即所有正方形的面积和是， 由图2可知，“生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理． 【变式3-2】如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则图中所有正方形的面积之和为 ． 【答案】98 【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理的几何意义，可以看作边长为a，b， c的正方形面积即可． 【详解】解：分别设直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，如图所示， ∴， ∵最大的正方形的边长为7cm， ∴最大的正方形面积为， ∴ ∴所有的正方形的面积之和为：． 故答案为：98． 【点睛】本题考查了勾股定理． 【变式3-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，则 ． 【答案】12 【分析】本题利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【变式3-4】如图，以直角三角形三边长为边作正方形，100和36分别代表其中两个正方形的面积，则A的面积为 ． 【答案】64 【分析】本题根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计算直角边，即正方形A的边长. 【详解】解：因为以两个边长的正方形面积为100和36，则边长为和， 所以直角边的平方， ∴A的面积为64， 故答案为：64． 【点睛】本题考查了正方形各边相等，各内角为直角的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用。 【考点题型四】勾股定理与网格结合求距离 【例4】如图，小方格都是边长为2的正方形，则中边上的高是（    ） A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设中边上的高是，利用割补法求出的面积，再利用勾股定理求出的长，利用的面积建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设中边上的高是， 小方格都是边长为2的正方形， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【变式4-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【变式4-2】如图， 的顶点 A，B，C 在边长为1 的正方形网格的格点上， 于点 D，求 BD 的长 【答案】 【分析】根据题意，，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ∴． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，掌握网格与勾股定理的关系是解题的关键． 【变式4-3】如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 【答案】 【分析】本题过点作的延长于点，过点作于点，可得的长，在中，可求出的长，根据，即三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：如图所述，过点作的延长于点，过点作于点， ∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴中边上的高为． 【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-4】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中画一个三边长分别为，3，的三角形，使它的顶点都在格点上； (2)求（1）中所作三角形最长边上的高． 【答案】(1)详见详解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理，结合网格结构画出符合条件的三角形即可； （2）先利用割补法求出，再利用三角形的面积公式求出最长边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ，，； （2） ， 设边上的高为h， 则， 解得：． 即（1）中所作三角形最长边上的高为． 【点睛】此题考查了作图—应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积．画出符合条件的三角形是解题的关键． 【变式4-5】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上． (1)的长为____________，的长为____________． (2)在正方形网格中，画出以为公共边与全等的所有三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】此题（1）根据勾股定理计算可得线段长度； （2）根据轴对称作图即可． 【详解】（1）解：， 故答案为；． （2）如图，，，即为所求． ． 【点睛】此题考查了勾股定理求线段长度，作轴对称图形。 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 【例5】如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 【点睛】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 【变式5-1】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为．则的面积为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理求出的长，利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：； 即：， ∴的面积为． 故选：A． 【点睛】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键． 【变式5-2】如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠。 【变式5-3】如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 【变式5-4】如图，有一个长方形纸片，，点E为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题根据折叠的性质可得，然后在中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在利用勾股定理进行计算即可求的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 根据折叠的性质，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 故答案是： 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 【变式5-5】直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两直角边，， ， 由折叠可得：，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识． 【考点题型六】勾股定理的验证 【例6】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（    ） A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∴， ∴不能证明勾股定理，故不符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 如图， ∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【变式6-1】勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【变式6-2】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形． 请根据信息解答下列问题： (1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积． 方法1：______． 方法2：______． (2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系． (3)如果大正方形的边长为10，且，求小正方形的边长． 【答案】(1)；[或] (2) (3)小正方形的边长为2 【分析】本题（1）直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可； （2）根据等积法得到数量关系即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：方法一：大正方形的面积=； 方法二：大正方形的面积=； （2）由（1）可知：， 整理，得：； （3）由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为2． 【点睛】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积。 【变式6-3】已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题首先求出∠ABD=90°，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明。 【变式6-4】用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 【考点题型七】判断三边能否构成直角三角形 【例7】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（     ） A．3，3，3 B．1，， C．45，45，90 D．8，16，17 【答案】B 【分析】本题只要比较较小两个数的平方和与第三第三个数的平方是否相等即可． 【详解】解：A．∵3，3，3组成等边三角形，不是直角三角形，故不符合题意； B．∵，∴1，，能组成直角三角形，故符合题意； C．∵，∴45，45，90不能组成直角三角形，故不符合题意； D．∵，∴8，16，17不能组成直角三角形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键． 【变式7-1】以下列各组数据为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．13，14，15 D．5，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、， 3，4，5能构成直角三角形，故不符合题意； B、， ∴6，8，10能构成直角三角形，故不符合题意； C、， 13，14，15不能构成直角三角形，故符合题意； D、， 5，12，13能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键． 【变式7-2】满足下列条件的中，不是直角三角形的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【变式7-3】以下列长度的线段为边，能组成直角三角形的是（其中 ）（     ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】此题根据勾股定理逆定理分别计算并判断即可． 【详解】解：A、∵， 但是与不一定相等， ∴不能组成直角三角形；故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能组成直角三角形；故B符合题意； C、∵， ∴， ∴不能组成直角三角形；故C不符合题意； D、∵，当，时， ∴； ∴不能组成直角三角形；故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键． 【变式7-4】下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，是直角三角形，不符合题意； B、，，不是直角三角形，符合题意； C、，，是直角三角形，不符合题意； D、三边的长分别为5、4、3，，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理判断直角三角形的方法是解题的关键． 【变式7-5】如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【分析】（1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． 【考点题型八】勾股定理逆定理的实际应用 【例8】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． (1)求修建的公路的长； (2)若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题（1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【详解】（1）解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 【变式8-1】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（     ） A．60 B．75 C．30 D．78 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 【变式8-2】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线上)， 并修建一条路， 测得千米，千米，千米，    (1)问是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄C到河边最近的一条路，理由见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】本题（1）根据勾股定理逆定理，得出，结合垂线段最短，即可解答； （2）设千米，则千米，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵千米，千米，千米， ∴， ∴ ，即， ∴是村庄C到河边最近的一条路； （2）解：设千米， ∵千米， ∴千米， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴原来的路线的长为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 【变式8-3】一块木板如图所示，已知，，，，，木板的面积是多少？ 【答案】木板的面积是． 【分析】本题连接，现根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理推出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，中，，， ， 中，，，， 即， 是直角三角形， 木板面积． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． 【变式8-4】某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题先求出、和的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即，再根据“远航”号沿东北方向航行，得到，即可求得． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴， ∴ ∴“海天”号沿北偏西方向航行． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题关键。 【变式8-5】如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元．求：    (1)说明是直角三角形； (2)试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析； (2)用草坪铺满这块空地共需花费元． 【分析】（）由勾股定理得，然后根据勾股定理逆定理即可求解； （）根据求出面积，然后乘以即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）由（）得：，， ∴ （平方米） ∴用草坪铺满这块空地共需花费（元）， 答：用草坪铺满这块空地共需花费元． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，求阴影部分面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【考点题型九】利用勾股定理解实际应用问题 【例9】如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（     ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 【答案】A 【分析】本题连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高8米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式9-1】如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 【变式9-2】如图，甲货船以的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口时两船相距（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解；能根据方位角等表示出位置，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：对图形进行点标注． 根据题意知3小时后，其中甲货船航行到B点，乙货船含蓄到C点，连结． ， ， ， ， ， ， ∴3小时后两船相距． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式9-3】如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为，则这棵大树折断处到树顶的长度是 ． 【答案】/米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度．根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】解：如图，∵是直角三角形，，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式9-4】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B距底端O为0.7m． (1)求的长度． (2)如果梯子下滑0.4m，则梯子滑出的距离是否等于0.4m？请通过计算来说明理由． 【答案】(1)的长度为2.4m (2)不等于，滑出的距离为0.8m，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 由勾股定理，得：； （2）不等于，理由如下： 由题意，得：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故不等于0.4m． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式9-5】如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【变式9-6】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$