第三单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

小数除法 板块一：考点精讲 1．除数是小数的除法 【知识点归纳】 小数除以小数 ①除数是几位小数，被除数和除数的小数点就同时向右移动几位，使除数变成整数。 ②如果被除数的位数不够时，在被除数的末尾用“0”补足。 ③按除数是整数的小数除法的方法进行计算。 ④验算用乘法计算原来的算式。 【方法总结】 除数是小数的除法计算核心：把除数是小数的转化为整数，依据“商不变性质”被除数同时随着转化。 具体计算方法： 1、先移动除数的小数点，使它变成整数。 2、除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点就向右移动几位。被除数位数不够的时候，在末尾用“0”补足。 3、按除数是整数的小数除法进行计算。 温馨提醒： 小数除法只要把除数转化为整数，被除数是不是整数无所谓，但是被除数和除数向右移动小数点的位数一定要相等。 2．小数除法 【知识点归纳】 小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点： ①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商． ②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算． 3．小数四则混合运算 【知识点归纳】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。 【方法总结】 1、小数乘法的计算方法： （1）算：先按整数乘法的法则计算； （2）看：看两个乘数中一共有几位小数； （3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）； （4）点：点上小数点； （5）去：去掉小数末尾的“0”。 2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。 小数除以整数计算方法： （1）按整数除法的法则计算； （2）商的小数点要和被除数的小数点对齐 （3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。 除数是小数的计算方法： （1）看：看清除数有几位小数 （2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足 （3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐） 4．小数乘法的近似数 【知识点归纳】 求小数的近似数的方法 1，求一个小数的近似数，可以用（ 四舍五入 ）的方法； 2，保留整数时，要观察（ 小数部分第一位 ），再四舍五入； 3，保留一位小数时，要观察（小数部分第二位 ），再四舍五入； 4，保留两位小数时，要观察（ 小数部分第三位 ），再四舍五入。 注意说法： 求近似数时，保留整数，表示精确到个位，保留一位小数就是精确到十分位上，要看百分位上的数是否满5，满5进1，不满5舍去；保留两位小数，表示精确到百分位。 要注意根据题目的要求求近似数，在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉。 【方法总结】 一、整数中求一个数的近似数，我们用的是“四舍五入”法。求小数的近似数的方法也是“四舍五入”法。 二、用“四舍五入”法取积的近似数的方法： 1．算出准确的积； 2．看要保留的小数位数； 3．循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。 5．小数除法的近似数 【知识点归纳】 取商的近似值的一般方法：求商的近似数，要比需要保留的小数位数多除出一位，然后再“四舍五入”。 2、解决实际应用的问题时会出现四不舍、五不入的情况，应根据题目的特点去求出近似数。 【方法总结】 求商的近似值和求积的近似值的异同点： （1）相同点都是按“四舍五入法”取近似值。 （2）不同点是取商的近似值只要计算时比要保留的小数位数多除出一位就可以了；而取积的近似值时则要计算出整个积的值以后再取近似值。 板块二：高频考点 一、选择题 1．某影城停车场的收费标准如下： 8时至20时：2.5元/30分（不足30分的按30分计费） 20时至次日8时：3.5元/时（不足1时的按1时计费） 玲玲和爸爸妈妈19：00进入停车场，看完电影后共交停车费12元，车在停车场停放时间可能是（    ）时。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．一个数扩大到它的100倍后是30，则这个数是（    ）。 A．0.3 B．0.03 C．0.003 D．3000 3．5.99保留三位小数是（ ） A．5.996 B．6.0 C．6.00 D．6.000 4．下面各数，（    ）不是循环小数。 A．3.141592… B． C．0.181818… D．0.444… 5．下面算式中，结果最小的是（　　） A．8÷0.16 B．8×16% C．8×1.6 D．8÷160% 6．如果7.85÷m的商大于7.85，那么m一定（      ）． A．比1小 B．比1大 C．比2.85大 D．比0小 7．李阿姨买了14个橘子共重2.1千克，如果买这样的橘子13千克，大约有（    ）。 A．200个以上 B．50个左右 C．80多个 D．30多个 8．0.53÷0.17商是3，余数是（    ）。 A．2 B．0.2 C．0.02 D．0.002 二、填空题 9．在括号里填上适当的数。 0.75÷12.5＝( )÷125             75÷1.25＝750÷( ) 7.5÷0.125＝( )÷1.25             1.35÷0.7＝135÷( ) 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )3.27      ( )      5.67( )      ( ) 11．一本漫画书2.3元，10元钱可以买回( )本。 12．一个大人一餐吃2个面包，两个小孩一餐吃1个面包，现在有大人和小孩子共99人，一餐刚好一共吃了99个面包。小孩有（ ）人。 13．在一道减法算式中，被减数是减数的6倍，商是12.5，被减数是( )减数是( )。 14．11÷6的商是一个（ ）小数，用简便方法记作（ ），精确到十分位是（ ）． 15．王奶奶买6千克大米需要25.5元，每千克大米( )元，买10千克大米需要( )元，超市提供的包装袋每个可装大米1.4千克，带走6千克大米王奶奶至少需要( )个这样的包装袋。 三、判断题 16．3.258258是一个循环小数。( ) 17．6.5÷0.9与65÷9，商相等，余数也相等。( ) 18．小数除法中，被除数的小数部分有几位小数，商的小数部分就有几位小数。( ) 19．任何一个数除以1.2，所得的商一定小于被除数。( ) 20．无限小数不一定比有限小数大．（ ） 21．，这样计算运用了商不变的性质。( ) 22．一个非0数除以一个小数，所得的商一定比这个数小。( ) 23．在一幅条形统计图里，如果用2.5cm的条形高度表示15人，那么3cm的条形高度表示18人。( ) 四、计算题 24．列竖式计算。（带△的验算） △0.58×0.25＝    2.04×6.5＝    △16.9÷0.13＝ 11.76÷9.8＝       54.6÷2.9≈  （得数保留一位小数）39.8÷7.2＝  （商用循环小数） 25．下面各题怎样简便就怎样算。 0.8×14×12.5                   98×0.45         59.7－29.7÷3 8.4×（10－2.5）÷6.3         96÷2.5÷8         7.1×3.1＋69×0.71 五、解答题 26．中老年运动会上，刘大伯、李大伯参加了全程1.5千米的长跑比赛。跑完全程，刘大伯用了9.7分钟，李大伯比刘大伯多用2分钟。李大伯跑1千米平均需要多少分钟？ 27．A店和B店在卖同款波斯地毯．A店2.5m卖100元；B店2m卖100元．哪家店贵一些？ 28．刘师傅随旅行团到泰国，他带了2000元人民币，能兑换多少泰铢？（100泰铢兑换人民币23.5元。计算结果保留整数） 29．妈妈到超市买回大米20千克，面粉15千克，共用去80.3元，大米每千克2.2元，面粉每千克多少元？ 30．2支钢笔比5支活动铅笔贵2元，每支钢笔14元。每支活动铅笔多少元？ 31．王阿姨在超市买了两件不同的商品，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，因此她只付给了收银员16元，而收银员说她应付38.95元。实际两件商品各是多少元？ 32．李师傅开车从郑州去距离680km的地方运送物资。货车每100km耗油20L，按照这个耗油量，出发时加满100L油，途中还需要加油吗？请写出判断过程。 33．阿姨冲泡一杯咖啡需要15.5g咖啡粉和6g方糖，一包咖啡粉310g,冲完这包咖啡粉，需要多少克方糖？ 34．玩具厂计划生产385件小玩具，已经生产了112件，剩下的要6.5小时完成，剩下的平均每小时应做多少件？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A A B A C C 1．C 【分析】用12－2.5×2即可求出过了20时的停车费用，再除以超过20时每小时的收费标准即可求出时间，再与19时到20时的这一小时相加即可求出停车的时间。 【详解】（12－2.5×2）÷3.5 ＝7÷3.5 ＝2（小时） 2＋1＝3（小时） 故答案为：C。 【点睛】读懂题目中的数学信息，即收费标准是解答本题的关键。 2．A 【解析】一个数扩大100倍后是30，那么30缩小到它的就是原来的数，据此解答即可。 【详解】30÷100＝0.3 故答案为：A。 【点睛】本题考查小数除法，解答本题的关键是掌握小数除法的计算方法。 3．A 【详解】试题分析：根据求小数的近似数的方法：利用“四舍五入法”，保留三位小数，也就是精确到千分位，根据万分位上数字的大小来确定用“四舍”还是用“五入”． 解：5.99保留三位小数是5.996； 故选A． 【点评】此题主要考查利用“四舍五入法”求小数的近似数的方法． 4．A 【分析】循环小数是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数，结合循环小数的两种表示方法进行判断即可。 【详解】A．3.141592…，小数部分没有不断重复出现的数字，不属于循环小数； B．，循环节是3，属于循环小数； C．0.181818…，循环节是18，属于循环小数； D．0.444…，循环节是4，属于循环小数； 故答案为：A 【点睛】此题考查了循环小数的认识，关键理解概念。 5．B 【详解】试题分析：A、D依据一个数除以一个大于1（小于1）的数，商小于（大于）被除数解答；B、C依据一个数乘一个小于1（不为0）的数，积小于原数解答． 解：A、因为在8÷0.16中，除数小于1，所以商一定大于8； B、因为在8×16%中，16%小于1，所以积一定小于8； C、因为在8×1.6中，1.6大于1，所以商一定大于8； D、因为8÷160%中除数160%大于1，所以商大于8； 综上可得：结果最小的是8×16%， 故选B． 点评：本题的重点是找出商与被除数，以及积与因数之间关系． 6．A 7．C 【分析】先用对应质量÷对应个数，求出一个橘子的质量，再用要买的质量÷一个橘子的质量＝个数，结果用四舍五入法保留近似数，再选择即可。 【详解】13÷（2.1÷14） ＝13÷0.15 ≈87（个） 故答案为：C 【点睛】关键是理解数量关系，掌握小数除法的计算方法。 8．C 【分析】根据“被除数÷除数＝商……余数”可得：被除数－商×除数＝余数，代入数值解答即可。 【详解】0.53－0.17×3 ＝0.53－0.51 ＝0.02 余数是0.02。 故答案为：C 9． 7.5 12.5 75 70 【分析】商不变性质：被除数和除数同时扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。据此解答。 【详解】0.75÷12.5＝7.5÷125              75÷1.25＝750÷12.5 7.5÷0.125＝75÷1.25              1.35÷0.7＝135÷70 【点睛】本题主要考查了小数除法的计算，掌握商不变性质是解答本题的关键。 10． ＞ ＜ ＞ ＝ 【分析】当一个非0的数乘小于1的数时，积比这个数小；当一个非0的数乘大于1的数时，积比这个数大；当一个非0的数除以一个大于1的数时商比被除数小；当一个非0的数除以小于1的数时商比被除数大。据此解答。 【详解】（＞）3.27      （＜）      5.67（＞）      （＝） 【点睛】此题可以在不用计算的情况下，根据积和因数的关系以及商和被除数的关系来判断结果的大小。 11．4 【分析】总钱数÷漫画书单价，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】10÷2.3≈4（本） 【点睛】最后无论剩下多少钱，只要不够一本漫画书的钱数，就无法购买一本漫画书。 12．66 【分析】假设都是大人，一共需要99×2＝198个面包，比实际多了198－99＝99个，因为每个大人比小孩多吃2－1÷2＝1.5个面包，那么小孩有99÷1.5＝66；据此解答即可。 【详解】（99×2－99）÷（2－1÷2） ＝（198－99）÷1.5 ＝99÷1.5 ＝66（人） 所以小孩有66人。 故答案为：66。 【点睛】此题可用鸡兔同笼解题思路来解答。假设法全是大人或者全是小孩，找出数量差进而得出结论。 13． 15 2.5 【分析】被减数是减数的6倍，差是6－1倍，用差÷对应倍数，求出一倍数，是减数，减数×6＝被减数。 【详解】减数：12.5÷（6－1） ＝12.5÷5 ＝2.5 被减数：2.5×6＝15 【点睛】关键是掌握差倍问题的解题方法，找到差的对应倍数，先求出一倍数。 14． 循环 1.8 【详解】11÷6＝1.833… 11÷6的商是一个循环小数，用简便方法记作，精确到十分位是 1.8； 故答案为：循环，，1.8． 15． 4.25 42.5 5 【分析】数量＝总价÷单价，代入数据计算每千克大米的钱数；总价＝数量×单价，代入数据计算10千克大米需要的钱数；每个包装袋可装大米1.4千克，带走6千克大米需要几个这样的包装袋，需要的口袋数量等于要带走的总重量除以每个口袋可以装的重量，商的小数部分代表不足1.4千克的部分，也需要一个口袋装，故采用进一法取商的近似数，保留整数。 【详解】（元） （元） （个） 即王奶奶买6千克大米需要25.5元，每千克大米4.25元，买10千克大米需要42.5元，超市提供的包装袋每个可装大米1.4千克，带走6千克大米王奶奶至少需要5个这样的包装袋。 16．× 【分析】循环小数是一个无限小数，据此解题。 【详解】3.258258是有限小数，不是循环小数。 故答案为：× 【点睛】本题考查了循环小数，掌握循环小数的定义是解题的关键。 17．× 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 先计算出65÷9的商和余数，再根据商×除数＋余数＝被除数，余数＝被除数－商×除数，验证6.5÷0.9即可。 【详解】65÷9＝7……2 7×0.9＋2 ＝6.3＋2 ＝8.3 6.5－7×0.9 ＝6.5－6.3 ＝0.2 6.5÷0.9，当商是7时，余数是0.2。 6.5÷0.9与65÷9，商相等，余数也相等，说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】可以举反例：例如3.68÷3.68＝1，被除数是3位小数，而商是整数； 2.5÷0.3＝8.33……，被除数是一位小数，而商是无限循环小数。 【详解】在小数除法中，被除数的小数部分有几位，商的小数部分就有几位。此说法错误。 故答案为：×。 【点睛】掌握小数除法的计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 19．× 【分析】一个不为0的数除以一个比1大的数，商比这个数小；一个不为0的数除以一个比1小的数，商比这个数大。据此解答。 【详解】根据分析可知，当一个数不为0时，除以1.2，所得的商小于被除数；当一个数为0时，除以1.2，所得的商等于被除数。所以“任何一个数除以1.2，所得的商一定小于被除数”这个说法错误。 故答案为：× 20．√ 【详解】试题分析：有限小数有的比无限小数大，有的比无限小数小．可以举出例子加以解答即可． 解答：解：例如，1.111…是无限小数，1.2是有限小数， 1.2＞1.111…； 所以无限小数不一定比有限小数大； 故答案为√． 点评：本题考查了学生对小数大小比较的方法的掌握情况．小数位数多的小数不一定大． 21．√ 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，据此解答。 【详解】，被除数12扩大为原来的4倍，除数0.25扩大到原来的4倍，与的商相等，计算过程中利用了商不变的性质进行简便计算。 故答案为：√ 【点睛】掌握商的变化规律是解答题目的关键。 22．× 【分析】根据除法的意义可知，一个不等于0的数除以一个小于1的小数，商大于这个数，如1÷0.5＝2；一个不等于0的数除以一个大于或等于1的小数，商一定小于或等于这个数，如1÷1.0＝1，1÷2.5＝0.4，据此判断。 【详解】根据小数除法的意义可知，一个不等于0的数除以一个小于1的小数，商大于这个数，一个不等于0的数除以除以一个大于或等于1的小数，商一定小于或等于这个数，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了一个不等于0的数除以大于、小于或等于1的数与被除数的关系。 23．√ 【分析】用2.5cm的条形高度表示15人，说明1厘米的条形高度表示15÷2.5＝6人，则3cm的条形高度表示3×6＝18人。 【详解】根据分析可得，本题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查小数除法，解答本题的关键是掌握小数除法的计算方法。 24．0.145；13.26；130； 1.2；18.8；5.52 【分析】根据小数乘法和小数除法的计算方法直接计算即可。 【详解】 0.58×0.25＝0.145                                 2.04×6.5＝13.26                            △16.9÷0.13＝130                                11.76÷9.8＝1.2 　　　                 54.6÷2.9≈18.8                 39.8÷7.2＝5.52            25．140；44.1；49.8 10；4.8；71 【分析】“0.8×14×12.5”根据乘法交换律计算； “98×0.45”将98写成100减去2，再根据乘法分配律计算； “59.7－29.7÷3”先计算除法，再计算减法； “8.4×（10－2.5）÷6.3”先计算小括号内的减法，再计算括号外的乘法和除法； “96÷2.5÷8”根据除法的性质计算； “7.1×3.1＋69×0.71”先将算式变成“7.1×3.1＋6.9×7.1”，再根据乘法分配律计算。 【详解】0.8×14×12.5 ＝0.8×12.5×14 ＝10×14 ＝140 98×0.45 ＝（100－2）×0.45 ＝100×0.45－2×0.45 ＝45－0.9 ＝44.1 59.7－29.7÷3 ＝59.7－9.9 ＝49.8 8.4×（10－2.5）÷6.3 ＝8.4×7.5÷6.3 ＝63÷6.3 ＝10 96÷2.5÷8 ＝96÷（2.5×8） ＝96÷20 ＝4.8 7.1×3.1＋69×0.71 ＝7.1×3.1＋6.9×7.1 ＝7.1×（3.1＋6.9） ＝7.1×10 ＝71 26．7.8分钟 【分析】已知跑完全程，刘大伯用了9.7分钟，李大伯比刘大伯多用2分钟，则李大伯用了（9.7＋2）分钟，根据除法的意义，用李大伯花的总时间除以全程，即可求出李大伯跑1千米平均需要多少分钟。 【详解】（9.7＋2）÷1.5 ＝11.7÷1.5 ＝7.8（分钟） 答：李大伯跑1千米平均需要7.8分钟。 【点睛】本题考查了小数除法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 27．B店 【详解】A 店：100÷2.5＝40(元) B 店：100÷2＝50(元) 40＜50，B 店贵一些． 28．8510泰铢 【分析】由题可知每23.5元人民币就有100泰铢，先用2000÷23.5即可求出有多少个100泰铢，再乘100即可求出具体是多少泰铢。 【详解】2000÷23.5×100 ＝2000×100÷23.5 ＝200000÷23.5 ≈8510（泰铢） 答：能兑换8510泰铢。 【点睛】此题主要考查小数除法的计算，明确钱币之间的转换关系是解题的关键。 29．2.42元 【分析】已知大米每千克2.2元，买了20千克，根据“总价＝单价×数量”，求出买大米花的钱数； 再用花的总钱数减去买大米的钱数，剩下的就是买面粉的钱数； 已知面粉买了15千克，根据“单价＝总价÷数量”，求出面粉的单价。 【详解】（80.3－2.2×20）÷15 ＝（80.3－44）÷15 ＝36.3÷15 ＝2.42（元） 答：面粉每千克2.42元。 【点睛】本题考查小数乘除法的应用，掌握单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 30．5.2元 【分析】钢笔单价×2－2就是5支活动铅笔的价钱，再除以5就是活动铅笔的单价。 【详解】（14×2－2）÷5 ＝26÷5 ＝5.2（元） 答：每支活动铅笔5.2元 【点睛】掌握数量×单价＝总价的数量关系；先求出5支活动铅笔的总价是解题关键。 31．25.5元；13.45元 【分析】因为她付了16元，收银员让她付38.95元，说明她钱付少了，由于小数点看错了一位，所以小数点是向左移动了一位，即她只支付了这件商品的0.1份，而另一件商品的价格不变，所以38.95－16＝22.95元是第一件商品的0.9份，即一份就是第一件商品的价格为22.95÷0.9＝25.5元，则第二件商品的价格为38.95－25.5＝13.45元。 【详解】第一件商品价格： （38.95－16）÷（1－0.1） ＝22.95÷0.9 ＝25.5（元） 第二件商品价格：38.95－25.5＝13.45（元） 答：第一件商品价格为25.5元，第二件商品价格为13.45元。 【点睛】此题考查小数点的移动规律与小数的混合运算，难度较大，解题关键点就在于看错了一位小数，相差0.9份，找到0.9份对应的量即可算出正确答案。 32．需要 【分析】先用20L除以100千米，求出每千米需要多少升的汽油，再乘680，求出行驶680千米需要多少升的汽油，再与100升比较即可。 【详解】20÷100×680 ＝0.2×680 ＝136（L） 因为136＞100，所以途中还需要加油。 答：途中还需要加油。 【点睛】本题也可以先求出680km里面有几个100km，也就是需要几个20L，再乘20，求出需要汽油的总量，再与100L比较，列式为：680÷100×20。 33．120g 【详解】310÷15.5=20（杯） 20×6=120（g） 答：需要120g方糖． 34．42件 【分析】用385－112求出剩下的件数，再除以时间即可解答。 【详解】（385－112）÷6.5 ＝273÷6.5 ＝42（件）； 答：剩下的平均每小时应做42件。 【点睛】本题较易，先求出剩下的件数是解答本题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$