第七单元：数学广角-植树问题（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

数学广角-植树问题 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 1、两端都栽的情况： 间隔数与棵数的关系：棵数 = 间隔数 + 1。 例如，在一条 10 米长的路的一边种树，每隔 2 米种一棵。那么间隔数为：10÷2 = 5，因为两端都栽树，所以棵数为 5 + 1 = 6 棵。 2、两端都不栽的情况： 间隔数与棵数的关系：棵数 = 间隔数 - 1。 例如，在一条 10 米长的路的一边种树，每隔 2 米种一棵，两端都不栽。间隔数依然是 10÷2 = 5，那么棵数为 5 - 1 = 4 棵。 3、一端栽一端不栽的情况： 间隔数与棵数的关系：棵数 = 间隔数。 例如，在一条 10 米长的路的一边种树，一端靠墙，每隔 2 米种一棵。间隔数为 10÷2 = 5，所以棵数也是 5 棵。 4、解题步骤： （1）、明确问题类型：首先要确定题目中属于哪种植树情况，是两端都栽、两端都不栽还是一端栽一端不栽。 （2）、求出间隔数：根据题目中给出的路的长度和间隔长度，用路的长度除以间隔长度，即可求出间隔数。 （3）、确定棵数：根据不同的植树情况，利用相应的间隔数与棵数的关系，求出棵数。 典例分析 【典例1】体育老师在正方形的场地四周共放了36个足球，已知四个顶点都放了1个足球，且每边上足球的个数相同．求这个场地每边放足球的个数． 【答案】10个 【详解】36÷4+1=10（个）    答：这个场地每边放足球的10个． 【典例2】一座大桥全长115米，计划在桥的两侧栏杆上各安装16块装饰图案，每块图案长1米，两头的图案离桥端都是12米，相邻两块图案之间相距多少米？ 【答案】5米 【详解】（115-12×2-1×16）÷（16-1）=5（米） 答：相邻两块图案之间相距5米. 【典例3】小红过生日，爸爸买了一个圆形蛋糕，蛋糕周长是50厘米，沿它的周长每隔2厘米插一根蜡烛，插的蜡烛根数正好是小红的岁数．小红今年多少岁? 【答案】25岁 【详解】50÷2＝25(岁) 答：小红今年25岁. 【典例4】大峡谷漂流全程约为3km，为了保护游客的人身安全，平均每300米安排一名救生员(起点和终点不安排)，全程一共需要安排多少名救生员？ 【答案】9名 【详解】3km＝3000m 3000÷300－1＝9(名) 答：全程一共需要安排9名救生员． 【典例5】阳光小区要在小区内的一块正方形草坪的周围栽树，每条边都栽3棵．物业管理员征收设计方案，出现了两种方案． (1)请你画出这两种方案． (2)最后采纳了每个角都有一棵树的方案，如果相邻两棵树相隔5m，这个正方形草坪的周长是多少米？ 【答案】(1)  (2)40m 【详解】(2)8×5＝40(m) 【名师点评】一共种8棵树，在封闭图形中也就有8个间隔． 高频考题 1．一座大桥全长122米。计划在桥的两侧栏杆上各安装14块装饰图案，每块图案长1米，两头的图案离桥端都是15米，相邻两块图案之间相距多少米？ 2．体育老师在正方形的场地四周共放了32个排球，己知四个顶点都各放了1个排球，且每边上的排球个数相同。求这个场地每边放排球的个数？ 3．一个圆形广场边上等距离的种了40棵玫瑰花，现在改为每隔6米种一棵丁香花，一共种了60棵丁香花，原来相邻两棵玫瑰花之间的距离是多少米？ 4．一个木工锯一根长730厘米的木头。他先把一头损坏的部分锯下1米，用了3分钟，然后每隔15厘米锯一段，每锯一次用2分钟，这个木工锯完这根木头一共用了多少分钟？ 5．笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2米。现在要改为只插26面小旗（两端的旗子不动），间隔应改为多少米？ 6．五（4）班有60名学生，分两纵队去打疫苗，每两名同学间的距离为一米，这个队伍长多少米？有一队医务人员来支援，为加快打疫苗的进程，现需把学生分为四列，每列有几名同学，这个队伍现在长多少米？ 7．男子400米跨栏，从起点至第一栏的距离是45米，第一栏至最后一栏两栏之间的距离都是35米，最后一栏到终点的距离是40米。400米跨栏一共设置了多少个栏架？ 8．先选择所属类型，再列式解答。 为迎接“六一”儿童节，学校准备在教学楼前60米的道路两旁摆放鲜花（靠墙一端不放），相邻两盆花之间的距离是3米。一共需要几盆花？ 属于（    ）。 ①两端种    ②一端种    ③两端不种 9．一游人以相等的速度在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走到第十棵树用了18分钟，如果这个游人又走了36分钟，他走到了第几棵树？ 10．在一条小路的一侧种树，每隔5米种一棵，两端都种，共种了21棵，这条路有多长？后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵，现在这条路上一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 11．乐乐老师组织学生们植树 ，在一条长120米的马路两边每隔30米种一棵梧桐树（两端都种），在每相邻的2棵梧桐树之间又补种1棵香樟树。 这条马路两边一共种了多少棵树？（树的宽度忽略不计） 12．妈妈到商业广场第11层去做美容，由于电梯维修，只能走楼梯，如果妈妈从第一层走到第三层需要30秒，她用同样的速度从第三层继续往上走到第11层，还需要走多少分钟？ 13．李明坐在小汽车里看外面的路灯杆，从第1根到第16根共花了30秒钟。如果小汽车速度为72千米/时，每两根路灯杆相隔多少米？ 14．有一个长为40米，宽为30米的长方形池塘，要在四周插木桩建篱笆，每间隔2米插一根木桩，每个角都插一根，共需多少根木桩？ 15．市区到某度假区的便捷巴士路线全长，每设一个巴士站点，公司规定：巴士从上一站到下一站平均行驶时间控制在10分钟，从市区到度假区至少要多少分钟？ 16．小区花园是一个长60m、宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵树间隔5m。一共要栽多少棵树？ 17．一个老人匀速在人行道上散步，从第一根电线杆走到第12根用了22分钟，这个老人如果走36分钟，应走到第几根电线杆？ 18．四年级同学举行队列表演，共组成6个方队，每个方队排成5行，每行5人。最外圈的同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 19．有一条长500米的马路，在马路的两边已各摆有一盆牡丹花，之后要分别在马路的两边等距离摆上月季花，一共摆了50盆月季花，那么你知道每两盆月季花之间的距离是多少吗？ 20．一列火车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔2米，这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了两分钟，这个山洞长多少米？ 21．甲、乙两人在长3000米的公路两旁种树，每隔20米种一棵柳树，在每相邻的柳树之间又种一棵梧桐树。又知甲比乙多种12棵。种柳树和梧桐树各多少棵？甲、乙两人各种树多少棵？（两端都栽） 22．老师和同学们围成一圈做游戏，一共有40个人，从老师开始数，阿呆是顺时针数第10个人，阿瓜是逆时针数第20个人。请问：阿呆阿瓜中间隔了几个人？ 23．学校圆形跑道长600米，如果每隔4米插一面小红旗，一共可以插多少面小红旗？如果每两面小红旗之间再插一面小黄旗，可以插多少面小黄旗？ 24．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？ 25．在一个正方形池塘四周栽树，四个顶点各栽一棵，这样每边都栽有25棵，如果每相邻两棵之间相距2米，这个正方形池塘的周长有多少米？ 26．钵池山公园内一条直路长200 m、宽8 m，道路两边一共均匀地栽了50棵柳树(两端都栽)，如果每相邻两棵柳树中间有一张长椅(可坐3人)，这些长椅一共可以坐多少人？ 27．新春佳节到了，长900 m的大桥两侧挂起了彩灯，小红从起点数到终点，大桥两侧一共挂了202盏彩灯(两端都挂)，并且相邻两盏彩灯之间的距离都相等，相邻两盏彩灯之间的距离是多少米？ 28．陈庄小学有一个长60 m、宽40 m的长方形小操场，要在操场的四个顶点各栽一棵柳树，且在四条边上每10 m再栽一棵杨树，操场四周一共栽了多少棵杨树？ 29．要在一个水池周围栽树，已知这个水池周长为245m，计划要栽49棵树，相邻两树之间距离相等，相邻两树之间的距离是多少米？ 30．阅兵式上25辆99式坦克组成5×5的方阵，每辆坦克长7.3米，宽3.5米，高2.4米．行进中前后间距10米，左右间距8米．这样一个方阵的长和宽分别是多少米？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．6米 【思路分析】先求出从第一个图案到最后一个图案的距离：122－15×2＝92（米），再用1×14求出图案的总长；再用桥长减去从第一个图案到最后一个图案的距离，再减去图案的总长，求出“间隔”的总长，最后除以间隔数（14－1），就是相邻两块图案之间应相隔的米数。 【详解】（122－15×2－14×1）÷（14－1） ＝（122－30－14）÷13 ＝（92－14）÷13 ＝78÷13 ＝6（米） 答：相邻两块图案之间相距6米。 2．9个 【思路分析】此题可以看作是植树问题，因为四个顶点都各放了1个排球，属于一端栽一端不栽的情况，则每边放排球的个数＝排球的总个数÷边数＋1，据此进行计算即可。 【详解】32÷4＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 答：这个场地每边放排球9个。 3．9米 【思路分析】封闭图形植树，棵数＝段数，丁香花棵数×间距＝广场周长，广场周长÷玫瑰花棵数＝玫瑰花间距，据此列式解答。 【详解】60×6÷40 ＝360÷40 ＝9（米） 答：原来相邻两棵玫瑰花之间的距离是9米。 4．85分钟 【思路分析】1米＝100厘米。根据题意可知，这根木头第一次锯下1米后，还剩下730－100＝630厘米，这630厘米每隔15厘米锯一端，用630÷15－1，求出一共锯了多少次，再乘每锯一次需要的时间，求出锯630厘米需要的时间，再加上之前的3分钟，即可解答。 【详解】1米＝100厘米 （730－100）÷15－1 ＝630÷15－1 ＝42－1 ＝41（次） 41×2＋3 ＝82＋3 ＝85（分钟） 答：这个木工锯完这根木头一共用了85分钟。 5．4米 【思路分析】根据题意可知，跑道总长÷间隔数＝间隔长度，由此即可解决问题。 【详解】（51－1）×2÷（26－1） ＝50×2÷25 ＝100÷25 ＝4（米） 答：间隔应改为4米。 【名师点评】根据题意可知，跑道总长÷间隔数＝间隔长度，由此即可解决问题。 6．29米；15名；14米 【思路分析】60名学生，分两纵队，则每队有30人；把学生分为四列，每列有15人。此题属于两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1，总长度＝间隔数×间距。 【详解】（60÷2－1）×1 ＝（30－1）×1 ＝29×1 ＝29（米） 60÷4＝15（人） （60÷4－1）×1 ＝（15－1）×1 ＝14×1 ＝14（米） 答：这个队伍长29米；把学生分为四列，每列有15名同学，这个队伍现在长14米。 【名师点评】此题主要考查了两端都栽的植树问题的公式，要熟练掌握。 7．10个 【思路分析】先用400米减去45米，再减去40米，求出第一个栏到最后一个栏之间的距离，这一部分可以看成是一个两端都栽的植树问题，用这部分的路程除以间距35米，求出有多少个间隔，再加上1，就是设置栏架的数量。 【详解】（400－45－40）÷35＋1 ＝315÷35＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 答：400米跨栏一共设置了10个栏架。 【名师点评】植树问题就是有关间隔的问题，生活中的上楼梯、锯木头、摆花、敲钟等问题都可看作植树问题。为使其更直观，用图示法来说明，树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 8．②；40盆 【思路分析】因为靠墙一端不放，所以属于一端种一端不种，棵数＝段数，道路长度÷间距，求出一侧盆数，乘2即可。 【详解】属于一端种。 （盆） （盆） 答：一共需要40盆花。 【名师点评】关键是区分植树问题的类型，类型不同，棵数和段数之间的关系有所不同。 9．第28棵树 【思路分析】每个间隔用的时间分钟，相当于植树问题中两端都种树的情况，又走36分钟走的间隔是个，走到第几棵用棵。 【详解】 （分钟） （棵） 答：他走到了第28棵树。 【名师点评】关键是理解植树问题，棵数和段数之间的关系。 10．100米；27棵 【思路分析】在一条小路的一侧种树，每隔5米种一棵，两端都种，共种了21棵，可知在这21棵树之间有20个间隔，5×20＝100即是小路的长度；后来小路又加长了30米，仍然每隔5米种一棵，这段路就是接着原来的路修的，这样30米的这段路上第一棵树就是原来最后种的那棵树，因此30米的这段路就是一端种树，在这种情况下，间隔数就等于种树的棵树，这样还需要种30÷5＝6棵；再加上原来种的数即可解答。 【详解】（21－1）×5 ＝20×5 ＝100（米） 30÷5＋21 ＝6＋21 ＝27（棵） 答：这条路长100米；这条路上一共种了27棵树。 【名师点评】这是一个植树问题，两端都要种，棵数＝间隔数＋1，间隔数＝棵树－1，总长＝间隔数×每段间隔；只栽一端：植树的棵数＝间隔数。 11．18棵 【思路分析】由题意知，此题是属于两端都要种的情况，那么每边种梧桐树的棵数＝间隔数＋1，用120÷30求出间隔数加1，再乘2即可；在每相邻的2棵梧桐树之间又补种1棵香樟树，则香樟树的棵数就等于间隔数乘2；两种树的棵数相加即可解决问题。 【详解】（120÷30＋1）×2＋120÷30×2 ＝5×2＋4×2 ＝10＋8 ＝18（棵） 答：这条马路两边一共种了18棵树。 【名师点评】本题考查了植树问题，知识点是：锯的次数＝段数－1；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数－1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数＋1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）。 12．2分钟 【思路分析】从第一层走到第三层，总共爬了（3－1）层，用30÷（3－1）求出爬一层的时间；从第三层到第11层，总共需要爬（11－3）层，再乘爬一层的时间即可。 【详解】30÷（3－1）×（11－3） ＝30÷2×8 ＝120（秒） 120秒＝2分钟 答：还需要走2分钟。 【名师点评】先求出爬一层的时间是解答本题的关键。 13．40米 【思路分析】小汽车时速为72千米/时，即20米/秒时，则其30秒能行30×20＝600米，又从第1根到第16根路灯杆间共有16﹣1＝15个间隔，所以每两根路灯杆相隔600÷（16﹣1）米。 【详解】72千米/时＝20米/秒 20×30＝600（米） 600÷（16－1） ＝600÷15 ＝40（米） 答：每两根路灯杆相隔40米。 【名师点评】在此类题目中，n根路灯杆之间有n－1个间隔。 14．70根 【思路分析】由题意先求出这个长方形池塘的周长，因为长方形是一个封闭图形，间隔数等于植树棵数；用周长除以间隔距离2米即可。 【详解】（40＋30）×2÷2 ＝70×2÷2 ＝70（根） 答：共需70根木桩。 【名师点评】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。 15．120分钟 【思路分析】已知便捷巴士路线全长，每设一个巴士站点，则用全长除以间隔的长度可求出共有多少个间隔数，一个间隔的长度是10分钟，则有多少个间隔数就有多少个10，用乘法计算即可求出需要多长时间。 【详解】24÷2×10 ＝12×10 ＝120（分钟） 答：从市区到度假区至少要120分钟。 【名师点评】本题考查植树问题，明确用全长除以间隔的长度等于间隔数是解题的关键。 16．40棵 【思路分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，求出它的周长，再除以它的间隔距离5即可。据此解答。 【详解】花园的周长是： （60＋40）×2 ＝100×2 ＝200（米） 四周可以栽树：200÷5＝40（棵） 答：一共栽了40棵。 【名师点评】在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以间隔距离就是植树棵数。 17． 19根 【思路分析】从第一根电线杆走到第12根，相当于两端都栽的类型，电线杆数＝间隔数＋1，求出走两根电线所花的时间，据此解答即可。 【详解】22÷（12－1） ＝22÷11 ＝2（分钟） 36÷2＋1 ＝18＋1 ＝19（根） 答：应走到第19根电线杆。 【名师点评】本题考查植树问题，解答本题的关键是掌握植树问题中每种植树类型的数量关系。 18．黄色运动服96套，红色运动服54套 【思路分析】每个方队最外层的人数＝（5－1）×4，每个方队内层人数＝5×5－外层人数。用每个方队最外层的人数乘方队个数，求出穿黄色运动服的人数。用每个方队内层人数乘方队个数，求出穿红色运动服的人数。 【详解】黄色运动服： （5－1）×4 ＝4×4 ＝16（人） 16×6＝96（套） 红色运动服： 5×5－16 ＝26－16 ＝9（人） 9×6＝54（套） 答：一共要准备黄色运动服96套，红色运动服54套。 【名师点评】解决本题的关键是求出每个方阵最外层的人数，最外层人数＝（每边人数－1）×4。 19．20米 【思路分析】一共摆了50盆月季花，那么马路的每一边摆了25盆，由于马路的两边的第一盆都是牡丹花，所以月季花符合一端放，一端不放的情况，求出总共有25个间隔，路的长度500米除以间隔数，得到间距。 【详解】（盆） 500÷25＝20（米） 答：每两盆月季花之间的距离是20米。 【名师点评】在求解植树问题时，要抓住一些关键的词语，判断路两端的植树情况，以及是路的一侧植树，还是两侧都植树。 20．690米 【思路分析】先求出整列火车的长度，41节，40个间隔，车身及车头总共1230米，间隔80米，总长1310米，每分钟1千米，恰好用了两分钟，那么火车长和山洞长总共是2000米，2000减去1310得到山洞长。 【详解】（个） （米） （千米） 2千米＝2000米 （米） 答：这个山洞长690米。 【名师点评】本题把间隔问题和火车过桥问题相结合，关键是求出火车的长度。 21．柳树：302棵；梧桐树：300棵 甲：307棵；乙： 295棵 【思路分析】本题属于两端都栽的情况，棵数＝间隔数＋1，间隔数＝总长度÷间隔长度，由此求出种柳树棵数即可；在每相邻的柳树之间又种一棵梧桐树，所以有多少间隔就有多少棵梧桐树；用（总棵数－12）÷2求出乙的植树棵数，进而求出甲的植树棵数。 【详解】（3000÷20＋1）×2 ＝151×2 ＝302（棵）； 3000÷20×2 ＝150×2 ＝300（棵）； 答：柳树有302棵，梧桐树有300棵。 （302＋300－12）÷2 ＝590÷2 ＝295（棵）； 295＋12＝307（棵） 答：甲种了307棵，乙种了295棵。 【名师点评】明确两端都栽的情况下，棵数与间隔数之间的关系是解答本题的关键。 22．11人或27人 【思路分析】先确定从老师开始数逆时针数的时候阿呆的位置，然后再确定两人之间的人数。 【详解】 逆时针数的话，阿呆在第32位； 答：两人中间间隔了11个人或27个人。 【名师点评】对于封闭型排队问题，在判断二人之间的间隔时，应考虑两个方向的不同情况，题目没有强调求的是间隔较少还是间隔较多的情况，都需要表示出来。 23．150面   150面 【详解】学校圆形跑道长600米，这是一个封闭图形，插的小红旗数等于间隔数，600÷4=150（面）；如果每两面小红旗之间再插一面小黄旗，因为间隔数等于插的小红旗数，所以每两面小红旗之间再插一面小黄旗，它们的旗数相等． 答：一共可以插150面小红旗；可以插150面小黄旗． 24．40段 【思路分析】首先求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每5厘米作一个记号，可以作几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数。 【详解】100÷4﹣1 ＝25﹣1 ＝24（个） 100÷5﹣1 ＝20﹣1 ＝19（个） 4和5互质，所以4和5的最小公倍数时4×5＝20 100÷20﹣1 ＝5﹣1 ＝4（个） 24＋19﹣4 ＝43﹣4 ＝39（个） 39＋1＝40（段） 答：绳子一共被剪成了40段。 【名师点评】本题主要考查了公倍数的应用，解答此题的关键是分析出每20厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数。 25．192米 【思路分析】这道题有两种解答方法，一种是先求一共有多少棵树，再求周长；另一种是先求正方形的边长，再求周长。 【详解】解法一： 树的总数： 25×4－4 ＝100－4 ＝96（棵） 或： （25－1）×4 ＝24×4 ＝96（棵） 池塘的周长：2×96＝192（米） 解法二： 池塘的边长： 2×（25－1） ＝2×24 ＝48（米） 池塘的周长：48×4＝192 （米） 答：池塘的周长有192米。 【名师点评】每条边上都是两端植树的情况，间隔数＝树的棵树－1，求每条边的长度。 26．144人 【思路分析】因为道路两边均匀地栽了50棵柳树(两端都栽)，所以一边栽树50÷2＝25(棵)，所以有25－1＝24(个)间隔，而每相邻两棵柳树中间有一张长椅(可坐3人)，所以用间隔数乘3求出一边可以坐的人数，再乘2求出一共坐的人数． 【详解】(50÷2－1)×3×2＝144(人) 27．9m 【思路分析】大桥一侧各挂了202÷2＝101(盏)彩灯；因为起点和终点都挂，所以一共有101－1＝100(个)间隔，据此把900 m平均分成100份，每份的长度就是相邻两盏彩灯之间的距离． 【详解】900÷(202÷2－1)＝9(m) 28．16棵 【详解】(60＋40)×2÷10－4＝16(棵) 29．5米 【详解】245÷49=5（米） 30．长是76.5米，宽是49.5米 【详解】7.3×5+（5﹣1）×10 ＝36.5+40 ＝76.5（米） 3.5×5+（5﹣1）×8 ＝17.5+32 ＝49.5（米） 答：这个方阵的长是76.5米，宽是49.5米． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$