第六单元：多边形的面积（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

多边形的面积 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【三角形的周长和面积】 1、三角形的周长等于三边长度之和． 2、三角形面积＝底×高÷2． 【平行四边形的面积】 1、 平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高） 【梯形的面积】 梯形面积＝（上底+下底）×高÷2． 【组合图形的面积】 1、“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减． 2、“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减． 3、“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形． 典例分析 【典例1】一条水渠横截面是梯形（如图）。已知横截面的面积是2.52m2，高是1.2m，渠口宽是渠底的2倍。渠口宽多少米？（用方程解） 【答案】2.8米 【思路分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2可列式：上底＋下底＝2.52×2÷1.2，然后已知两底的和，又知道两底有倍数关系，根据和倍公式：两数之和÷（倍数＋1）即可求出渠底，再乘2即可解答。 【详解】2.52×2÷1.2÷（2＋1） ＝5.04÷1.2÷3 ＝4.2÷3 ＝1.4（米） 渠口：1.4×2＝2.8（米） 答：渠口宽2.8米。 【名师点评】此题主要考查学生对梯形面积以及和倍公式的理解与灵活应用。 【典例2】龙山村要在王叔叔家的一面墙上用水泥刷平，用来绘制扶贫宣传画（如下图）。如果每平方米要用水泥，刷平这面墙至少需要水泥多少千克？ 【答案】119千克 【思路分析】用长方形面积＋三角形面积，先求出这面墙的面积，用墙的面积×每平方米用的水泥质量即可。 【详解】8×3＋8×2.5÷2 ＝24＋10 ＝34（平方米） 34×3.5＝119（千克） 答：刷平这面墙至少需要水泥119千克。 【名师点评】关键是求出组合图形的面积，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2。 【典例3】一块三角形广告牌，底是10.8米，高是底的2.5倍。如果要在广告牌的两面刷上油漆，每平方米用油漆0.4千克，刷这个广告牌需要油漆多少千克？ 【答案】116.64千克 【思路分析】已知三角形的底是10.8米，高是底的2.5倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法求出高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出这个广告牌两面的面积，然后用刷漆的面积乘每平方米用油漆的质量即可。 【详解】10.8×2.5＝27（米） 10.8×27÷2×2×0.4 ＝291.6÷2×2×0.4 ＝291.6×0.4 ＝116.64（千克） 答：刷这个广告牌需要油漆116.64千克。 【名师点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【典例4】王爷爷家有一块地，他分别用来种植高粱、土豆和玉米（如下图）。其中土豆和玉米的种植面积相等，都是21m2。请计算出王爷爷家这块地的面积。 【答案】107.1平方米 【思路分析】三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，根据三角形面积公式用土豆的面积乘2再除以6求出三角形的高，也就是梯形的高，然后根据梯形面积公式计算面积即可。 【详解】21×2÷6 ＝42÷6 ＝7（米） （9.3＋9.3＋6＋6）×7÷2 ＝30.6×7÷2 ＝107.1（平方米） 答：王爷爷家这块地的面积是107.1平方米。 【名师点评】明确三角形的高和梯形的高相等是解答本题的关键。 【典例5】如图，红星广告公司要将一块平行四边形的铁板的一面刷上油漆，如果每千克油漆能刷1.2平方米，这块铁板共需多少千克油漆？ 【答案】12.25千克 【思路分析】先找出计算这块广告牌的面积的数据，即底为4.2米，高为3.5米，从而计算出其面积；用总面积除以1.2平方米，就是需要的油漆量． 【详解】（4.2×3.5）÷1.2， =14.7÷1.2， =12.25（千克）； 答：这块铁板共需12.25千克油漆． 高频考题 1．如图所示，平行四边形ABCD中，AD的长度为20厘米，高CH的长度为9厘米，E是底边BC上的一点，且BE长6厘米，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 2．在一块上底为40米，下底为70米，高为30米的梯形草地中间有一个长为30米，宽为15米的长方形游泳池，如图。草地的面积是多少平方米？ 3．一个平行四边形停车场，底是63m，对应的高是25m。如果每个车位占地15m2，这个停车场一共可以停多少辆车？ 4．小丽家装修需要30块木板，木板的形状如下图。 （1）一块木板的面积是多少平方厘米？（用两种方法计算） （2）如果每块木板需要15元，那么小丽家需要花多少元钱？ 5．如下图，在一块平行四边形的草地中，有一条长12米，宽1米垂直于底边的小路，如果铺1平方米草坪需要12元，铺这块草坪大约需要多少钱？ 6．如图，这是靠墙围了一块菜地，篱笆的全长是45.5米，其中的一条边的长度是15米，这块菜地的面积是多少平方米？ 7．如图为一面墙，这面墙每平方米需要刷2罐油漆，刷这面墙共需要多少罐油漆？ 8．苏大伯家用70米长的竹篱笆在一块靠墙的空地上围了一个直角梯形花圃（如下图）， 这个花圃的面积是多少平方米？ 9．如图为一块梯形菜地，张大伯把它分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形地里种大白菜，三角形地里种萝卜。如果每棵萝卜占地0.16m，萝卜地一共可以种多少棵萝卜？ 10．有一块平行四边形的地（如下图），分成三块种菜。第一块种黄瓜，第二块种西红柿，第三块种茄子。每种菜占地多少平方米？ 11．一平行四边形如果高不变，底增加4厘米，面积就增加14.8平方厘米。如果底不变，高减少2厘米，面积就减少8.4平方厘米。原来平行四边形的面积是多少？ 12．某农庄有一块面积是3500平方米的直角梯形菜地（如下图），把它分成两部分，甲部分种黄瓜，乙部分种番茄，求种黄瓜和种番茄的面积各是多少平方米？ 13．张爷爷和王奶奶都用50米长的篱笆靠着墙分别围成一块梯形菜地（如下图），图①是张爷爷围的菜地，图②是王奶奶围的菜地。谁围的菜地面积大？大多少平方米？ 14．妙想家在一块底边为4米、高为2.5米的平行四边形空地上种上了鲜花。如果每平方米土地的鲜花卖300元，这块平行四边形地上的鲜花可以卖多少元？ 15．用篱笆围成一个梯形养鸡场（如下图所示），其中一边利用房屋墙壁，已知篱笆的长是80米，求养鸡场的面积。 16．李阿姨用篱笆围成一个梯形的养鸡场（如图所示），一边利用房屋的墙壁，篱笆的总长度是65米，求养鸡场的面积。 17．全面落实开展劳动教育，是学校、家庭、社会共同要承担的责任，校外实践基地是开展劳动教育的良好平台和场域，学校的校外劳动实践基地建成了！后勤处的老师为实践基地制作了一个指示牌（如图）。这个指示牌的面积有多大？ 18．爷爷在一块上底是120m，下底是180m，高是60m的梯形果园种果树，如果每棵果树占地面积10m²，这个果园一共可以种多少棵？ 19．如图，小区里有一块长12米、宽6米的长方形空地。准备在中间留出两条宽是2.5米的小路，其余地方铺上草坪。草坪的实际面积是多少平方米？ 20．张大爷有一块菜园，（如下图），他想用篱笆围起来，需要篱笆多少米？菜园的面积多少平方米？ 21．学校的实践基地有一块平行四边形地（如图），老师指导同学们在上面种20棵西红柿，平均每棵西红柿占地多少平方分米？ 22．王伯伯用浮标绳和池塘边的堤岸围成了如下图所示的一块梯形区域，并打算在围成的区域内种上莲花，浮标绳总长85米，围成的梯形区域的面积是多少？ 23．李叔叔打算在一块边长80米的正方形田地的一角建一个三角形的小池（如图）。其余部分种大豆，如果每平方米能收大豆2千克，这块田地能收大豆多少千克？ 24．农场有一块蔬菜地，如下图。在这块蔬菜地里施化肥，如果平均每平方米地需施化肥0.03kg，一共需要化肥多少千克？ 25．如图，一块长方形草地，长方形的长是22米，宽是13米，中间铺了一条石子路。那么草地部分面积有多大？    26．一个平行四边形，若底增加2厘米，高不变，则面积增加6平方厘米；若高增加1厘米，底不变，则面积增加4平方厘米，原平行四边形的面积是多少？ 27．用篱笆围成一个梯形养鸡场（如图所示），一边利用房屋的墙壁，篱笆的总长是80m，养鸡场的面积是多少平方米？ 28．块三角形广告牌底是9.8米，高是4.5米，用油漆刷这块广告牌的一面，每平方米用油漆0.95千克已知每桶油漆净重15千克。至少需要买回多少桶油漆？ 29．如图，把长方形拉成一个平行四边形后，测得平行四边形的高是3dm，平行四边形的面积比长方形的面积减少了多少平方分米？ 30．一块长方形草地长，宽，中间有两条小路（如下图）。这两条小路的总面积是多少？现在要给这两条小路铺上一层鹅卵石，平均每平方米约需鹅卵石，大约共需多少千克鹅卵石？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．90平方厘米 【思路分析】因为等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的一半，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，代入数据即可求解 【详解】20×9÷2 ＝180÷2 ＝90（平方厘米） 答：两个阴影三角形的面积之和是90平方厘米。 2．1200平方米 【思路分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此分别求出梯形和长方形的面积，再将梯形面积减去长方形面积，即可求出草地的面积。 【详解】（40＋70）×30÷2－30×15 ＝110×30÷2－450 ＝1650－450 ＝1200（平方米） 答：草地的面积是1200平方米。 【名师点评】本题考查了梯形和长方形的面积，熟记面积公式是解题的关键。 3．105辆 【思路分析】根据平行四边形的面积＝底×高，求出面积，再除以15平方米即可。 【详解】63×25÷15 ＝1575÷15 ＝105（辆） 答：这个停车场一共可以停105辆车。 【名师点评】熟练掌握平行四边形的面积公式，是解答此题的关键。 4．（1）3240平方厘米 （2）450元 【思路分析】（1）组合图形可以看成一个长为60厘米，宽为48厘米的长方形和一个底为（60－30）厘米，高为（72－48）厘米的三角形，分别利用长方形和三角形的面积公式求解；组合图形还可以看成一个上底为48厘米，下底为72厘米，高为（60－30）厘米的梯形和一个长为48厘米，宽为30厘米的长方形，分别利用梯形和长方形的面积公式求解即可。 （2）用每块木板的单价乘木板的数量，即可求出购买木板需要花的钱。 【详解】（1）方法一： ＝ ＝ ＝3240（平方厘米） 方法二： ＝ ＝ ＝3240（平方厘米） 答：一块木板的面积是3240平方厘米。 （2）（元） 答：小丽家需要花450元。 【名师点评】此题的解题关键是灵活运用三角形、梯形、长方形的面积公式求出组合图形的面积。 5．2736元 【思路分析】可以把左右两块草地合在一起，使其成为一个平行四边形。这个平行四边形的面积即为草地的面积。平行四边形的底边长为（20－1）米，高为12米，利用平行四边形的面积公式求出草地的面积，再乘铺每平方米草坪需要的钱，即可得解。 【详解】（20－1）×12×12 ＝19×12×12 ＝228×12 ＝2736（元） 答：铺这块草坪大约需要2736元。 【名师点评】此题的解题关键是灵活运用平行四边形的面积公式解决实际的问题。 6．228.75平方米 【思路分析】观察可知，这是一个直角梯形，篱笆全长－高＝梯形上下底的和，根据梯形面积＝上下底的和×高÷2，列式解答即可。 【详解】（45.5－15）×15÷2 ＝30.5×15÷2 ＝228.75（平方米） 答：这块菜地的面积是228.75平方米。 【名师点评】关键是掌握并灵活运用梯形面积公式。 7．208罐 【思路分析】由图知：这面墙由一个长方形和一个三角形组成，求得长方形和三角形面积和，再乘2，即得需要的油漆罐数。据此解答。 【详解】 （罐） 答：刷这面墙共需要208罐油漆。 【名师点评】本题主要是利用三角形的面积公式S＝ah÷2和长方形的面积公式S＝ab及基本的数量关系解决问题。 8．600平方米 【思路分析】由图形可知：梯形上下底的和是（70－30）米，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，把数据代入公式解答。 【详解】（70－30）×30÷2 ＝40×30÷2 ＝600（平方米） 答：这个花圃的面积是600平方米。 【名师点评】此题主要考查梯形面积公式在实际生活中的应用。 9．63棵 【思路分析】三角形的底边长等于（11.2－6.4）m，高是4.2m，利用三角形面积公式：S＝ah÷2计算出萝卜地的面积，再除以0.16即可得解。 【详解】（11.2－6.4）×4.2÷2÷0.16 ＝4.8×4.2÷2÷0.16 ＝10.08÷0.16 ＝63（棵） 答：萝卜地一共可以种63棵萝卜。 【名师点评】本题主要考查三角形面积的计算，关键利用三角形面积公式：S＝ah÷2。 10．黄瓜：8.36平方米；西红柿：18.48平方米；茄子：13.64平方米 【思路分析】根据题意可知，种黄瓜地是底是3.8米，高是4.4米的三角形，根据三角形面积公式：底×高÷2，代入数据，求出面积； 种西红柿地是底是4.2米，高是4.4米的平行四边形，根据平行四边形面积公式：底×高，代入数据，求出面积； 种茄子地是上底5米，下底是1.2米，高是4.4米的梯形，根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】种黄瓜：3.8×4.4÷2 ＝16.72÷2 ＝8.36（平方米） 种西红柿：4.2×4.4＝18.48（平方米） 种茄子：（5＋1.2）×4.4÷2 ＝6.2×4.4÷2 ＝27.28÷2 ＝13.64（平方米） 答：黄瓜占地8.36平方米，西红柿占地18.48平方米；茄子占地13.64平方米。 【名师点评】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，梯形面积公式的应用。 11．15.54平方厘米 【思路分析】先根据增加的底和增加的面积求出原来平行四边形的高，若底增加4厘米，高不变，则面积增加14.8平方厘米；高：14.8÷4＝3.7厘米；根据减少的高和减少的面积求出原来平行四边形的底，若高减少2厘米，底不变，则面积减少8.4平方厘米，底：8.4÷2＝4.2厘米；再根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。 【详解】（14.8÷4）×（8.4÷2） ＝3.7×4.2 ＝15.54（平方厘米） 答：原平行四边形的面积是15.54平方厘米。 【名师点评】此题主要考查平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是求出原来平行四边形的底和高。 12．黄瓜2000平方米；番茄1500平方米 【思路分析】根据直角梯形的面积计算出梯形 的高，由图可知，三角形甲和三角形乙的高与梯形的高相等，利用三角形的面积公式即可求得。 【详解】2×3500÷（60＋80） ＝2×3500÷140 ＝7000÷140 ＝50（米） 黄瓜：80×50÷2 ＝4000÷2 ＝2000（平方米） 番茄：60×50÷2 ＝3000÷2 ＝1500（平方米） 答：种黄瓜的面积是2000平方米，种番茄的面积是1500平方米。 【名师点评】掌握梯形和三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 13．王奶奶围的菜地面积大，大40平方米 【思路分析】通过观察图形，张爷爷围的菜地，高是8米，上、下底之和是（50－10）米，王奶奶围的菜地，高是10米，上、下底之和是（50－10）米，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式求出两块菜地的面积，然后根据求一个数比另一个数多几，用减法解答。 【详解】（50－10）×8÷2 ＝40×8÷2 ＝320÷2 ＝160（平方米） （50－10）×10÷2 ＝40×10÷2 ＝400÷2 ＝200（平方米） 200－160＝40（平方米） 答：王奶奶围的菜地面积大，大40平方米。 【名师点评】此题主要考查梯形的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是求出梯形的上、下底之和是多少米。 14．3000元 【思路分析】根据平行四边形面积＝底×高，求出空地面积，面积×每平方米卖的钱数即可，据此列式解答。 【详解】4×2.5×300＝3000（元） 答：这块平行四边形地上的鲜花可以卖3000元。 【名师点评】关键是掌握平行四边形面积公式。 15．600平方米 【思路分析】由题目可知，此梯形养鸡场的上底与下底的和是（80－20）米，利用梯形面积公式即可求出养鸡场的面积。 【详解】（80－20）×20÷2 ＝60×20÷2 ＝1200÷2 ＝600（平方米） 答：养鸡场的面积是600平方米。 【名师点评】此题考查的是梯形面积的应用，解答此题的关键是先求出养鸡场上底与下底的和，从而利用梯形面积公式即可求出养鸡场的面积。 16．450平方米 【思路分析】根据篱笆的总长度计算出梯形上下底的和，再利用“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出养鸡场的面积。 【详解】（65－20）×20÷2 ＝45×20÷2 ＝900÷2 ＝450（平方米） 答：养鸡场的面积是450平方米。 【名师点评】灵活运用梯形的面积计算公式是解答题目的关键。 17．dm2 【思路分析】根据图意可知，组合图形的面积＝长方形面积＋三角形面积，代入数据求解即可。 【详解】 ＝48＋（10×5÷2） ＝48＋（50÷2） ＝48＋25 ＝73（dm2） 答：这个指示牌的面积有73dm2。 【名师点评】此题考查的是组合图形的面积计算，解答此题关键是明确组合图形是由那些基本图形组合而成的。 18．900棵 【思路分析】“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，据此求出面积，再除以每棵果树的占地面积即可。 【详解】（120＋180）×60÷2÷10 ＝300×60÷2÷10 ＝9000÷10 ＝900（棵） 答：这个果园一共可以种900棵。 【名师点评】熟练掌握梯形的面积公式是解答本题的关键。 19．42平方米 【思路分析】根据题意可知，用长方形面积减去两个平行四边形面积，平行四边形的高等于长方形的宽，根据长方形面积公式：长×宽；平行四边形面积公式：底×高，代入数据，即可解答。 【详解】12×6－2.5×6×2 ＝72－15×2 ＝72－30 ＝42（平方米） 答：草坪的实际面积是42平方米。 【名师点评】本题考查长方形面积公式、平行四边形面积公式的应用，关键明确平行四边形点的高与长方形的宽相等。 20．36米；44.64平方米 【思路分析】平行四边形的两组对边分别相等，需要篱笆的长度就是平行四边形的周长；平行四边形的面积＝底×高，依此列式并计算即可。 【详解】（12.4＋5.6）×2 ＝18×2 ＝36（米） 12.4×3.6＝44.64（平方米） 答：需要篱笆36米，菜园的面积是44.64平方米。 【名师点评】此题考查的是平行四边形周长与面积的计算，应熟练掌握。 21．30平方分米 【思路分析】由题意可知，先求出这块平行四边形地的面积，然后再除以西红柿的棵树即可。 【详解】2m＝20dm，3m＝30dm 20×30÷20 ＝600÷20 ＝30（平方分米） 答：平均每棵西红柿占地30平方分米。 【名师点评】本题考查平行四边形的面积，熟记公式是解题的关键。 22．750平方米 【思路分析】用浮标绳长度－梯形的高＝上下底的和，根据梯形面积＝上下底的和×高÷2，列式解答即可。 【详解】（85－25）×25÷2 ＝60×25÷2 ＝750（平方米） 答：围成的梯形区域的面积是750平方米。 【名师点评】关键是掌握和灵活运用梯形面积公式。 23．11900千克 【思路分析】先计算出正方形的面积，再减去小三角形的面积，得到种大豆地的面积。再将其乘每平方米能收的大豆2千克，求出这块田地能收大豆多少千克。 【详解】（80×80－30×30÷2）×2 ＝（6400－450）×2 ＝5950×2 ＝11900（千克） 答：这块田地能收大豆11900千克。 【名师点评】本题考查了组合图形的面积，熟练运用割补法求组合图形的面积是解题的关键。 24．63千克 【思路分析】观察蔬菜地，这是一块由一个三角形和一个梯形组成的组合图形。据此，结合三角形和梯形的面积公式，先计算出蔬菜地的面积，再将其乘0.03千克，求出一共需要化肥多少千克。 【详解】[50×20÷2＋（50＋30）×40÷2]×0.03 ＝[500＋1600]×0.03 ＝2100×0.03 ＝63（千克） 答：一共需要化肥63千克。 【名师点评】本题考查了组合图形的面积。求组合图形的面积时，通常将组合图形分成几个常见的图形，分别求它们的面积，再相加即可。 25．242平方米 【思路分析】先观察石子路的形状，是一个平行四边形，其中，它的底为2米，高可看作长方形的长，是22米；那么平行四边形面积可求。再看长方形，长和宽都已知，面积也可求。则最后用长方形的面积减去平行四边形的面积就是草地部分面积。 【详解】22×13－2×22 ＝22×（13－2） ＝22×11 ＝242（平方米） 答：草地面积有242平方米。 【名师点评】关键是找到平行四边形的底和高，如图所示，平行四边形只有一条短边是已知的，则两条短边之间垂直的线段的长度可看作它的高。 26．12平方厘米 【思路分析】平行四边形的面积＝底×高，先根据增加的底和增加的面积求出原来平行四边形的高；再根据增加的高和增加的面积求出原来平行四边形的底，然后根据平行四边形的面积公式解答即可。 【详解】高：6÷2＝3（厘米） 底：4÷1＝4（厘米） 面积：3×4＝12（平方厘米） 答：原平行四边形的面积是12平方厘米。 【名师点评】掌握平行四边形的面积公式，画图理解题意，求出原平行四边形的底和高，这是解决此题的关键。 27．487.5平方米 【思路分析】篱笆的长度由梯形的上底、高和下底构成，先求出梯形上底与下底的和，用上下底的和×高÷2＝梯形面积，据此分析。 【详解】。 （平方米） 答：养鸡场的面积是487.5平方米。 【名师点评】关键是掌握和灵活运用梯形面积公式。 28．2桶 【思路分析】先利用三角形的面积公式求出广告牌两面的面积，每平方米的用漆量已知，进而可以求出用漆量，再除以每桶的漆重。 【详解】9.8×4.5÷2×0.95÷15 ＝22.05×0.95÷15 ＝20.9475÷15 ＝1.3965（桶） ≈2（桶） 答：至少需要买回2桶油漆。 【名师点评】解答此题的关键是先求出广告牌两面的面积，再用面积乘每平方米的用漆量，注意求至少需要买回多少桶油漆，要用进一法。 29．24平方分米 【思路分析】求把长方形拉成一个平行四边形后，平行四边形的面积比长方形的面积减少了多少平方分米，可分别套用长方形面积公式和平行四边形面积公式来解答。 【详解】6×8－3×8 ＝48－24 ＝24（平方分米） 答：平行四边形的面积比长方形的面积减少了24平方分米。 【名师点评】解答本题，能够体会到长方形被拉成平行四边形之后，由于宽变矮了，面积变小了，而周长没变的特点。 30．； 【思路分析】题图中的两条小路经过平移后就是一个长为、宽为的长方形，然后利用长方形的面积公式求出两条小路的总面积，再乘30就是一共需要的鹅卵石质量。 【详解】   答：这两条小路的总面积是，大约共需鹅卵石。 【名师点评】两条小路的面积和与长20m、宽4m的长方形面积相等，这是解答本题的关键。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$