第十一章 三角形综合测试卷2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形综合测试卷 （测试时间100分钟 总分120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．1、2、3.5 B．4、5、9 C．20、15、8 D．5、15、8 2．已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可能是（　　） A．3 B．6 C．11 D．12 3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（　　） A．DE是△ABE的高 B．DE是△BCD的高 C．AC是△ABC的高 D．AD是△ACD的高 5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 6．下列说法错误的是（　　） A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 8．如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 9．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4平方厘米，则S△BEF的值为（　　） A．2平方厘米 B．1平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 10．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　） A．A、G两点之间 B．E、G两点之间 C．B、F两点之间 D．G、H两点之间 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知三角形两边长分别为1和4，则第三边长可以是 　 　.（写出一个即可） 12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 　 　． 13．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是　 　三角形． 14．如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　 　°． 15．如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC＝120°，则∠BAC＝　 　度． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BC＝13，AC＝10，AD＝8，求BE的长． 17．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN． 18．（8分）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 19．（9分）看图回答问题： （1）内角和为2018°，小明为什么说不可能？ （2）小华求的是几边形的内角和？ （3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 20．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10． （1）求AB、AC的长． （2）求BC边的取值范围． 22．（10分）（1）如图①所示，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． （2）如图②所示，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ①∠CAB＝　 　；（用含x的式子表示） ②试判断∠F的度数是否为定值？若是，请直接写出∠F的度数．若不是，请说明理由． 23．（11分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD．猜想∠A与∠O的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的值求∠O值， ①如果∠A＝60°，则∠O的度数为 　 　；如果∠A＝130°，则∠O的度数为 　 　． ②于是猜想∠A与∠O的数量关系为 　 　；请你说明理由． （2）小明继续探究，如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为 　 　． （3）小明又思考，改变∠M，∠N的大小，如图3，在四边形MNCB中，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，当∠M＝46°．∠N＝80°时，∠P的度数为 　 　． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、∵1+2＝3＜3.5，∴不能组成三角形； B、∵4+5＝9，∴不能组成三角形； C、20、15、8，能组成三角形； D、5+8＝13＜15，不能组成三角形． 故选：C． 2．解：设第三边的长度为x， 由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 即：4＜x＜10， ∴B符合题意； 故选：B． 3．解：线段BE是△ABC的高的图是选项D． 故选：D． 4．解：A、DE不是△ABE的高，此选项符合题意； B、DE是△BCD的高，此选项不符合题意； C、AC是△ABC的高，此选项不符合题意； D、AD是△ACD的高，此选项不符合题意； 故选：A． 5．解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：C． 6．解：A、三角形的三条角平分线都在三角形内部，故A正确，不符合题意； B、钝角三角形有两条高在三角形外部，故B错误，符合题意； C、三角形的重心是三角形三条中线的交点，故C正确，不符合题意； D、三角形的中线、角平分线、高都是线段，故D正确，不符合题意； 故选：B． 7．解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 8．解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD， ∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：C． 9．解：∵D为BC的中点， ∴S△ABD＝S△ADCS△ABC4＝2， ∵E是AD的中点， ∴S△BDES△ABD2＝1， S△DECS△ADC2＝1， ∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝1+1＝2， ∵F是EC的中点， ∴S△BEF＝S△BFC， ∴S△BEFS△BEC2＝1， 故选：B． 10．解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在E、G两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在E、G两点之间． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知三角形两边长分别为1和4，则第三边长可以是 　4（答案不唯一）　.（写出一个即可） 解：∵三角形的两边长分别为1和4， ∴第三边x的长度范围为：4﹣1＜x＜1+4，即：3＜x＜5， ∴第三边的长度可能是：4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 12．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 　105°　． 解：如图， ∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°， ∴∠α＝∠A+∠ABD＝60°+45°＝105°． 故答案为：105°． 13．在△ABC中，若∠A﹣∠B＝∠C，则此三角形是　直角　三角形． 解：∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 14．如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　116　°． 解：根据折叠的性质可得∠A＝∠A′＝28°，∠A′NM＝∠ANM． ∵∠A＝28°，∠B＝120°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝32°． ∵MN∥BC， ∴∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°． ∴∠CNM＝180°﹣∠C＝148°． ∵∠A′NM＝∠ANM，∠ANM＝∠C， ∴∠A′NM＝∠C＝32°． ∴∠A′NC＝∠CNM﹣∠A′NM＝148°﹣32°＝116°． 故答案为：116． 15．如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC＝120°，则∠BAC＝　60　度． 解：由已知可得∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠A＝60°． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BC＝13，AC＝10，AD＝8，求BE的长． 解：∵AD⊥BC，BC＝13，AD＝8， ∴S△ABCBC×AD13×8＝52， ∵BE⊥AC，AC＝10， ∴S△ABCAC×BE， ∴5210×BE， ∴BE． 17．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN． 证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵PM∥AC，PN∥AB， ∴∠APM＝∠PAN，∠APN＝∠PAM， ∴∠APM＝∠APN， ∴PA平分∠MPN． 18．（8分）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2， ∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形． 19．（9分）看图回答问题： （1）内角和为2018°，小明为什么说不可能？ （2）小华求的是几边形的内角和？ （3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 解：（1）因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 所以内角和一定是180°的倍数． 因为2018÷180＝11……38， 所以内角和为2018°不可能． （2）设小华求的是n边形的内角和． 依题意有2018°﹣180°＜（n﹣2）•180°＜2018°， 解得n＜13． 所以多边形的边数是13，该多边形为十三边形． （3）13边形的内角和是（13﹣2）×180°＝1980°， 则错把外角当内角的那个外角的度数是2018°﹣1980°＝38°．20．（10分）在△ABC中，AB＝AC，DB为ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 解：∵DB为△ABC的中线 ∴AD＝CD， 设AD＝CD＝x，则AB＝2x， 当x+2x＝12，解得x＝4， BC+x＝15，解得BC＝11， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11； 当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7， 此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7． 21．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10． （1）求AB、AC的长． （2）求BC边的取值范围． 解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2， 即AB﹣AC＝2①， 又AB+AC＝10②， ①+②得．2AB＝12， 解得AB＝6， ②﹣①得，2AC＝8， 解得AC＝4， ∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4； （2）∵AB＝6，AC＝4， ∴2＜BC＜10． 22．（10分）（1）如图①所示，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数． （2）如图②所示，已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ①∠CAB＝　150°﹣2x°　；（用含x的式子表示） ②试判断∠F的度数是否为定值？若是，请直接写出∠F的度数．若不是，请说明理由． 解：（1）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝20°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣20°﹣60°＝100°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC＝50°， ∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝30° ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD ＝50°﹣30° ＝20°； （2）①由三角形内角和定理可得， ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵∠B＝x°，∠C＝（x+30）°． ∴∠BAC＝180°﹣x°﹣（x+30）° ＝150°﹣2x°， 故答案为：150°﹣2x°； ②∠F是定值，∠F＝15°，理由如下： ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠BAF∠BAC＝75°﹣x°， ∵FD⊥BC， ∴∠EDF＝90°， ∵∠F+∠EDF+∠DEF＝180°＝∠C+∠AEC+∠CAE，而∠EDF＝∠AEC， ∴∠F+∠EDF＝∠C+∠CAE， 即∠F+90°＝（x+30）°+75°﹣x°， ∴∠F＝15°． 23．（11分）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD．猜想∠A与∠O的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠A的值求∠O值， ①如果∠A＝60°，则∠O的度数为 　30°　；如果∠A＝130°，则∠O的度数为 　65°　． ②于是猜想∠A与∠O的数量关系为 　∠O∠A　；请你说明理由． （2）小明继续探究，如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为 　25°　． （3）小明又思考，改变∠M，∠N的大小，如图3，在四边形MNCB中，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，当∠M＝46°．∠N＝80°时，∠P的度数为 　27°　． 解：（1）①如果∠A＝60°，则∠O的度数为30°； 如果∠A＝130°，则∠O的度数为65°． 故答案为：30°；65°． ②猜想：∠O∠A，理由如下： ∵BO平分∠ABC，CO平分外角∠ACD， ∴设∠ABO＝∠DBO＝α，∠ACO＝∠DCO＝β， ∴∠ABD＝2α，∠ACD＝2β， 由三角形外角性质得：∠DCO＝∠DBO+∠O，∠ACD＝∠ABD+∠A， 即β＝α+∠O，2β＝2α+∠A， ∵2（α+∠O）＝2α+∠A， ∴∠O∠A； （2）延长BM，CN交于点A，如图2所示： ∵BD平分∠MBC，CD平分∠NCE ∴由（1）②的结论得：∠D∠A， ∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°， ∴∠AMN＝180°﹣∠BMN＝50°，∠ANM＝180°﹣∠CNM＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝50°， ∴∠D∠A＝25°， 故答案为：25°． （3）延长CB到E，延长MB，NC交于点A，如图3所示： ∴∠MBC＝∠ABE，∠NCD＝∠ACB， ∵BF平分∠MBC，CH平分∠NCD， ∴PC平分∠ACB，PB平分△ABC的外角∠ABE， 由（1）②的结论得：∠P∠A， 在△AMN中，∠M＝46°．∠N＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠M+∠N）＝54°， ∴∠P∠A＝27°． 故答案为：27°． 学科网（北京）股份有限公司 $$