函数与导数-湖南省部分市2023-2024学年高三下学期数学模拟试题分类汇编

湖南省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（    ） A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1 4．（2024·湖南益阳·三模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 6．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有 ，x，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若 ，则在上单调递减的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南娄底·一模）若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（    ） A．2或 B． C． D．或 9．（2024·湖南常德·三模）已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在R上单调递增 D．函数在上单调递增 10．（2024·湖南衡阳·二模）某种用保温材料制成的管道在单位长度上的热损失单位：满足，其中分别为管道的内外半径（单位：），分别为管道内外表面的温度（单位：），为保温材料的导热系数（单位：），某工厂准备用这种管道传输的高温蒸汽，根据安全操作规定，管道外表面温度应控制为，已知管道内半径为，当管道壁的厚度为时，，则当管道壁的厚度为时，约为（    ） 参考数据：. A． B． C． D． 二、多选题 11．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 12．（2024·湖南长沙·二模）已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（     ） A． B． C． 为奇函数 D． 在定义域内单调递减 13．（2024·湖南衡阳·三模）已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（    ） A．函数图像关于直线对称 B．函数为偶函数 C．4是函数的一个周期 D． 14．（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（     ） A．函数的图象关于原点对称 B．在定义域上单调递增 C．当时， D． 16．（2024·湖南娄底·一模）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．在定义域内单调递减 D．为奇函数 三、填空题 17．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 18．（2024·湖南衡阳·三模）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.若，，函数，若，则实数的取值范围为 . 19．（2024·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 20．（2024·湖南永州·三模）已知函数的定义域为，，，且对于，恒有，则 . 21．（2024·湖南邵阳·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则的最小值为 ． 四、解答题 22．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，． (1)若在处取得极值，讨论的单调性； (2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； (3)设，证明：． 23．（2024·湖南衡阳·三模）已知． (1)讨论的单调性； (2)当n为正整数时，试比较的大小关系，并证明． 24．（2024·湖南岳阳·模拟预测）记. (1)若，求和； (2)若，求证：对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有. 25．（2024·湖南长沙·三模）已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 26．（2024·湖南永州·三模）已知函数. (1)当时，求在的单调区间及极值. (2)若恒成立，求的取值范围. 27．（2024·湖南常德·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 参考答案： 1．A 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 2．B 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 3．A 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出. 【详解】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 4．D 【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，可比较大小. 【详解】根据题意，， 设， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，. 故选：D 5．A 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值. 【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有， 故函数的图象关于直线对称，∴，故， ∴，∴是周期为4的周期函数． 则． 故选：A． 6．D 【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 若，则时，，故为上的单调递减函数， 故在上单调递减的概率为, 故选：D 7．C 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 8．D 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数，求导得， 切线方程化成斜截式为， 由题设知，显然，即， 由，得，即， 即， 即，化简得， 令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或， 即或，解得或. 故选：D. 9．C 【分析】根据已知设，由二次函数的性质确定AB错误；由幂函数的性质判断C正确；由反比例函数的形式确定D错误. 【详解】因为是奇函数，且在区间上单调递增， 所以在上也为单调递增函数， 对于A：不妨令，， 所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B：不妨令，， 所以在单调递增，在单调递减，故B错误； 对于C：，其定义域为， 又，所以是奇函数， 取，则，，故 所以，则函数在为递增函数； 所以函数在也为递增函数，且当时，， 所以在R上单调递增，故C正确； 对于D：不妨令，， 由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误； 故选：C. 10．B 【分析】根据题意将已知数据代入求得的值，再代入即可得解. 【详解】由题意可得，，，，， 代入得，得出； 则当管道壁的厚度为时，， 则 . 故选：B， 11．ABD 【分析】由赋值法可判断A，C；由偶函数的定义可判断B；求出的周期为，由赋值法求出，可判断D. 【详解】对于A，令，则， 令，则，则，， 又，所以， 所以由可得，解得：或， 若，则，所以，，故A正确； 对于B，令，因为，， 所以，故是偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 因为是偶函数，所以，所以， 则，故C错误； 对于D，令，因为，， 则， 令等价于，所以，即 令等价于，所以， 所以的周期为， 令，则，所以， 令，则， 所以，又，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 12．AC 【分析】利用对恒等式赋值来得到的值，通过赋值得到递推关系求等比数列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定在定义域内是否单调. 【详解】对于A ，令，则，因，故，故 A 正确; 对于B ，由 ，令，则， 则，即，故是以 为首项，2 为公比的等比数列， 于是 ，故 B 错误; 对于C，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则 (1)， 在 中，将 都取成， 可得: (2)， 将(2)式代入(1)式，可得， 化简可得 ，即 为奇函数，故 C正确. 对于D，在上单调递减，函数为奇函数，可得在 上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如 ，故 错误. 故选：AC. 13．BCD 【分析】通过函数的奇偶性可判断B；通过联立函数与的方程组以及对函数进行赋值可推出函数的周期从而判断C； 计算出从而排除A；先通过赋值求出，再通过周期性计算出D。 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为是奇函数，所以， 即，代入，得， 所以.由，得， 所以，所以函数为偶函数.故选项B正确； 因为，所以，由， 得，所以，得， 所以，所以4是函数的周期.故选项C正确； 由，得，所以，所以， 由，得，，所以，， 因为，所以，故选项A错误； 由，得即， 所以，故选项D正确. 故选:BCD 【点睛】本题是一道综合性较强的关于抽象函数奇偶性，对称性，周期性的综合题，且包含两个函数。 解决抽象函数奇偶性，对称性，周期的问题的关键是通过赋值，找到这几个性质之间的联系，函数的赋值包括两大类：即赋具体值和抽象的表达式，对于赋具体值一般根据题目的要求即可找到题目所需要求的值；而赋抽象的表达式，则需要遵循赋值后的表达式与其它子式子之间能够联立的原则。另外对于一个题目里有两个抽象函数的综合问题，则需通过建立方程组，然后赋值（表达式）消去其中一个函数，从而得到另一个函数的性质。 14．BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC    15．BCD 【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可. 【详解】由知恒成立，再由知恒成立. 设，则，且. 故，. 由于，故. 而，故归纳即知. 又因为对有，故归纳即知. 特别地有，故，所以对有. 这就得到了，从而. 设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故. 这就表明. 由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A错误； 由于在定义域上单调递增，且当时，，故B，C正确； 对于D，由可得， 从而，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例. 16．BC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】对于，令，则， 因，故得，故A正确； 对于由， 令，则， 则，即， 故是以为首项，2为公比的等比数列， 于是，故B错误； 对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则①， 把都取成，可得②， 将②式代入①式，可得， 化简可得即为奇函数，故D正确； 对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出的关系式即可判断奇偶性等. 17．2 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 18． 【分析】利用对数将指数转化为对数，再利用导数讨论的单调性后可求实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以，， 若，令，则， 又，则， 因为，故，故，故在上单调递增， 所以，所以，所以在上单调递增. 若，则，而，故， 故在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递增. 因为，所以，得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于指数形式的复合函数，讨论其单调性时注意利用对数的性质把前者转化为与对数函数有关的复合函数的单调性来处理. 19．/ 【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 故答案为： 20．/ 【分析】赋值求得，由可得，从而可求，进而求得当时，，从而利用求解即可. 【详解】由可得，所以， ， ， ，. 因为对于，恒有， 所以当时，，而， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得，，进而求得当时，. 21．/ 【分析】利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简，利用平移变换求得，再由是函数的一个极值点，列式求解即得. 【详解】依题意，， 则，由是函数的一个极值点， 得直线是函数图象的一条对称轴，则，而， 解得，所以当时，. 故答案为： 22．(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性； （2）构造函数将命题转化为在区间恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可； （3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证. 【详解】（1），，， 由在处取得极值，得，解得. 当时，， 设，则在上单调递减，且. 则当时，，即，故在单调递增； 当时，，即，故在单调递减； 故在处取到极大值，满足题意. 在单调递增；在单调递减. （2），，， 曲线在点处的切线的斜率为，. 故切线方程为，即； 构造函数，， 即，其中， 则， 设，其中， 则，令，得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以在单调递减，且，. 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在单调递减； 故在处取极大值，且极大值为， 当且仅当时，. 所以当时，恒成立.即恒成立， 故除点外，曲线段总在的下方，命题得证. （3）由（2）结论，任意，，恒成立. 又由可知，单调递减， 则，故恒成立， 令，则恒成立. 又由 所以 . 故， 故 . 即成立，命题得证. 【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错误. 23．(1)答案见解析； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，分与讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可得到结果； （2）根据题意，分析可得只需要比较的大小即可，然后结合（1）中的结论，由函数的单调性即可判断大小关系. 【详解】（1）①当时，，此时无单调性， ②当时，的定义域，， 令，所以， 所以单调递增； 单调递减；且， 所以，在上， 所以在和上单调递减； 综上所述，当时，，此时无单调性； 当时，在和上单调递减. （2）因为，且， 所以只需要比较的大小即可， 由（1）知，时，在和上单调递减 所以在和上单调递减， 又因为n为正整数，所以，故，即， 所以. 24．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）由题意知，，记，判断的单调性，求出极值，再对分类讨论，进一步证明结论成立即可； （3）根据新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义以及充分条件和必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）由题意得： ； ； （2）证明：由题意知， 记，有或2 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论： ①当，有为严格增函数，因为， 所以此时符合条件； ②当时，，先减后增， 因为（取等号， 所以， 则此时也符合条件； ③当时，，在[a，0）严格单调递增， 在[0，2]严格单调递减，在）严格单调递增， ， 因为，当时，， 则，则此时成立； 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. （3）①证明必要性： 对于任意正实数，任取 则存在实数满足使得， 因为是偶函数，所以，而， 由此可得，于是有， 同理，所以. ②证明充分性： 设函数在处取得最小值. 若，则，此时； 若，则， 函数在处取得最小值， 即集合中的最小数是， 函数处取得最小值， 集合中的最小数是， 由正实数使成立可得； 若，则， 同理可得集合中的最小数是， 集合中的最小数是， 由正实数使成立可得. 综上所述：函数的最小值点必须满足， 由此可得， 则和都是该函数的最小值点. 任取，若，则， 函数在处取得最小值， 即集合中的最小数是， 函数在处取得最小值是， 即集合中的最小数是， 由可得， 于是； 若，则， 同理可得集合中的最小数是， 集合中的最小数是， 由可得， 于是； 若，则有， 所以函数对任意的都有，故函数是偶函数. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键点在于把握新定义的含义，结合奇偶函数的定义、最值的定义以及充分条件和必要条件的定义证明即可. 25．(1)极大值是，无极小值； (2). 【分析】（1）利用求导，通过参数，可分析出为正负的区间，从而可以判断的极值； （2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解. 【详解】（1）由， 因为，所以的定义域为，则， 因为时，；时，. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以是的极大值点，的极大值是，无极小值. （2）由（1）可得， 要使得集合有且只有一个元素，则只需要 设，则， 因为时，；时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为. 所以，所以关于的方程有解时， 只能是， 所以集合有且只有一个元素时. 26．(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）根据题意，将代入，去掉绝对值符号后求导即可求解； （2）根据题意可得，构造函数，然后去掉绝对值符号利用导数求解函数的最小值即可得到结果. 【详解】（1）当，时，， 则， 令，解得， 令，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，无极大值. （2）依题意可得，对，恒成立， 即，令， 当时，，单调递减， 当时，，则， 令，解得，令，解得， 综上所述，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即， 所以的取值范围为. 27．(1)的单调递减区间为，无单调递增区间， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可； （2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证； （3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解． 【详解】（1）函数定义域为， 因为， 所以在上单调递减，故的单调递减区间为，无单调递增区间， （2）证明：由（1）时，， 所以，令， 则， ， 故 所以； （3）， 因为与同号，所以只有一个零点， 令，，由， 则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 函数定义域为， 因为， 设，则， ①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意， ②当时，，有两个零点，， 所以当时，，即；当时，，即； 当时，，即． 故在，,上单调递减，在,上单调递增； 因为，且，所以，所以， 由（2）知，时，， 所以，即， 所以， 所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 因为， 因为，所以， 所以时，存在三个不同的零点，1，， 故实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $$