江西省上高二中2024-2025学年高二上学期第一次周练数学试题

2026届高二数学第一次周练 一、单选题（共8小题） 1．在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 2．三棱锥中，为的重心，在棱上，且，则与平面的位置关系为（    ） A．在平面内 B．在平面外 C．与平面相交 D．与平面平行 3．已知m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（    ） A．若则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂线于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为 (　　) A． B． C． D． 5．如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为（忽略杯子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为，红酒的高度比杯子的高度低，则红酒的体积为（    ） A． B． C． D． 6．一个侧棱长为6的直三棱柱形容器中盛有水，若将该容器侧面水平放置时，液面的高度恰好是底面正三角形的高的一半，则当底面水平放置时，液面高为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台外接球的球心到上底面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方形棱长为1，是线段上的一个动点（含端点），则下列结论不正确的是（）    A．的最小值为 B．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 C．的最小值为 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 二、多选题（共3小题） 9．下列说法不正确的是（    ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．若两条平行直线中的一条与一个平面相交， 则另一条直线也与这个平面相交 C．若直线上有无数个点不在平面内， 则 D．若两个平面有无数个公共点， 则这两个平面重合 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．四边形的周长为 C． D．四边形的面积为 11．已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为，则（    ） A．棱台的侧面积为 B．棱台的体积为 C．棱台的侧棱与底面所成的角 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 三、填空题（共3小题） 12．如图，三棱锥A—PBC，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，，P､B､C､A在以O为球心的同一球面上，则AO与PC所成角的大小为 . 13．将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为 ． 14．已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为 四、解答题（共5小题） 15．(1)一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．（6分） （2）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积．（7分） 16．已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为. (1)求此圆锥的体积；（7分） (2)若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.（8分） 17．已知正方体的棱长为为的中点．    (1)证明：平面；（7分） (2)求三棱锥的体积．（8分） 18．在如图所示的多面体中，平面 (1)在上求作点使平面请写出作法并说明理由；（8分） (2)求点A到平面CDE的距离．（9分） 19．在多面体ABCDEF中，，且，. (1)证明：；（5分） (2)若平面平面，求二面角的余弦值；（6分） (3)在（2）的条件下，求该多面体的体积.（6分） 2026届高二年级第一次周练数学试题答案 一、单选题 1．C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    2．D 【分析】通过对应线段成比例得到线线平行，从而得到线面平行. 【详解】如图， 延长交于点，连接，因为为的重心，所以，又 ，平面，平面，平面. 故选：D 3．D 【分析】根据直线与平面的位置关系结合平面与平面的位置关系空间想象即可 【详解】对A，由A选项若.则直线可能是异面、相交或平行三种位置关系都可以.所以A不正确. 对B，若，则直线可以垂直也可以不垂直.所以B选项不正确. 对C，若，，则直线垂直.所以C选项不正确. 对D，因为，则成立.所以选D. 故选：D 4．D 【详解】设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为，球半径为，则： ∴ ∴这三个圆的面积之比为： 故选D 5．B 【分析】求出酒杯圆锥的底面半径，然后利用相似形得出红酒圆锥的底面半径，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥形酒杯的母线为.作出轴截面图，如图所示，因为该酒杯的杯子口径为，侧面积（不含杯座和杯茎）为，所以，解得， 即，.又红酒的高度比杯子的高度低， 所以，所以，即， 则红酒的体积为. 故选：B． 6．B 【分析】将容器侧面水平放置时，有水部分看作水平放置的四棱柱，由此根据水的体积不变，结合体积公式列出等式，即可求得答案. 【详解】如图，将该容器侧面水平放置时，有水部分可看作水平放置的四棱柱， 因为液面的高度是底面正三角形的高的一半，故四棱柱底面积为， 当直三棱柱底面水平放置时，有水部分为直三棱柱，设液面高为h， 则水的体积，解得， 故选：B 7．C 【分析】由圆台的侧面积公式求出母线长，再由勾股定理得到高即可计算； 【详解】依题意，记圆台的上､下底面半径分别为， 则，则， 设圆台的母线长为， 则，解得， 则圆台的高， 记外接球球心到上底面的距离为， 则，解得. 故选：C. 8．C 【分析】当时，最小，结合正三角形性质，求得到直线的距离，判断A；根据当P在直线上运动时，三棱锥的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断B；将翻折到与同一个面，从而求得的最小值可判断C；根据题意确定以点B为球心，为半径的球面与面的交线即为的内切圆，即可求得交线长，判断D. 【详解】对于A，当时，最小，由于 到直线的距离，故A正确； 对于B，，平面，平面， 平面到平面的距离为定值， 为定值，则为定值，故B正确； 对于C，将翻折到与同一个面，    当点为与的交点时，取得最小值， 易知，，， 所以由余弦定理得 ，故C错误； 对于D，易知平面，设与平面交于点，   ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ， 在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为， 其内切圆半径为， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题C选项的解决关键是将将翻折到与同一个面，从而将的最小值转化为的值，由此得解. 二、多选题 9．CD 【分析】由平面的公理和线面、面面的位置关系，结合空间想象可得. 【详解】A中，因为两两相交且不共点，记两两相交的交点分别为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，故过该三点有且只有一个平面，A正确； B中，若，则过直线m和n有且只有一个平面，记为，若，则与相交，记交线为l，假设n与不相交，则n与l无公共点，则，则有，与已知矛盾，故假设不成立，故B正确； C中，当直线l与平面相交时，显然直线上有无数个点不在平面内，故C错误； D中，当两平面相交时，交线上的所有点都是两平面的公共点，故D错误. 故选：CD 10．AD 【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可. 【详解】如图过作，    由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即,即C错误； 还原平面图为下图，    即，即A正确； 过C作，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即B错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】对于A．在等腰梯形中解出其面积即可得出棱台的侧面积；对于B．在等腰梯形中解出其高即为棱台的高，将其代入即可得出答案；对于C．棱台的侧棱与底面所成角为，在解出即可；对于D．侧面与底面所成锐二面角的平面角为角，在解出即可． 【详解】作正四棱台如图所示： 对于A，过作于，过作于，所以平面， ，又因为 ，所以， 所以棱台的侧面积为.所以A正确； 对于B， 上底面面积，下底面面积， 棱台的体积为，故B错误； 对于C，因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角. ，则，所以C正确； 对于D，为侧面与底面所成锐二面角的平面角， ，所以D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：熟练掌握正四棱台的体积公式、侧面积、线面角与面面角的定义是解本题的关键点． 三、填空题 12．/ 【分析】求得球的半径，通过补形，结合线线角的求法，求得AO与PC所成角的大小. 【详解】依题意PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，， 所以，三棱锥外接球的半径为， 将三棱锥补形成长方体如下图所示， 由于，所以是AO与PC所成角， 由于， 所以三角形是等腰直角三角形，所以， 所以AO与PC所成角的大小为. 故答案为： 13． 【分析】先利用体积相等求出，进而可求其表面积. 【详解】设实心铁球的半径为， 由题意可知，得， 故实心铁球的表面积为， 故答案为： 14．/ 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由条件推得，再由圆锥的体积列方程，求得，再作圆锥的轴截面，利用面积相等即可求出圆锥内切球的半径，即可算得其体积. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为，则， 从而，则圆锥的体积，解得. 作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为，半径为. 则,解得， 则该圆锥的内切球的体积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（1） （6分） （2）侧面积是32，表面积是48 （7分） （1）【详解】如图所示，直角梯形中，， 作，垂足为，则， 故， 在旋转生成的旋转体中，形成了一个圆面， 形成一个圆柱的侧面，形成一个圆锥的侧面， 设其面积分别为， 则， 所以次旋转体的表面积为. （2）如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 底面边心距为，它们组成一个直角三角形； ， ， 所以正四棱锥的侧面积， 底面正方形面积为， 则正四棱锥的表面积为， 即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 16．(1)； （7分） (2) （8分） 【分析】（1）根据给定条件，利用圆锥的表面积公式求出圆锥的底面圆半径及高，再利用圆锥的体积公式计算即得. （2）利用圆锥与其内接圆柱的结构特征，用圆柱的底面圆半径表示出高，再求出侧面积的函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）设圆锥底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长， 显然，解得，圆锥的高， 所以圆锥的体积. （2）设圆锥的内接圆柱的底面圆半径为，高为，则有，即， 解得， 因此圆柱的侧面积， 当且仅当时取等号，所以该圆柱侧面积的最大值为. 17．(1)证明见解析 （7分） (2) （8分） 【分析】（1）取取的中点，通过说明为平行四边形，即可求证； （2）利用线面平行的性质定理将体积转化，然后利用等体积法求解体积. 【详解】（1）取的中点，连接，如图：    所以，且长度相等， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面 （2）因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， ， 所以三棱锥的体积为 18．(1)答案见解析； （8分） (2). （9分） 【分析】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，再利用线面平行、面面平行的判定、性质推理即得. （2）根据给定条件，利用等体积法求出三棱锥的高. 【详解】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP，则P为所求作的点，如图： 由，G为BC的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，，即， 又平面，平面，则平面， 而，平面，平面，则平面， 又平面，平面，， 因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）在等腰梯形中，由，， 得梯形的高等于，从而的面积为， 由平面，得DE是三棱锥的高，设点A到平面CDE的距离为h， 由，得，即，解得， 所以点A到平面CDE的距离为. 19．(1)证明见解析； （5分） (2) （6分） (3)16 （6分） 【分析】（1）利用余弦定理计算可得，再利用勾股定理可得，同理可得，由线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）根据线段长度作出二面角的平面角，再由余弦定理即可求得结果； （3）将多面体分割成四棱锥和三棱锥两部分，再利用体积公式求出两部分体积相加即可. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理可得，即； 满足，即； 又，所以； 同理可得， 因为，平面，， 所以平面, 又平面，所以； 又因为，，所以四边形是平行四边形； 因此， 所以. （2）若平面平面,由（1）知， 所以可得平面，平面，所以， 且，， 由勾股定理可知， 取的中点为，连接，如下图所示： 易知，即可得即为二面角的平面角， 显然，，又， 在中，， 即可得二面角的余弦值为. （3）连接，如下图所示： 易知多面体的体积等于四棱锥的体积加上三棱锥的体积； 由（2）可知和分别是四棱锥和三棱锥的高， 易知， ， 可得多面体的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $$