第1单元圆复习（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册北师大版

第1单元圆复习讲义-数学六年级上册北师大版 【易错考点】+【例题精讲】+【针对性训练】 目录导航 第一部分：易错考点 第二部分：例题精讲 第三部分：针对性训练 【第一部分】 易错考点 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10.圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 圆周长=π×直径 圆周长=π×半径×2 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 13．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（πr）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r。 圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²。 14．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²　或者S=π（d/2）² 或者S=π（C÷(2π)）² 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．） 19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式： Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r 圆周长的一半=πr 20．半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ²÷2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。 22．当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米； 当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。 23．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 24．扇形弧长公式：扇形的面积公式：　S=nπｒ²÷360 （n为扇形的圆心角度数，r为扇形所在圆的半径） 【第二部分】 例题精讲 1．如图：四个圆的圆心在一条直线上，已知外圆的直径是30厘米，则图中三个小圆的周长和是多少厘米？（π取3.14） 【答案】94.2厘米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径；三个小圆的周长＝π×（三个圆的直径和），三个圆的直径等于大圆的直径，所以三个小圆的周长等于外圆的周长，据此解答。 【详解】3.14×30＝94.2（厘米） 答：三个小圆的周长是94.2厘米。 2．有一种方圆桌，它既可以是方桌，也可以变成圆桌，如图①是方桌的桌面，它边长为8分米，如果把它的四边撑开，就成了圆桌，圆桌桌面如图所示，圆桌桌面的面积是多少平方分米？（结果用含的式子表示） 【答案】16π平方分米 【分析】根据题意可知，圆桌的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式：面积＝π×r2，代入数据，即可解答。 【详解】π×（8÷2）2 ＝π×42 ＝π×16 ＝16π（平方分米） 答：圆桌桌面的面积是16π平方分米。 【第三部分】 针对性训练 一、选择题 1．下面各图中，正确画出直径的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面的选项中，正确的是（    ）。 A． B． C． D．无法确定与3.14的大小关系 3．推导圆面积公式时，把圆转化成近似的长方形，这个长方形的周长比圆周长大（    ）。 A．πr B．d C．r D．πd 4．两圆的直径相差4cm，两圆的周长相差（    ）。 A．4cm B．2πcm C．4πcm D．6.28cm 5．一个圆和一个正方形的周长都是12.56分米，它们的面积比较。（    ） A．一样大 B．正方形大 C．圆面积大 D．不能比较 6．一个圆的半径是10厘米，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 A．3140 B．3.14 C．31.4 D．314 二、填空题 7．一个圆形水池的直径是10m，沿着池边每隔2m栽一棵柳树，最多能栽( )棵。 8．在一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形中画出一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米；如果画出一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 9．一个半圆形的桌面，它的直径是20dm，周长是( )dm，面积是( )dm2。 10．如图，圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长是12.56厘米，阴影部分的周长是( )厘米。 11．一张正方形纸片的周长是4厘米，它的面积是( )平方厘米；如果将它剪成一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。 12．一支挂钟的时针长7厘米，一昼夜这根时针走过的面积是( )平方厘米。 三、判断题 13．旋转式水龙喷头的射程是8m，8m就是圆的直径。( ) 14．一个圆的半径扩大为原来的4倍，周长也扩大为原来的4倍。( ) 15．半径不相等的两个圆，它们的面积可能相等。( ) 16．一个圆环，大圆的半径是10厘米，小圆的直径是8厘米，圆环的面积是36π平方厘米。( ) 17．若大圆半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的8倍。( ) 四、计算题 18．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 19．求图影部分的面积。 五、解答题 20．一辆小汽车的轮胎外直径是0.75米，这辆车通过一段900米的路，车轮要转多少圈？（π的值取3） 21．一台压路机的轮子直径是1.2米，每分钟转10圈，那么压路机一个小时能前进多少米？ 22．文化广场中心有一个周长是18.84米的圆形花坛，这个花坛的占地面积约是多少平方米？ 23．公园里有一个圆形花坛，直径是20米，工人叔叔要在这个花坛外围修一条2米宽的人行观赏过道，这条人行观赏过道的面积是多少平方米？ 24．为了不让小牛乱吃草，主人用一根20米长的绳子，一头拴住小牛，另一头拴在一棵树上。那么小牛的最大活动范围是多少？（绳扣部分长度不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B C C D 1．C 【分析】根据直径的定义可知：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，由此解答即可。 【详解】根据分析可得：下面图形中，图C表示圆的直径。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了对圆的直径的定义认识。 2．A 【分析】是一个无限不循环小数，为；小数比较大小时，从最高位开始比较，依次向低位比较，据此可得出答案。 【详解】 故答案为：A 3．B 【详解】略 4．C 【分析】圆的周长公式是C＝πd，设第一个圆的直径是d1，第二个圆的直径是d2，且d2＝d1＋4 cm，用第二个圆的周长减去第一个圆的周长即可。 【详解】C2－ C1 ＝πd2－πd1 ＝π（d1＋4）－πd1 ＝πd1＋4π－πd1 ＝πd1－πd1＋4π ＝4π（cm） 故答案为：C 【点睛】熟记圆的周长公式是解题关键。 5．C 【解析】略 6．D 【分析】根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 一个圆的半径是10厘米，这个圆的面积是314平方厘米。 故答案为：D 【点睛】熟记圆的面积公式是解答本题的关键。 7．15 【分析】已知圆形水池的直径是10m，根据圆的周长公式C＝πd，由此求出圆形水池的周长； 因为圆形是封闭图形，间隔数＝棵数；用圆形水池的周长除以相邻两棵树的间距，即可求出最多能栽柳树的棵数。 【详解】3.14×10＝31.4（cm） 31.4÷2≈15（棵） 最多能栽15棵。 【点睛】先根据圆的周长公式求出水池的周长，再根据封闭图形中“植树棵数＝间隔数”解答。 8． 28.26 20.56 【分析】根据题意可知，长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式： S＝，代入数据，即可解答。最大的半圆的直径是长方形的长，半圆的周长等于直径是8厘米的圆周长的一半加上8厘米的直径，根据圆的周长公式求解即可。 【详解】长方形中画出一个最大的圆，圆的直径等于6厘米； 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 即这个圆的面积是28.26平方厘米。 如果画出一个最大的半圆，最大的半圆的直径等于8厘米； 3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 即这个半圆的周长是 20.56 厘米。 【点睛】本题主要考查圆的周长、面积公式，解题时注意半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。 9． 51.4 157 【分析】半圆的周长的计算公式是，把直径20dm代入公式计算即可求出半圆形桌面的周长；半圆的面积等于圆的面积÷2，先根据圆的面积求出圆的面积，再用圆的面积÷2求出半圆形桌面的面积。 【详解】×3.14×20＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（dm） 3.14×（20÷2）2÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（dm2） 所以周长是51.4dm，面积是157dm2。 【点睛】注意半圆的周长并不等于圆的周长的一半，半圆的面积等于圆的面积的一半。 10．15.7 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2÷π，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出圆的面积，圆的面积与长方形的面积相等，因此可知，用圆的面积除以半径就是长方形的长，再根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，代入数据即可求出长方形的周长；阴影部分的周长＝长方形的周长－两个半径的长＋圆周长的，把数据代入公式解答。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56÷2＝6.28（厘米） （6.28＋2）×2 ＝8.28×2 ＝16.56（厘米） 16.56－2×2＋12.56× ＝16.56－4＋3.14 ＝15.7（厘米） 阴影部分的周长是15.7厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式、圆面积公式、长方形的面积公式、长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11． 1 0.785 【分析】根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形边长；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方形面积；正方形内剪最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】4÷4＝1（厘米） 1×1＝1（平方厘米） 3.14×（1÷2）2 ＝3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方厘米） 一张正方形纸片的周长是4厘米，它的面积是1平方厘米；如果将它剪成一个最大的圆，圆的面积是0.785平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确正方形内剪最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 12．307.72 【分析】根据题意可知，一昼夜相等于时针走了两圈，时针扫过的面积就是这个圆形钟面的面积×2，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×72×2 ＝3.14×49×2 ＝153.86×2 ＝307.72（平方厘米） 一支挂钟的时针长7厘米，一昼夜这根时针走过的面积是307.72平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积公式的应用，关键明确一昼夜时针走了两圈。 13．× 【分析】半径：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径；直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径；据此解答。 【详解】将喷头看成圆心，则旋转式水龙喷头的射程是圆的半径，即8m就是圆的半径。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查对圆各部分的认识。 14．√ 【分析】根据圆的半径扩大到原来的几倍，周长也扩大到原来的几倍，面积扩大到原来的倍数×倍数，进行分析。 【详解】将圆的半径扩大到原来的4倍，周长扩大到原来的4倍。 故答案为：√ 【点睛】解题时要明确：半径扩大为原来的n倍，直径、周长也扩大为原来的n倍，面积扩大为原来的n2倍。 15．× 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，进行分析即可。 【详解】由圆的面积公式：S＝πr2，可知半径相等的圆的面积相等，半径不相等的圆的面积不相等。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查对圆的面积公式的理解。 16．× 【分析】圆环的面积S＝π（R2－r2），代入数据求出面积，比较即可判断。 【详解】8÷2＝4（厘米） π×（102－42） ＝π×（100－16） ＝π×84 ＝84π（平方厘米） 所以这个环形的面积是84π平方厘米。 84π≠36π 因此，题干中的计算是错误的。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查圆环面积公式的识记。 17．× 【分析】根据圆的面积＝π可知，若大圆半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的倍，据此解答。 【详解】根据圆的面积公式，大圆半径是小圆半径的2倍，则大圆面积是小圆面积的倍，即4倍。 故答案为：× 【点睛】本题考查圆的面积和半径的关系。 18．10.75平方厘米 【分析】观察图形可知，用长方形的面积减去半圆的面积即可求出阴影部分的面积。长方形的面积＝长×宽，半圆的面积＝πr2÷2，据此解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 10×5－3.14×52÷2 ＝50－78.5÷2 ＝50－39.25 ＝10.75（平方厘米） 阴影部分的面积是10.75平方厘米。 19．436cm2 【分析】由题意可知：阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，利用长方形的面积公式（S＝ab）和圆的面积公式（S＝πr2）即可求解。 【详解】30×25－3.14×102 ＝750－3.14×100 ＝750－314 ＝436（cm2） 图阴影部分面积是436cm2。 20．400圈 【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用3×0.75即可求出车轮一圈的长度，然后用900米除以车轮一圈的长度，即可求出车轮转的圈数。 【详解】900÷（3×0.75） ＝900÷2.25 ＝400（圈） 答：车轮要转400圈。 【点睛】本题主要考查了圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 21．2260.8米 【分析】压路机转一圈前进的米数相当于底面圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd，把数代入公式再乘每分钟转的圈数，之后再乘60即可求出一小时前进多少米。 【详解】3.14×1.2×10×60 ＝3.768×10×60 ＝37.68×60 ＝2260.8（米） 答：压路机一小时能前进2260.8米。 【点睛】本题相当于是求圆的周长，故应用周长公式计算。要敢于想象压路机前进时，前轮一圈一圈转动的样子。 22．28.26平方米 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2；半径＝周长÷π÷2；代入数据，求出圆心花坛的半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个花坛的占地面积约是28.26平方米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和面积公式是解答本题的关键。 23．138.16平方米 【分析】由题意可知，小圆半径为（20÷2）米，大圆半径为小圆的半径加上2米，小路的面积就是圆环的面积，利用圆环的面积＝π（R2－r2），即可解答。 【详解】20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 3.14×（122－102） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 答：这条人行观赏过道的面积是138.16平方米。 【点睛】解决本题关键是分别求出校园和大圆的半径，再根据圆环的面积公式求解；注意大圆的半径比小圆的半径多2米，而不是直径多2米。 24．1256平方米 【分析】根据题意可知，小牛的最大活动范围就是半径是20米的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出小牛活动的范围。 【详解】3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 答：小牛的最大活动范围是1256平方米。 【点睛】解答本题的关键明确小牛活动的范围是半径为20米的圆的面积。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$