第二单元分数混合运算（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

分数混合运算 板块一：考点精讲 1．分数乘法 【知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 2．分数除法 【知识点归纳】 分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 分数除法法则： （1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数． （2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数． （3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算． 分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同 （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． 3．分数乘除混合运算 【知识点归纳】 分数四则混合运算运算法则是： 1、加减：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分数相加减，先通分，再分母不变，分子相加减。 2、乘法：先约分，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母。 3、除法：除以一个数就等于乘这个数的倒数。 【方法总结】 分数混合运算顺序是：混合计算，先算乘除法再算加减法； 如果有括号，先算括号里面的（先算小括号，再算中括号）； 同一级运算，一般从左往右计算。 板块二：高频考点 一、选择题 1．张叔叔承包了公顷的土地，其中的土地用于种植稻谷，的土地用于种植蔬菜，其余土地用于建养殖场。养殖场的面积占这块土地的几分之几？列式为（    ）。 A． B． C． D． 2．一根米长的电线，第一次用去全长的，第二次用去米，比较两次用去电线的长度（    ）。 A．第一次长 B．第二次长 C．同样长 D．无法确定 3．一堆货物有4吨，第一次运走了总质量的，第二次运走了吨，算式“4×－”解决的问题是（    ）。 A．两次共运走了多少吨 B．第一次运走了多少吨 C．两次后还剩下多少吨 D．第一次比第二次多运了多少吨 4．（    ）比25kg多。 A．30kg B．35kg C．40kg D．25kg 5．一个长方形的长增加，宽减少，这个长方形的面积（    ）。 A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 6．小明去学校，去时速度是每小时80千米，回来时速度每小时120千米，来回的平均速度是（　　）千米/时． A．90 B．96 C．100 D．98 7．一本故事书有 140页，奇思已经看了这本书的，还剩（    ）页没有看。 A．80 B．60 C．20 D．100 8．分数单位是的真分数有（　　）个． A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题 9．一节数学课用时40分钟，老师讲新知识点用时是这节课的，同学们练习用时是老师讲新知识点的。同学们练习用时( )分钟。 10． 吨可以看作是1吨的( )，也可以看作是8吨的( )． 11．和（ ）互为倒数，（ ）的倒数是1，11的倒数是（ ）． 12．在第32届东京奥运会上，我国体育代表团成绩骄人，共获得了88枚奖牌。其中获得的银牌数占奖牌总数的，银牌有( )枚；金牌数比银牌多，金牌有( )枚。 13．8千克比( )少 千克；20吨增加( )%后是25吨。 14．林涛去文具店买练习本，赶上店里促销，所有商品打七折（七折是指现价是原价的），林涛买了20本练习本，每本练习本原价3.5元，则林涛需要付( )元。 15．星光小学举办变废为宝，美化校园活动，其中六（1）班上交作品63件，六（2）班上交的作品比六（1）班少，六（2）班上交了( )件作品。 三、判断题 16．甲比乙多，乙就比甲少。( ) 17．学校图书馆有文艺书450本，比科技书多，学校图书馆有科技书350本。( ) 18．100m赛跑，甲用了16秒，乙用了14秒，乙的速度是甲的．( ) 19．吨面粉，运走了，还剩吨。( ) 20．一些鸭梨，第一天吃了，第二天吃了余下的，这时鸭梨恰好吃完。( ) 21．甲是乙的,丙比甲多,那么丙和乙相等. ( ) 22．仓库里原来有5.5吨钢材，用去了，还剩4吨。( ) 23．甲比乙多，也就是甲＝乙＋ ( ) 四、计算题 24．直接写出得数。                                      25．计算下面各题，能简算的要简算。                                               五、解答题 26．光明小学五年级共有学生98人，选出男同学的和3个女同学去参加市举办的数学竞赛，剩下的男、女同学人数刚好相等。这个年级男、女同学各多少人？ 27．某学校有学生1240人，女生人数的与男生人数的同样多，那么男女生各有多少人？ 28．一种钢轨米重吨，50米这样的钢轨重多少吨？ 29．笑笑买了一支圆珠笔和一支钢笔共用去24元，圆珠笔的单价是钢笔的，圆珠笔和钢笔的单价各是多少？ 30．新城果园去年收荔枝85吨，今年由于虫害，荔枝减产，比去年少收，果园今年收荔枝多少吨？ 31．学校储备抗疫物资，储备免洗洗手液240瓶，酒精的瓶数比免洗洗手液少，酒精有多少瓶？（先画图，再解答） 32．一块水稻试验田今年产量是800千克，比去年产量提高了，这块试验田去年产量是多少？ 33．一本故事书，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的，两天一共读了195页，这本书共有多少页？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B D B B D 1．A 【分析】把张叔叔承包的土地的面积看作单位“1”，减去用于种植稻谷占这块的的分率，减去用于种植蔬菜占这块地的分率，剩下的就是养殖场的面积占这块地的分率，据此解答。 【详解】1－－ ＝1－－ ＝－ ＝ 故答案为：A 【点睛】利用异分母分数加减法的混合运算进行解答。 2．B 【分析】由于这根电线长米，第一次用去全长的，单位“1”是全长，单位“1”已知，用乘法，即第一次用去的长度：×＝米，而第二次用去米，比较即可作出选择。 【详解】由分析得： ×＝（米） ＜ 所以第二次用去的电线长。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查求分数乘法的意义与应用，要注意分数后面加单位表示具体的数。 3．D 【分析】把总质量看作是单位“1“，4×表示的是第一次运走了多少吨；根据减法的意义，4×－表示的是第一次比第二次多运了多少吨。 【详解】4×表示的是第一次比第二次多运了多少吨。 故选：D。 【点睛】解决本题注意找清楚每个数据表示的含义，再根据分数乘法的意义找出乘法部分表示的含义，进而解决问题。 4．B 【分析】把25kg看作单位“1”，求它的1＋是多少，用25×（1＋），即可解答。 【详解】25×（1＋） ＝25× ＝35（kg） 故答案为：B 【点睛】利用求一个数的几分之几是多少的知识进行解答。 5．D 【分析】可以设这个长方形的长是20厘米，宽是10厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长方形面积；把原来长方形的长看作单位“1”，增加，现在长方形的长是原来的长方形的长的（1＋），用原来长方形的长×（1＋），求出现在长方形的长，再把原来长方形的宽看作单位“1”，减少，现在长方形的宽是原来长方形宽的（1－），再用原来长方形的宽×（1－），求出现在长方形的宽，进而求出现在长方形的面积，再用现在长方形面积与原来长方形面积对比，即可解答。 【详解】设原来长方形的长是20厘米，宽是10厘米。 面积：20×10＝200（平方厘米） 现在长方形长：20×（1＋） ＝20× ＝25（厘米） 宽：10×（1－） ＝10× ＝7.5（厘米） 现在长方形面积：25×7.5＝187.5（平方厘米） 比原来减少了：（200－187.5）÷200 ＝12.5÷200 ＝ 一个长方形的长增加，宽减少，这个长方形的面积减少了。 故答案为：D 【点睛】本题考查长方形面积公式以及求一个数比另一个数多（或少）几分之几的知识进行解答。 6．B 【详解】1×2÷（） ＝2÷ ＝96（千米） 答：来回的平均速度是96千米/时． 故选B 7．B 【分析】故事书总页数－已经看的页数＝还剩的页数，已经看的页数是这本书的，已知这本书有140页，根据分数乘法的意义，即可求出已经看的页数，据此解答即可。 【详解】140－140× ＝140－80 ＝60（页） 还剩60页没有看。 故答案为：B。 【点睛】解答此题的关键是求出已经看了多少页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用乘法。 8．D 【详解】试题分析：在分数中，分子小于分母的分数为真分数，由此可知．分数单位是的真分数的分子小于7，据此解答即可． 解：根据真分数的意义可知， 分数单位是的真分数有： ，，…，共7个． 故选D． 点评：根据真分数的定义及分母确定分子的取值范围是完成本题的关键． 9．15 【分析】把这节数学课的时间看作单位“1”， 老师讲新知识点用时占这节课的，用这节课的时间×老师讲新知识点用时占这节课的分率，求出老师讲新知识用的时间，再把老师讲新知识用的时间看作单位“1”，再用老师讲新知识用的时间×同学们练习用时占老师讲新知识点的分率，即可求出同学们练习用的时间。 【详解】40×× ＝25× ＝15（分钟） 一节数学课用时40分钟，老师讲新知识点用时是这节课的，同学们练习用时是老师讲新知识点的。同学们练习用时15分钟。 【点睛】本题考查连续求一个数的几分之几是多少问题，关键是单位“1”的确定。 10． 【详解】略 11．，1， 【详解】试题分析：运用倒数的求法解答； 根据倒数的定义可知，1的倒数等于它本身，据此可以得到答案． 解：和互为倒数，1的倒数是1，11的倒数是； 故答案为，1，． 点评：此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数．同时对倒数的意义和求法要求掌握并熟练运用． 12． 32 38 【分析】根据题意，用总奖牌数×，求出银牌有多少枚，金牌比银牌多，就是把银牌的奖牌数看作单位“1”，金牌是银牌的（1＋），用银牌的奖牌数×（1＋），即可求出金牌的金牌数。 【详解】88×＝32（枚） 32×（1＋） ＝32× ＝38（枚） 【点睛】本题考查求一个数几分之几是多少。 13． 千克 25 【分析】求8千克比多少千克少千克，即求多少千克比8千克多千克，用加法计算； 求20吨增加百分之几后是25吨，即求25吨比20吨多百分之几，先用（25－20）求出多的吨数，再除以20即可。 【详解】8＋＝（吨） （25－20）÷20 ＝5÷20 ＝0.25 ＝25% 【点睛】明确求一个数比另一个数多或少百分之几，用两者的差值除以另一个数。 14．49 【分析】将每本练习本的原价看作单位“1”，用原价×，求出打七折后一本练习本的价钱，再乘20，即可求出买20本练习本需要付的钱数。 【详解】打七折就是现价是原价的。 3.5××20 ＝2.45×20 ＝49（元） 林涛去文具店买练习本，赶上店里促销，所有商品打七折（七折是指现价是原价的），林涛买了20本练习本，每本练习本原价3.5元，则林涛需要付49元。 【点睛】本题主要看出分数乘法的意义，熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法是解答本题的关键。 15．45 【分析】把六（1）班上交的作品数量看作单位“1”，根据题意可知，六（2）班上交的作品数量是六（1）班的（1－），根据分数乘法的意义，用63×（1－）即可求出六（2）班上交的作品数量。 【详解】63×（1－） ＝63× ＝45（件） 六（2）班上交了45件作品。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用乘法计算。 16．× 【分析】已知甲比乙多，把乙数看作单位“1”，则甲数为（1＋），求乙数比甲数少几分之几，用两数之差除以甲数即可。 【详解】÷（1＋） ＝÷ ＝ 甲比乙多，乙就比甲少。 故答案为：× 【点睛】此题考查了求一个数比另一个数多（少）几分之几的问题，用两数之差除以另一个数即可。 17．√ 【分析】把科技书的本数看作单位“1”，文艺书是科技书的（1＋），用文艺书的本数÷（1＋），即可求出科技书的本数，再进行比较，即可解答。 【详解】450÷（1＋） ＝450÷ ＝450× ＝350（本） 学校图书馆有文艺书450本，比科技书多，学校图书馆有科技书350本。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键单位“1”的确定，再利用分数除法的意义进行解答。 18．× 19．× 【分析】运走了，是指运走了吨的，根据分数乘法的意义，可求出运走的吨数，总吨数－运走的吨数＝还剩的吨数，据此解答。 【详解】－× ＝－ ＝ （吨） 还剩吨。 故答案为：× 【点睛】明确第一个不是具体的吨数，表示的是占总数的几分之几，需根据分数的乘法意义，先求出运走的具体吨数。 20．× 【分析】把原来鸭梨的总量看作单位“1”，第一天吃了之后，还剩（1－），第二天吃了余下的，也就是吃了（1－）的，此时还剩下（1－）×（1－），据此解答。 【详解】（1－）×（1－） ＝× ＝ 这时鸭梨还剩下总量的，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了分数的四则混合运算，解答时注意单位“1”的变化。 21．× 【解析】略 22．√ 【分析】本题是以5.5吨钢材为单位“1”，用去了，还剩（1－），列式为：5.5×（1－），即可求得剩下的钢材质量。据此判断。 【详解】5.5×（1－） ＝5.5× ＝4（吨） 还剩4吨。 故答案为：√ 【点睛】求比一个数少几分之几用乘法计算是解答本题的关键。 23．× 24．；；0.5；； 25．；14；1； 12；3；25 【分析】先算小括号里面的除法，再算小括号外面的除法即可； 从左到右依次计算即可； 先去括号，再通分，最后按照同分母分数的计算方法计算； 原式化为，再根据乘法分配律进行简算； 根据乘法分配律进行简算； 按照分数连乘的计算方法计算。 【详解】 ＝12÷ ＝ ＝12× ＝14 ＝＋－ ＝1 ＝ ＝×（12＋4－1） ＝×15 ＝12 ＝36×＋36×－36× ＝9＋6－12 ＝3 ＝ ＝25 26．男同学：50人；女同学：48人 【分析】设男同学有x人，则女同学有98－x人。根据男同学减少，女同学减少3人时，剩下的人数相等，列出方程求解即可。 【详解】解：设男同学有x人，则女同学有98－x人。 x－x＝98－x－3 1.9x＝95 x＝50 女生有：98－50＝48（人） 答：这个年级男同学有50人，女同学有48人。 【点睛】本题主要考查列方程解含有两个问题数的问题，找出等量关系式是解答此类问题的关键。 27．男生600人；女生640人 【详解】解：设女生有x人，那么男生有（1240－x）人，根据题意得： 1240－640＝600 答：男生640人，女生600人。 28．吨 【详解】 ＝ ＝ （吨） 答：50米这样的钢轨重吨。 29．圆珠笔：4元；钢笔20元。 【分析】把钢笔的单价看作单位“1”，圆珠笔的单价为，钢笔和圆珠笔的单价之和为1＋，对应的数量是24元，根据分数除法的意义，可先求出单位“1”钢笔的单价，进而求出圆珠笔的单价。 【详解】24÷（1＋） ＝24÷ ＝20（元） 24－20＝4（元） 答：圆珠笔的单价是4元，钢笔的单价是20元。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，找准单位“1”和具体数量24元对应的分率是解题关键。 30．68吨 【详解】85×（1-） =85× =68（吨） 答：今年收荔枝68吨． 31．图见详解；180瓶 【分析】把免洗洗手液的瓶数看作单位“1”，酒精的瓶数比免洗洗手液少，也就是酒精的瓶数相当于免洗洗手液的（1－），根据一个数乘分数的应用，用乘法解答。 【详解】如图： 240×（1） ＝240× ＝180（瓶） 答：酒精有180瓶。 【点睛】这种类型的题目属于基本的分数乘法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。 32．750千克 【分析】把去年的产量看作单位“1”，今年的产量是去年的（1＋），今年的产量是800千克，求单位“1”，用800÷（1＋）解答。 【详解】800÷（1＋） ＝800÷ ＝800× ＝750（千克） 答：这块试验田去年产量是750千克。 【点睛】熟练掌握已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”，用除法计算。 33．360页 【分析】将这本书的页数看成单位“1”， 两天一共读＋＝，是195页，求总页数用195÷计算；据此解答。 【详解】195÷（＋） ＝195÷ ＝360（页） 答：这本书共有360页。 【点睛】本题主要考查已知一个数的几分之几是多少，求这个数的灵活应用，找出与已知量对应的分率是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$