第四单元多边形的面积（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

多边形的面积 板块一：考点精讲 1．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 2．平行四边形的面积 【知识点归纳】 平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高） 【解题思路点拨】 （1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应的高，代入公式即可求得． 3．梯形的面积 【知识点归纳】 梯形面积＝（上底+下底）×高÷2． 4．三角形的周长和面积 【知识点归纳】 三角形的周长等于三边长度之和． 三角形面积＝底×高÷2． 5．组合图形的面积 【知识点归纳】 方法： ①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减． ②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减． ③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形． 板块二：高频考点 一、选择题 1．周长相等的一个正方形，一个长方形，一个平行四边形，(　 　)面积最大． A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．无法比较 2．已知平行四边形的面积是30.6cm2，图中空白部分的面积是（    ）cm2。 A．20.6 B．10.2 C．18.6 D．15.3 3．甲木条长9厘米，乙木条长是甲木条的，用这两种木条三根围成一个等腰三解形，等腰三角形的周长是（　　）厘米． A．12.6 B．17.4 C．22.2 D．27 4．一个梯形的上底、下底、高分别扩大2倍，它的面积扩大（　　）倍． A．2 B．4 C．6 D．8 5．一个三角形的面积是24平方厘米，高是8厘米，它的底是（　　）cm． A．3 B．1.2 C．6 D．1.5 6．一个平行四边形，底扩大8倍，高缩小，那么这个平行四边形的面积（    ）。 A．扩大16倍 B．缩小 C．扩大4倍 D．扩大8倍 7．一个三角形与一个平行四边形等底不等高，其面积又相等。若三角形的高是6厘米，则平行四边形的高是（    ）厘米。 A．3 B．1.5 C．6 D．9 8．一个梯形的上底是10厘米，下底是20厘米，面积是300平方厘米，这个梯形的高是（　　）厘米． A．5 B．10 C．20 D．40 9．下图中A、B、C分别为平行四边形底边上的四等分点，则平行四边形的面积是阴影面积的（　　）倍． A．4倍 B．6倍 C．7倍 D．8倍 二、填空题 10．一个梯形的面积是，如果梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，高不变，面积是( )． 11．有一块面积是300平方米的直角三角形地，一条直角边为125米，另一条直角边是　 　米． 12．平行四边形的高是5cm，高是底的一半，它的面积是 ． 13．梯形的面积是54平方米，高是6米，上底是8米，下底是　 　米． 14．用两张完全相同的梯形纸片可以拼成一个底和高都是a分米的平行四边形，每张梯形纸片的面积是　 　平方分米． 15．一个三角形和一个平行四边形的底和高都相等，它的面积比是　 　． 16．下图中，点A是一个平行四边形底边中点，阴影部分的面积为是14平方厘米，平行四边形的面积是　 　平方厘米。 17．一批圆木堆放在地上，每层之间相差一根，最上层6根，最下层14根，这堆圆木共　 　根． 三、判断题 18．把一个三角形的高扩大为原来的4倍，底不变，它的面积就扩大为原来的2倍。( ) 19．把一个长方形的框架拉成一个平行四边形，面积减少了，但是周长不变。( ) 20．一个三角形的底边长5厘米，对应的高是10厘米，这个三角形的面积是50平方厘米。( ) 21．一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是a平方米，那么平行四边形的面积是2a平方米。( ) 22．周长越大，平行四边形的面积越大。( ) 23．一个梯形的面积是16平方米，高4米，上下底之和是4米。( ) 24．把一个活动的长方形框架拉成平行四边形，平行四边形的面积比原来长方形面积小。( ) 25．面积相等的两个直角梯形不一定能拼成一个长方形。( ) 四、解答题 26．一个鱼塘的形状是近似的梯形，它的上底是21米，下底是45米，面积是759平方米，它的高是多少米？ 27．一条边的长是4厘米，这条边上的高是3厘米的三角形，面积是多少？ 28．如图，三角形的一条底长1.2厘米，这个底对应的高是1.4厘米。另一条底长1.5厘米，它对应的高是多少厘米？ 29．一个直角三角形的面积是45平方厘米，一条直角边长9厘米，另一条直角边长多少厘米？ 30．一片水田（如图），有一条2m宽的灌溉水道从中穿过，求水田的面积．（单位：m） 31．一块三角形的花布，高是8.4m，高是底的2倍． (1)这块花布的面积是多少平方米？ (2)如果做一条裙子需要2.94m2花布，这块花布最多能做几条裙子？ 32．有一堆钢管堆在一起，横截面是梯形，最上层有3根，最下层有6根，每相邻两层之间均相差1根，这堆钢管有多少层？算一算，这堆钢管一共有多少根？ 33．把一个平行四边形沿着它的一条高剪开拼成一个长方形。已知长方形的长是32.4厘米，比宽的2倍多0.4厘米。那么原来平行四边形的面积是多少平方厘米？（画出示意图再计算） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D C B C C A C D 1．A 【分析】我们可以把周长相等的平行四边行、长方形、正方形，面积最大的是正方形当做一个正确的结论记住，快速去做一些选择题或判断题． 【详解】周长相等的多边形，越接近圆，面积越大；由此可知：周长相等的正方形、长方形、平行四边形中，正方形的面积最大；由此选择即可． 因为周长相等的正方形、长方形、平行四边形中，正方形的面积最大； 故选A． 2．D 【分析】通过观察图形可知，空白部分两个三角形的底之和等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高，所以空白部分的面积等于平行四边形面积的一半，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答即可。 【详解】由分析可得： 空白部分面积为：30.6÷2＝15.3（cm2） 故答案为：D 【点睛】本题考查的目的是理解和掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系以及应用。 3．C 【详解】试题分析：先根据一个数乘分数的意义，求出乙木条的长度，进而结合题意，根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，确定出围成等腰三解形三条边的长度，进而根据三角形周长的计算方法解答即可． 解：9×=4.2（厘米）， 两种木条三根围成一个等腰三解形，因为4.2+4.2＜9，所以不能用4.2厘米、4.2厘米、9厘米的三根木条；只能用9厘米、9厘米和4.2厘米的木条， 9+9+4.2=22.2（厘米）； 答：等腰三角形的周长是22.2厘米． 故选C． 点评：解答此题的关键是先一个数乘分数的意义，求出乙木条的长度，进而根据三角形的特性，判断出围成等腰三解形三条边的长度，根据三角形周长的计算方法解答即可． 4．B 【详解】梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，若“梯形的上底扩大2倍，下底扩大2倍，高扩大2倍”， （2上底+2下底）×2高÷2=4×（上底+下底）×高÷2=面积×4， 故一个梯形的上底、下底、高分别扩大2倍，它的面积扩大4倍． 故选B． 5．C 【详解】试题分析：由“三角形的面积=底×高÷2”可得“底=三角形底面积×2÷高”，三角形的面积和高已知，从而可以求出三角形的底． 解：24×2÷8， =48÷8， =6（厘米）； 答：三角形的底是6厘米． 故选C． 点评：此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用． 6．C 【分析】假定平行四边形的底是1，高是2，面积是：1×2＝2，当底扩大8倍，就是1×8＝8，高缩小，即2×＝1，此时的平行四边形面积是8×1＝8，再进行比较即可。据此解答。 【详解】假定平行四边形的底是1，高是2，面积是：1×2＝2 底扩大8倍，高缩小的平行四边形面积：（1×8）×（2×）＝8×1＝8 8÷2＝4 故答案为：C 【点睛】本题考查了平行四边形的面积的知识，假定平行四边形的底和高，能快速方便地进行题目的解答。假定的数字要利用口算。 7．A 【分析】三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，如果三角形和平行四边形面积相等、底相等，那么，三角形的高就是平行四边形高的2倍。 【详解】6÷2＝3（厘米） 故答案为：A。 【点睛】本题主要考查三角形、平行四边形的面积公式。 8．C 【详解】试题分析：由梯形的面积S=（a+b）×h÷2可得h=2S÷（a+b），代入数据即可求解． 解：300×2÷（10+20）， =600÷30， =20（厘米）； 答：这个梯形的高是20厘米． 故选C． 点评：此题主要考查梯形的面积的计算方法的灵活应用． 9．D 【详解】试题分析：阴影部分三角形的高和平行四边形的高相等，可设阴影三角形的底是1，则平行四边形的底就是4，分别求出平行四边的面积和三角形的面积，再进行比较． 解：设这个三角形的高是h，底是1，则平行四边形的高是h，底是4． 4h÷（1×h÷2）， =4h÷， =8． 答：平行四边形的面积是阴影面积的8倍． 故选D． 点评：本题主要考查了学生利用平行四边形面积公式和三角形面积公式解答问题的能力． 10．75 11．4.8 【详解】试题分析：三角形的面积=底×高÷2，将数据代入公式即可求解． 解：300×2÷125=4.8（米）； 答：另一条直角边是4.8米． 故答案为4.8． 点评：此题主要考查三角形的面积计算公式． 12．50平方厘米 【详解】试题分析：高是底的一半，那么用高乘上2即可求出这个平行四边形的底，再根据平行四边形的面积=底×高进行求解即可． 解：5×2×5 =10×5 =50（平方厘米） 答：它的面积是50平方厘米． 故答案为50平方厘米． 【点评】解决本题先根据底和高的关系，求出这个平行四边形的底，再根据平行四边形的面积公式求解． 13．10 【详解】试题分析：根据梯形的面积计算公式，s=（a+b）h÷2，已知梯形的面积是54平方米，高是6米，上底是8米，求下底是多少米．根据梯形的面积计算方法，用面积乘2除以高，再减上底．由此列式解答． 解：54×2÷6﹣8， =108÷6﹣8， =18﹣8， =10（米）； 答；下底是10米． 故答案为；10． 点评：此题主要考查梯形的面积计算方法，根据梯形的面积计算方法解决有关的实际问题． 14．a2 【详解】试题分析：根据平行四边形的面积公式=底×高，可计算拼成平行四边形的面积为a2平方分米，可用平行四边形的面积除以2即的每张梯形纸片的面积． 解：a×a÷2 =a2÷2， =a2（平方分米）， 答：每张纸片的面积是a2平方分米． 故答案为a2． 点评：此题主要考查的是平行四边形面积公式的应用和梯形面积公式的推导过程． 15．1：2 【详解】试题分析：根据题意，一个三角形和一个平行四边形的底和高都相等，，由三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，求出它们各自的面积，再根据比的意义求解即可． 解：根据题意，假设底为2，高为1． 三角形的面积=底×高÷2=2×1÷2=1， 平行四边形的面积=底×高=2×1=2， 那么它们的面积比是1：2． 故答案为1：2． 点评：由题意，假设底与高是一个简单具体的数值，根据各自的面积公式算出面积，再根据比的意义求解即可． 16．56 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，由图可知，阴影部分的三角形与平行四边形的高相等，底是平行四边形的一半，所以平行四边形的面积是阴影部分三角形面积的4倍，据此解答即可。 【详解】14×4＝56（平方厘米） 即平行四边形的面积是56平方厘米。 【点睛】此题主要考查平行四边形和三角形的面积公式及图形间的面积关系，要重点掌握。 17．90 【详解】试题分析：这堆原木的横截面可以看成一个梯形，其中高为14﹣6+1=9，上底为6，下底为14，根据梯形的面积公式“S=（上底+下底）×高÷2”进行解答． 解：（6+14）×（14﹣6+1）÷2， =20×9÷2， =90（根）； 答：这堆圆木共90根； 故答案为90． 点评：解答此题应根据梯形的面积计算方法进行解答． 18．× 【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，当底不变的时候，高扩大为原来的4倍，那么此时的面积是：底×4×高÷2＝底×高×2，则相当于三角形的面积扩大到原来的4倍，由此即可判断。 【详解】由分析可知：把一个三角形的高扩大为原来的4倍，底不变，它的面积就扩大为原来的4倍，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 19．√ 20．× 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形面积，再进行比较，即可解答。 【详解】5×10÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 一个三角形的底边长5厘米，对应的高是10厘米，这个三角形的面积是25平方厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握三角形面积公式是解答本题的关键。 21．√ 【分析】当一个三角形和一个平行四边形等底等高时，平行四边形面积是三角形面积的2倍。 【详解】根据分析可知，当一个三角形和一个平行四边形等底等高时，三角形的面积是a平方米，那么平行四边形的面积就是2a平方米。 故答案为：√ 【点睛】根据三角形面积＝底×高÷2和平行四边形面积＝底×高即可看出它们的倍数关系。 22．× 【分析】平行四边形的面积＝底×高，若两个平行四边形的底和对应高相等，则它们的面积相等，若不说明是对应底上的对应高，则无法判断它们的面积是否相等；所以两个平行四边形，周长越长，面积大小不能确定；据此即可解答。 【详解】由分析可知，周长越大，平行四边形的面积越大，说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题主要考查平行四边形的面积公式，清晰的掌握平行四边形的面积计算方法。 23．× 24．√ 【分析】把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形后，每条边的长度都不变，也就是周长不变，但是高变短了，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽可知，它的面积变小了，据此解答即可。 【详解】如图所示： 把一个活动的长方形拉成一个平行四边形，则： 平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高比长方形的宽短； 所以平行四边形的面积＜长方形的面积。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查长方形、平行四边形的特征，以及长方形、平行四边形面积公式的应用。 25．√ 【分析】两个完全一样的梯形一定能拼成一个平行四边形，但不一定能拼成长方形，因只有两个完全一样的直角梯形才能拼成一个长方形。据此求解。 【详解】两个面积相等的直角梯形，不一定完全一样，所以不一定能拼成一个长方形。所以原说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题考查了图形的拼组。有四个角是直角的平行四边形是长方形是解决此题的关键。 26．23米 【分析】梯形的高＝面积×2÷（上底＋下底），代入数据计算即可。 【详解】759×2÷（21＋45） ＝1518÷66 ＝23（米） 答：它的高是23米。 【点睛】此题考查了梯形面积的相关应用，应牢记梯形面积计算公式并能够灵活运用。 27．6平方厘米 【详解】试题分析：根据三角形的面积公式S=ah÷2，把三角形的底4厘米，高3厘米代入公式，列式解答即可． 解：4×3÷2， =12÷2， =6（平方厘米）． 答：面积是6平方厘米． 点评：本题主要是应用三角形的面积公式S=ah÷2解决问题． 28．1.12厘米 【分析】三角形的一条底长1.2厘米，这条底上对应的高是1.4厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出这个三角形的面积是多少，再用这个面积乘2除以另一条底，即可求出它对应的高是多少，据此解答。 【详解】1.2×1.4÷2 ＝1.68÷2 ＝0.84（平方厘米） 0.84×2÷1.5 ＝1.68÷1.5 ＝1.12（厘米） 答：它对应的高是1.12厘米。 【点睛】本题主要考查了学生对三角形面积公式的灵活应用。 29．10厘米 【分析】直角三角形中的两条直角边就是对应的底和高，由此可知，另一条直角边长＝三角形的面积×2÷一条直角边长，据此解答。 【详解】45×2÷9 ＝90÷9 ＝10（厘米） 答：另一条直角边长10厘米。 【点睛】此题考查了三角形的面积相关的应用，明确三角形的面积＝底×高÷2，并能灵活运用。 30．1215平方米 【详解】试题分析：根据题意，可利用梯形的面积公式确定原来水田的面积，再利用平行四边形的面积公式计算出灌溉水道的面积，最后用原来水田的面积减去灌溉水道占用的面积即可． 解：（60+25）×30×﹣2×30， =85×30×﹣2×30， =1275﹣60， =1215（平方米）， 答：水田的面积是1215平方米． 点评：此题主要考查的是梯形的面积公式和平行四边形面积公式的灵活应用． 31．（1）17.64平方米 （2）6条 【详解】(1)8.4÷2＝4.2(m) 4.2×8.4÷2＝17.64(m2) 答：这块花布的面积是17.64平方米． (2)17.64÷2.94＝6(条) 答：这块花布能做6条裙子． 32．4层；18根 【分析】根据题意，用最下层根数减去最上层的根数，再加上1，求出层数，即这堆钢管的层数是（6－3＋1）＝4层（高），再根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】层数：6－3＋1 ＝3＋1 ＝4（层） 根数：（3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（根） 答：这堆钢管有4层，这堆钢管一共有18根。 【点睛】本题主要考查梯形面积公式的应用，关键是求出层数。 33．见详解；518.4平方厘米 【分析】把平行四边形沿高剪开，拼成长方形，长方形的长等于原来平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，变化前后，面积不变。利用长方形的面积计算平行四边形的面积即可。 【详解】如图： （32.4－0.4）÷2×32.4 ＝32÷2×32.4 ＝16×32.4 ＝518.4（平方厘米） 答：原来平行四边形的面积是518.4平方厘米。 【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键是利用长方形面积公式计算。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$