12.1 复数的概念和意义课件-2024届高三中职数学一轮复习

第一节　复数的概念和意义 第十二章　复　　数 第1页，共65页 主要考查的内容有以下几个方面． 1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．掌握复数的模及复数的几何意义． 4．掌握复数的加法、减法、乘法运算． 5．掌握实系数一元二次方程的解法． 2 3 1．复数的概念 (1)虚数单位： 假设有一个数是方程x2＋1＝0的解，那么这个数的平方应该等于－1.这个数不在实数范围内．因此，人们引入了一个新的数，记作________，称为_________，满足________＝－1. 注意：i3＝________；i4＝________． i 虚数单位 i2 －i 1 4 (2)复数的定义： 把形如______________的数称为复数，其中___称为复数的实部，________称为复数的虚部． ①当________时，复数a＋bi就是实数； ②当b≠0时，复数a＋bi称为________； ③当a＝0且b≠0时，复数________称为________． a＋bi(a，b∈R) a b b＝0 虚数 bi 纯虚数 5 复数通常用小写英文字母z，w，…来表示，如________． 全体复数构成的集合称为________，用________表示，即_________________________(复数集的集合表示形式). 复数的分类：复数　　　　 实数 ________ ________ ________ z＝a＋bi 复数集 C C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R} 虚数 纯虚数 非纯虚数 6 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图12－1－1所示： 图12－1－1 7 复数集、实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集之间的关系式可以表示成： ________________________． C⊇R⊇Q⊇Z⊇N⊇N* 8 (3)复数相等： 如果两个复数的________和________分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 　 即a＋bi＝c＋di⇔　 特殊地，a＋bi＝0⇔　　　　 ________ ________ ________ ________ 实部 虚部 a＝c b＝d a＝0 b＝0 9 【注】　①虚数________比较大小，实数________比较大小．(填“可以”或“不可以”) ②两个复数如果不全是实数，那么它们________比较大小，只能说相等或________． 不可以 可以 不可以 不相等 10 2．复数的几何意义 (1)复平面： 复数z＝a＋bi可以用平面直角坐标系中的点________来表示．用来表示复数的平面称为________，直角坐标系中的x轴称为________，y轴(除去原点)称为________．显然，实轴上的点都表示________，虚轴上的点都表示________． Z(a，b) 复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 11 (2)几何意义： 复数z＝a＋bi与点________是一一对应的，点________与向量________也是一一对应的．因此，复数既可以用点________表示，也可以用向量________表示，这就是复数的几何意义． Z(a，b) Z(a，b) Z(a，b) 12 (3)复数的模： 一般地，向量________的长度称为复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________，a，b∈R. 显然，复数的模就是它在复平面中所对应的点到________的距离． |z| |a＋bi| 原点 13 特别地：①若b＝0，则复数z＝a＋bi是一个________数，它的模等于________． ②若|z|＝r，则在复平面内的点Z的集合表示______________________________． ③若|z－(a＋bi)|＝r，则在复平面内的点Z的集合表示________________________________． 实 |a| 以原点为圆心、以r为半径的圆 以点(a，b)为圆心、以r为半径的圆 14 (4)共轭复数： 一般地，当两个复数的实部________，虚部____________时，我们称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用____表示，若z＝a＋bi，则z的共轭复数记作________．| |＝________，则|z|________| |.表示两个复数z和 的点关于________对称． 特别地，实数a的共轭复数仍是________． 相等 互为相反数 ＝ 实轴 a ＝a－bi 15 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【题型1】 复数的概念 【例1】　下列复数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？并指出复数的实部与虚部． (1)2＋ i；　 (2)0.618；　 (3) i；　 (4)i2；　 (5)i4；　 (6)5i＋8 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 (2)实数　实部0.618　虚部0 (4)实数　实部－1　虚部0 (5)实数　实部1　虚部0 (6)虚数　实部8　虚部5 【答案】　(1)虚数　实部2　虚部 (3)虚数、纯虚数　实部0　虚部 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时是实数，当b≠0时是虚数，当a＝0且b≠0时是纯虚数． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练1】　有下列复数：①0；②3－i；③4＋i2；④－2－3i；⑤i3；⑥ i；⑦ i；⑧－0.6.其中，实数为________，虚数为____________，纯虚数为______．(填序号) ①③⑧ 【解析】③4＋i2＝4－1＝3，⑤i3＝－i. ②④⑤⑥⑦ ⑤⑥ 【思路点拨】　实数、虚数、纯虚数的区别在于实部和虚部的取值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【例2】　已知复数z＝(m＋1)＋(m－1)i，求当实数m取什么值时：(1)复数z是实数；(2)复数z是虚数；(3)复数z是纯虚数． 【答案】　(1)m＝1　(2)m≠1　(3)m＝－1 【解析】　(1)复数的虚部为零即为实数，故m－1＝0，得m＝1；(2)复数的虚部不为零即为虚数，故m－1≠0，得m≠1；(3)复数的实部为零且虚部不为零即为纯虚数，故m＋1＝0且m－1≠0，得m＝－1. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练2】　复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数时，x＝(　　) A．－1 B．±1 C．1 D．0 【思路点拨】　纯虚数的实部为零且虚部不为零． C 【解析】 ∵ ∴x＝1. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型2】 复数相等【例3】　已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x，y的值． 【答案】　x＝ ，y＝4 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　两复数相等，则实部、虚部分别相等．建立方程组 解得 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练3】　已知(2x＋1)＋(y－1)i＝0，则x＝________，y＝________． 1 【思路点拨】　若复数为零，则该复数的实部和虚部都为零． 【解析】 ∵ ∴ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【例4】　求满足(x＋1)＋(x2－x－6)i>0的x的值． 【答案】　x＝3 【解析】　复数不可以比大小，实数可以，故(x＋1)＋(x2－x－6)i是大于零的实数． 建立不等式组 解得x＝3. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练4】　已知(x2－4)＋(x2－1)i<0，则x＝________． 【思路点拨】　确定复数的实部和虚部的范围是解题关键． 【解析】 ∵ ∴x＝±1. ±1 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型3】 复数的几何意义【例5】　已知复数z＝(2x＋1)＋(x2－3x＋2)i对应的点在第一象限，求实数x的取值范围． 【答案】　 ∪(2，＋∞) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　根据复数的几何意义可知，复数z＝a＋bi对应的点为Z(a，b)，根据题意建立不等式组 解得 <x<1或x>2，即实数x的取值范围是 ∪(2，＋∞). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练5】　已知复数z＝(n2－4)＋(n2＋n－6)i对应的点Z在直线y＝x上，则n＝________． 【思路点拨】　本题重点考查复数的几何意义． 【解析】 点Z(n2－4，n2＋n－6)在直线y＝x上，所以n2＋n－6＝n2－4，解得n＝2. 2 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型4】 共轭复数【例6】　已知z1＝(3x－1)＋i与z2＝y＋(y－3)i互为共轭复数，其中x，y∈R，求x，y的值． 【答案】　 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　根据共轭复数的定义，可建立方程组 解得 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练6】　已知复数z对应的点为Z(3，－4)，则复数z的共轭复数为________． 【思路点拨】　本题考查复数的几何意义以及共轭复数． 3＋4i 【解析】 ∵z＝3－4i，∴ ＝3＋4i. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型5】 复数的模【例7】　设复数z在复平面内对应的点为Z，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|＝1；　 (2)3≤|z|<4；　 (3)|z－i|＝2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【答案】　(1)以原点O为圆心，以1为半径的圆； (2)以原点O为圆心，分别以3和4为半径的两个圆所围成的圆环，包含内边界且不包含外边界． (3)以(0，1)为圆心，以2为半径的圆． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　(1)由|z|＝1知，向量 的模等于1，所以满足条件|z|＝1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆． (2)不等式3≤|z|<4可化为 满足条件|z|≥3的点Z在以原点O 为圆心，以3为半径的圆上及其外部，满足条件|z|<4的点Z在以原点O为圆心，以4为半径的圆的内部．因此满足条件3≤|z|<4的点的 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 集合是以原点O为圆心，分别以3和4为半径的两个圆所围成的圆环，包含内边界且不包含外边界．(3)设z＝x＋yi，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∵|z－i|＝ ＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.故复数z所对应的点Z的集合表示以(0，1)为圆心，2为半径的圆． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练7】　设复数z在复平面内对应的点为Z，则满足条件|z＋i|<3的点Z的集合所构成的图形是_________________________________________． 【思路点拨】　本题考查了复数的几何意义． 【解析】 当|z＋i|＝3时，复数z所对应的点Z的集合表示以(0，－1)为圆心、以3为半径的圆，所以当|z＋i|<3时，复数z所对应的点Z的集合表示以(0，－1)为圆心、以3为半径的圆的内部． 以(0，－1)为圆心、以3为半径的圆的内部　 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题1．已知z＝(a－1)＋(a－2)i是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】 复数为实数，则虚部为零．故选C. 13 14 C 2．设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】 ∵ ＝－3－2i，∴对应的点为Z(－3，－2)，位于第三象限． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 3．已知复数z＝－5＋12i，下列说法正确的是(　　) A．实部是5 B．虚部为12i C．共轭复数为5＋12i D．模为13 【解析】 z＝－5＋12i的实部是－5，故A错；虚部为12，故B错；共轭复数是－5－12i，故C错；模为 ＝13，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 4．已知z＝ i，则 ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．－2 【解析】 ＝|z|＝ ＝1，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 5．设(1＋i)a＝1＋bi，则|a＋bi|＝(　　) A．2 B． C． D．1 【解析】 ∵a＋ai＝1＋bi，∴a＝b＝1，|a＋bi|＝|1＋i|＝＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 6．i2 025＝(　　) A．i B．1 C．－1 D．－i 【解析】 i2 025＝i4×506＋1＝i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 二、填空题7．已知复数z＝(2m－3)＋(n＋1)i是纯虚数，则m，n满足 ____________________． 【解析】 纯虚数中，实部等于零，虚部不为零．故2m－3＝0，n＋1≠0，可得m＝ ，n≠－1. m＝ ，n≠－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．已知(x＋y)－xyi＝－5＋24i(x<y)，则x＝________，y＝________． 【解析】 ∵复数相等，∴ 且x<y，解得 －8 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．已知(2－a)＋(a2－2a－3)i<0，则a＝________． 3 【解析】 由于只有实数可以比较大小，所以 解得a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数是________． 【解析】 ∵z＝1－2i，∴ ＝1＋2i. 1＋2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．已知|z|＝|3－4i|，则复数z所对应的点Z的集合是_______________________________________． 【解析】 ∵|3－4i|＝5，∴|z|＝5，则复数z所对应的点Z的集合表示点Z到(0，0)的距离等于5，即点Z的集合是以点(0，0)为圆心，以5为半径的圆． 以点(0，0)为圆心，以5为半径的圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．满足1≤|z|≤3的复数z所对应的点Z的集合是___________________________________________________． 以原点O为圆心，分别以1和3为半径的两个圆所围成的圆环　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 不等式1≤|z|≤3可化为 满足条件|z|≥1的点Z在以 原点O为圆心，以1为半径的圆上及外部，满足条件|z|≤3的点Z在以原点O为圆心，以3为半径的圆上及内部．因此满足条件1≤|z|≤3的点的集合是以原点O为圆心，分别以1和3为半径的两个圆所围成的圆环． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题13．复数z＝(m2－5m－6)＋(m＋1)i，求当m为何值时：(1)复数z为实数；(2)复数z为虚数；(3)复数z为纯虚数；(4)复数z为零． 解：(1)z为实数时，m＋1＝0，即m＝－1. (2)z为虚数时，m＋1≠0，即m≠－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3)z为纯虚数时，m2－5m－6＝0且m＋1≠0，即m＝6. (4)z为零时，m2－5m－6＝0且m＋1＝0，即m＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．在复平面内，点O是原点，向量 对应的复数z1＝－2＋3i，如果点A关于虚轴的对称点为B，求向量 对应的复数z2及其模． 解：由题知，z1在复平面内所对应的点A的坐标为(－2，3)， 它关于虚轴的对称点B的坐标为(2，3)， ∴z2＝2＋3i，且|z2|＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢谢观看！ $$