11.5 随机变量及其概率分布课件-2024届高三中职数学一轮复习

第五节　随机变量及其概率分布 第十一章　概率与统计 第1页，共65页 1．随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量取值带有________性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量称为随机变量． 通常用小写希腊字母ξ，η等表示，或用大写英文字母X，Y，Z等表示． 随机 2 2．离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值可以________列出，则这种随机变量称为离散型随机变量． 一一 3 3．离散型随机变量ξ的概率分布(见表11－5－1所列) 表11－5－1 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 离散型随机变量概率分布的性质： (1)_____________________________________； (2)________． p1＋p2＋…＋pi＋…＝1　 0≤pi≤1 4 【注】　(1)从随机变量的概率分布中不仅可以看出随机变量的所有取值还可以看出每个随机变量所对应的概率取值． (2)求随机变量的概率分布的步骤： ①写出随机变量ξ的所有可能取值； ②计算各个取值对应的随机变量的概率； ③列出表格． 5 【注】　需验证0≤pi≤1(i＝1，2，3，…)与p1＋p2＋…＋pi＋…＝1. 6 4．二项分布 (1)独立试验：如果每一次试验结果出现的概率都________其他各次试验的结果，那么就把这种试验称为独立试验． (2)n次独立重复试验： 在相同的条件下，________进行n次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果____________，那么这n次重复试验称为n次独立重复试验． 不依赖 重复 互不影响 7 (3)n次伯努利试验： 在n次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有________个，且它们相互________，即只考虑两个事件A和 ，并且在每次试验中，事件A发生的概率都________，这样的n次独立重复试验称为n次伯努利试验． 两 对立 不变 8 (4)伯努利公式：如果在每次试验中事件A发生的概率为P(A)＝p，事件A不发生的概率为P( )＝1－p，那么在n次伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝____________(其中k＝0，1，2，…，n). pk(1－p)n－k 9 (5)二项分布定义：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝______________，k＝0，1，2，…，n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～________． pk(1－p)n－k B(n，p) 10 【注】　①P(X＝k)概率公式仅适用于求“独立重复试验中事件A恰有k次发生”的概率； ②该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数； p是在1次试验中事件A发生的概率； 1－p是在1次试验中事件A不发生的概率； k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数． 11 (1)f(x)＝____________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称f(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线(如图11－5－1所示). 图11－5－1 5．正态分布 12 (2)正态分布： 与正态曲线f(x)对应的正态分布常记作________．如果随机变量ξ服从正态分布，则记为ξ～N(μ，σ2). (3)正态曲线的特征： ①曲线位于________轴上方，与________轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线________对称； N(μ，σ2)　 x x x＝μ 13 ④曲线与x轴之间的面积为______； 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移(如图11－5－2所示). 图11－5－2 1 ③曲线在x＝μ处达到峰值________； 14 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(如图11－5－3所示). 图11－5－3 15 (4)标准正态分布：把______________的正态分布叫作标准正态分布，记作N(0，1). 当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于x的概率记作Φ(x)，即Φ(x)＝P(ξ<x)，则有Φ(－x)＝________． μ＝0，σ＝1 1－Φ(x) 16 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型1】 离散型随机变量 【例1】　下列变量可以作为离散型随机变量的是(　　) A．某个路口昨天经过的车辆数 B．一天之内的温度 C．某学生考试及格得1分，不及格得0分，该学生在期中考试的得分 D．某天李老师授课的节数 例5-8 【解析】　理解离散型随机变量的定义． C 【变式训练1】　下列变量中，不能作为随机变量的是(　　) A．一名射击手射击的环数 B．水在标准大气压下100℃时沸腾 C．某城市冬季下雪次数 D．某同学在未来的某段时间迟到的次数 【解析】 理解离散型随机变量的定义． 【思路点拨】　本题考查离散型随机变量的定义． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【例2】从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取3张．设取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值为________；设取得偶数的个数为η，则随机变量η的所有可能取值为________． 1，2，3 0，1，2 【解析】　理解离散型随机变量的取值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【变式训练2】　从含有2件次品的100件产品中，任取4件产品．设取得正品的个数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值为________；设取得次品的个数为η，则随机变量η的所有可能取值为________． 【解析】 理解离散型随机变量的取值． 【思路点拨】　本题考查离散型随机变量的取值． 2，3，4　 0，1，2 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【题型2】 离散型随机变量ξ的概率分布 【例3】　(2018年河北省对口升学考试试题)从4名男生和3名女生中任选3人参加学校组织的“两山杯”环保知识大赛，设ξ表示选中3人中女生的人数．求： (1)至少有1名女生的概率； (2)ξ的概率分布． 【答案】　(1) 　(2)见“解析” 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【解析】　(1)(解法一)至少有一名女生的概率为P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝ (解法二)至少有一名女生的概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝2)＝ ， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 P(ξ＝3)＝ . ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【变式训练3】　4名男生和2名女生任选3人参加数学竞赛．求： (1)3人中恰有1名男生、2名女生的概率； (2)3人中女生人数ξ的概率分布． 解：(1)设A＝{3人中恰有1名男生2名女生}， 则P(A)＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 (2)女生人数ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝ ， P(ξ＝1)＝ ， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【思路点拨】　本题主要考查的是古典概率模型． ∴女生人数ξ的概率分布为 P(ξ＝2)＝ . ξ 0 1 2 P 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【例4】 (2016年河北省对口升学考试试题)某实验室有5名男研究员，3名女研究员，现从中任选3人参加学术会议，求所选3人中女研究员人数ξ的概率分布． 【答案】　见“解析” 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【解析】　ξ的所有可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝2)＝ ， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 P(ξ＝3)＝ .∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【变式训练4】　从某职业学校高一5人、高二3人、高三2人中选出3人参加职业竞赛．求： (1)有高三学生参加的概率； (2)竞赛中高二学生人数的概率分布． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 (2)设竞赛中高二学生人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3， 解：(1)P＝ . P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【思路点拨】　要注意计算数量时，不遗漏不重复．本题考查了古典概率模型及离散型概率分布表． ∴竞赛中高二学生人数ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5-8 【题型3】 二项分布【例5】　(2019年河北省对口升学考试试题)一颗质地均匀的骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为ξ.求：(1)P(ξ＝2)；(2)ξ的概率分布． 【答案】　(1) 　(2)见“解析” 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　(1)∵能被3整除的点数只有3和6，∴在一次投掷中出现的概率为 ，∴出现不能被3整除的点数的概率为 ， ∴P(ξ＝2)＝ . 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ . 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练5】　(2020年河北省对口升学考试试题)取一副扑克牌，去掉大、小王牌，剩下梅花、黑桃、红桃、方片四种花色共52张．现有放回地随机抽取3次，设ξ为抽到梅花的次数．求： (1)至少抽到1次梅花的概率； (2)ξ的概率分布． 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 解：(1)根据题意，知每次抽到的花色是相互独立的，且每次抽到梅花的概率P＝ ， 记“有放回地随机抽取3次，至少抽到1次梅花”为事件A.则A的对立事件 为“有放回地随机抽取3次，一次都没抽到梅花”， 则P( )＝(1－P)3＝ ， 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 ∴P(A)＝1－P( )＝1－ ， 即至少抽到一次梅花的概率为 . (2)由已知及(1)，得ξ可能取值有0，1，2，3，且ξ～B ， ∴P(ξ＝0)＝ ； 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 P(ξ＝1)＝ ； P(ξ＝2)＝ ； P(ξ＝3)＝ . 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】　求出随机变量ξ的所有可能取值及其对应的概率． ∴ξ的概率分布如下表． ξ 0 1 2 3 P 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【例6】　(2021年河北省对口升学考试试题)为备战2022年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为0.9，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数ξ的概率分布． 【答案】　见“解析” 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4. P(ξ＝0)＝ ×0.90×0.14＝0.000 1， P(ξ＝1)＝ ×0.91×0.13＝0.003 6， P(ξ＝2)＝ ×0.92×0.12＝0.048 6， P(ξ＝3)＝ ×0.93×0.11＝0.291 6， P(ξ＝4)＝ ×0.94×0.10＝0.656 1， 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 4 P 0.000 1 0.003 6 0.048 6 0.291 6 0.656 1 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练6】　(2013年河北省对口升学考试试题)口袋中装有3个黑球和2个白球，除颜色外，它们没有任何区别． (1)求从中任取1球为白球的概率； (2)每次取1球，有放回地取三次，求取到白球数ξ的概率分布． 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 解：(1)设A＝{从中任取1球为白球}，则P(A)＝ . (2)每次取1球，有放回地取三次，取到白球数ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝ ； 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 P(ξ＝1)＝ ； P(ξ＝2)＝ ； P(ξ＝3)＝ ； 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】　利用二项分布求离散型随机变量的概率分布． 所以，ξ满足的概率分布为： ξ 0 1 2 3 P 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型4】 正态分布 【例7】　如图11－5－4是三个正态分布X～N(0，0.64)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为(　　) A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 图11－5－4 A 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定． 由题意得σ(X)＝ ＝0.8，σ(Y)＝ ＝1，σ(Z)＝ ＝2， 因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①②③. 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练7】　随机变量ξ～N(10，4)，则σ2＝(　　) A．2 B．4 C．10 D．14 【解析】 因为ξ～N(10，4)，所以μ＝10，σ2＝4. B 【思路点拨】　由ξ～N(μ，σ2)，可得σ2. 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【例8】　随机变量X的概率分布密度函数f(x)＝ (x∈R)，其图像如图11－5－5所示，设P(X≥2)＝p，则图中阴影部分的面积为(　　) A．p B．2p C． －p D．1－2p 图11－5－5 C 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　由题意可知X～N(1，σ2)，μ＝1，∴P(X≤1)＝ ，则P(X≤0)＝P(X≥2)＝p，故图中阴影部分的面积为P(X≤1)－P(X≤0)＝ －p. 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练8】　随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X>－1)＝P(X<5)，则下列说法一定正确的是(　　) A．μ＝3 B．μ＝2 C．σ＝3 D．σ＝2 【解析】 因为P(X>－1)＝P(X<5)，由正态分布的对称性可得μ＝ ＝2，故B正确，A错误，而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误． B 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】　正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． 例1-4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题 1．下列属于随机变量概率分布的是(　　) D 11 A． ξ 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 B． ξ －1 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.2 0.1 －0.2 12 C． D． ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.3 0.3 0.2 －0.3 0.2 0.3 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.3 0.4 【解析】 0≤pi≤1，p1＋p2＋…＋pi＋…＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.袋中有大小相同的4个小球，分别标有1，2，3，4四个号码，在有放回的抽取条件下，依次取出2个球．设两个号码之和为随机变量x，则x的所有的可能取值的个数是(　　) A．16 B．8 C．7 D．3 C 【解析】 取出的号码之和可以为1＋1＝2，1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，2＋2＝4，2＋3＝5，2＋4＝6，3＋3＝6，3＋4＝7，4＋4＝8，共7个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N(0，σ2)的图像如图11－5－6所示，则下列选项中正确的是(　　) A 图11－5－6 A．σ1<σ2<σ3 B．σ1<σ3<σ2 C．σ2<σ1<σ3 D．σ3<σ2<σ1 【解析】 正态分布的标准差分别为σ1，σ2，σ3，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，所以σ1<σ2<σ3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．袋中有5个大小相同的球，其中有2白球，3个黑球，从袋中任意抽取2个球，抽到的白球数用随机变量ξ表示，则P(ξ＝1)等于(　　) A． B． C． D． D 【解析】 P(ξ＝1)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．抛掷两颗质地均匀的骰子，设所得点数之和为ξ，则P(ξ≤3)＝(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】 抛掷两颗质地均匀的骰子所得点数之和，有6×6＝36种结果，事件A＝{抛掷两颗质地均匀的骰子所得点数之和小于或等于3}，有(1，1)，(1，2)，(2，1)3种结果，故P(A)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题 6．从标有a，b，c，d，e的五张卡片中，任取3张，若取得韵母的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值是________． 【解析】 ∵a，b，c，d，e中a，e是韵母，∴任取3张可能取到的韵母个数为0，1，2. 0，1，2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝ ，k＝2，3，4，…，则P(2≤ξ≤4)＝________． 【解析】 P(2≤ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．已知随机变量X～B(3， )，则P(X≥2)＝________． 【解析】 因为随机变量X～B ，故 所以P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X＝3)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9．若从0到9这十个数字中，任选三个，抽到偶数的个数用ξ表示，则P(ξ＝1)＝________． 【解析】 P(ξ＝1)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．若一批产品的次品率为0.1，有放回的抽取3次，则恰好有2次抽到次品的概率是________． 【解析】 P(ξ＝2)＝ ×0.12×(1－0.1)1＝0.027. 0.027 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、解答题 11．一个题库中有6道容易题与4道中等难度题，任取3道题，求取到中等难度题的题量ξ的概率分布． 解：∵ξ的可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝ ，P(ξ＝1)＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ ， ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12．某职业高中面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占 ，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有 .现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率). (1)求抽取到的问卷中至少有3份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为ξ，求ξ的分布列． 设A＝{4份问卷中至少有3份结果为睡眠时间不少于7小时}， 解：(1)根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为 ，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(A)＝ (2)根据题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B ， 则P(ξ＝0)＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(ξ＝1)＝ ， P(ξ＝2)＝ ， P(ξ＝3)＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以ξ满足的概率分布为： P(ξ＝4)＝ . ξ 0 1 2 3 4 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢谢观看！ $$