11.4 概率初步课件-2024届高三中职数学一轮复习

第四节　概 率 初 步 第十一章　概率与统计 第1页，共65页 1．随机事件 (1)随机现象：在相同的条件下，具有________种可能的结果，而事先又___________会出现哪种现象称为随机现象(也称为偶然现象). (2)随机试验：研究随机现象的观察或试验，统称为___________． 多 不能确定 随机试验 2 (3)随机事件：随机试验的结果称为________，统称为事件．常用英文大写字母A，B，C等表示． (4)必然事件：在一定的条件下，________的事件称为必然事件，用Ω表示． (5)不可能事件：在一定的条件下，____________的事件称为不可能事件，用∅表示． 随机事件 必然发生 不可能发生 3 (6)基本事件：在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件． (7)复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件． 4 【注】　①在描述一个事件时，采用加大括号“{}”的方式，例如，抛掷一枚骰子，出现1点的事件，记作A＝{抛掷一枚骰子，出现1点}； ②必然事件和不可能事件都是随机事件的特殊情况． 5 2．频率与概率 (1)频数：设在n次重复试验中，事件A发生了m次(0≤m≤n)，m称为事件A发生的________； 频率：事件A的频数在试验总次数中所占的比例 ，称为事件A的________． 频数 频率 6 (2)事件的概率：当试验的次数充分大时，如果事件A发生的频率 总稳定在某个常数值附近，那么这个常数值就称为事件A发生的概率，记作P(A). 事件A的概率具有的性质： ①对于必然事件Ω，P(Ω)＝1(即必然事件的概率等于1)； ②对于不可能事件∅，P(∅)＝0(即不可能事件的概率等于0)； ③0≤P(A)≤1. 7 3．古典概率 (1)古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有________，并且各个基本事件发生的可能性________，那么称这个随机试验属于古典概型． (2)在古典概型中，若试验共包含n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性相同，事件A包含m个基本事件，那 么事件A发生的概率P(A)＝________． 有限个 相等 8 (3)互斥事件：在随机试验中，不可能________发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件． (4)和事件：在随机试验中，若事件C发生意味着事件A与事件B有________个发生，则把事件C称为事件A与事件B的和事件，记作C＝A∪B. 同时 1 9 (5)互斥事件的概率加法公式： 对于互斥事件A和事件B，有P(A∪B)＝____________，这个公式称为互斥事件的概率加法公式． 对于两两互斥事件A，B，C，有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，其中A∪B∪C表示事件A，B，C中至少有一个发生． P(A)＋P(B) 10 (6)对立事件：一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝________，A∩B＝________，那么称A与B互为对立事件． 【注】　①互斥事件的概率加法公式只适用于互斥事件，利用该公式时，一定要先判断事件是否为互斥事件；可以利用该公式计算出复合事件的概率．②对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． Ω ∅ 11 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型1】 古典概型 【例1】　(2020年河北省对口升学考试试题)同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则所得点数之和为7的概率为________． 例5 变5 【解析】　本题考查古典概型．试验发生包含的事件是抛掷两颗质地均匀的骰子，共有6×6＝36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到P＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练1】　连续抛掷2颗质地均匀的骰子，向上的点数之和等于8的概率为________． 【解析】 连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n＝6×6＝36，向上的点数之和等于8的基本事件有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5个，向上的点数之和等于8的概率P＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　先求出基本事件总数，再用列举法求出向上的点数之和等于8的基本事件个数，由此求出向上的点数之和等于8的概率． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例2】　(2017年河北省对口升学考试试题)取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　设正方形的边长为1，则其外接圆的半径为 . ∵S正方形＝1，S外接圆＝π× ， ∴该点取自正方形内部的概率为P＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练2】　取一个正方形及其内切圆，在正方形内随机任取一点，该点取自圆内的概率为________． 【解析】 设圆的半径为1，则其外切正方形的边长为2，得S正方形＝4，S内切圆＝π×12＝π，∴该点取自圆内的概率为P＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　设圆的半径为1，则其外切正方形的边长为2，得S正方形＝4，S内切圆＝π×12＝π. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例3】　将语文、数学、英语、历史四本书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书，则甲分到数学书的概率为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　样本空间为Ω＝{将语文、数学、英语、历史四本书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本书}，共有 ＝36种分法． 设A＝{甲分到数学书}，甲分到数学书包括两个事件：B＝{甲只有数学书这一本}和C＝{甲有两本书，其中一本是数学}．其中“甲只有数学书这一本”的分法为：把数学分给甲，有1种分法，把剩下的三本书分给乙、丙两人，每人至少一本，有 ＝6种 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 分法；“甲有两本书，其中一本是数学”的分法为：把数学分给甲，有1种分法，把剩下的三本书分给甲、乙、丙三人，有 ＝6种分法．故P(A)＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练3】　若将4个不同的球随机地放入3个盒子中，则每个盒子中至少有一个球的概率等于________． 【思路点拨】　本题考查了古典概率模型． 【解析】 将4个不同的球随机放入3个盒子中，共有34种方法．若每个盒子中至少有一个球，则共有 种方法． ∴所求事件的概率为P＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型2】 互斥事件 【例4】　(2019年河北省对口升学考试试题)一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又 有红球的概率为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　古典概率模型．样本空间为Ω＝{从4个白球和4个红球中任意取3个球}，共有 ＝56种，A＝{从4个白球和4个红球中取1个白球2个红球}，有 ＝24种，B＝{从4个白球和4个红球中取2个白球1个红球}，有 ＝24种，C＝{从4个白球和4个红球中取3个球，既有白球又有红球}，C＝A∪B，A， B为互斥事件，P(C)＝P(A)＋P(B)＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练4】　(2014年河北省对口升学考试试题)从某职业中学的高一5人，高二2人，高三3人中选出3名学生组成一个实践小组，则有高二学生参加的概率为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】 样本空间为Ω＝{从某职业中学的高一5人，高二2人，高三3人中选出3名学生组成一个实践小组}，有选法 ＝120种，事件A＝{所选3人中有1个高二学生参加}，有选法 ＝56种，事件B＝{所选3人中有2个高二学生参加}，有选法 ＝8种，事件C＝{所选3人中有高二学生参加}，C＝A∪B，且A∩B＝∅，故A，B为互斥事件，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　有高二学生参加包括两个基本事件：有一个高二学生参加和有两个高二学生参加．分别按古典概型计算每个基本事件的概率． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例5】　(2018年河北省对口升学考试试题)若将一枚质地均匀的硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为________． 【解析】　将一枚硬币抛掷三次，共有23＝8(种)结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是1－ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练5】　一个袋中装有10个大小相同的球，其中6个白球，4个红球．甲从袋中任取两球，则甲至多取到1个白球的概率为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】 样本空间Ω＝{甲从装有10个大小相同的球的袋中任取两球}，共有取法 ＝45种，事件A＝{甲取到2个红球}，有取法 ＝6种，事件B＝{甲取到1个白球1个红球}，有取法 ＝24种，事件C＝{甲至多取到1个白球}．C＝A∪B，且A∩B＝∅，故A，B为互斥事件，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　至多取到1个白球包括取到1个白球1个红球和取到2个红球两个基本事件． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题 1．从集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}中任取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为(　　) A． B． C． D． D 11 【解析】 从集合A中任取两个不同的数，有 ＝21个不同的数，记事件M＝{从集合A中任取两个偶数}，有 ＝3个不同的数，故P(M)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2．若20件产品中有3件次品，从中任取3件，则有2件次品的概率为(　　) A． B． C． D． C 【解析】 从20件产品中任取3件产品的取法有 ，有2件次品的取法有 ，∴P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3．设事件A与B互为对立事件，则下列式子一定成立的是(　　) A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)·P(B)＝1 C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1 【解析】 由对立事件的定义知，当事件A与事件B对立时，P(A)＋P(B)＝1. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．若甲、乙、丙三位学生计划每人从乒乓球与羽毛球中任选一项练习特长，则甲、乙两位同学恰好选取同一特长的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】 甲、乙、丙每人选一项共有23种，而甲、乙同选同一特长有 ，∴P＝ . D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5．同时掷2枚质地均匀的骰子，则掷出点数之和为6的概率为(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】 同时掷2枚质地均匀的骰子，样本空间Ω有6×6＝36个样本点，设事件A＝{掷出点数之和为6}，则A＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}，有5个样本点，故P(A)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6．某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥，则选出的指挥为女乐师的概率为(　　) A． B． C． D． B 【解析】 样本空间Ω＝{从该乐队中选出一名指挥}，包含 ＝11个基本事件，事件A＝{从该乐队中选出一名指挥，选出的指挥为女乐师}，包含 ＝4个基本事件，故P(A)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7．号码为1，2，3，4的四个小球，放入编号为一、二、三、四的四个盒子中，每盒放一球，则1号球不放入编号为一的盒子的概率为(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】 样本空间Ω＝{号码为1，2，3，4的四个小球，放入编号为一、二、三、四的四个盒子中，每盒放一球}，包含 ＝24个基本事件，事件A＝{1号球不放入编号为一的盒子}，包含 ＝18个基本事件，故P(A)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8．现有长度分别为1，2，3，4，5的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】 任取三条线段的方法有 ＝10种，可以构成三角形的方法有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3种，∴任意取三条线段可以构成一个三角形的概率为 . B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空题 9．有下列事件：①设在10件商品中有2件次品，随机取4件，都是次品；②太阳从东方升起；③下次考试学前班学生全部及格；④抛掷一枚骰子，朝上的点数为7；⑤从3个红球，2个黑球中任取一球是黑球；⑥在标准大气压下，水在100℃达到沸点；⑦抛掷一枚硬币，正面朝上．其中随机事件是________，必然事件是________，不可能事件是________． ③⑤⑦ ②⑥ ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、解答题 10．一个盒子里有5个相同的小球，其中有3个红球，2个白球． (1)若从中任取两球，则两球都是白球的概率是多少？ (2)若从中任取两球，则至少有一个白球的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(1)记A＝{任取两球都是白球}， (2)B＝{任取两球至少有一个白球}， 则P(A)＝ . 则P(B)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11．有3个红球和2个白球． (1)从中一次取2个球，求取到不同颜色的球的概率； (2)从中一次取3个球，求至少取到2个红球的概率． 解：(1)设事件A＝{从3个红球和2个白球中一次取2个球，取到不同颜色的球}，则P(A)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)设事件B＝{从3个红球和2个白球中一次取3个球，至少取到2个红球}，则P(B)＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 谢谢观看！ $$