11.3 二项式定理课件-2024届高三中职数学一轮复习

第三节　二项式定理 第十一章　概率与统计 第1页，共65页 1．二项式定理 (a＋b)n＝ an＋ an－1b＋ an－2b2＋…＋ an－mbm＋…＋ bn，n∈N*.这个公式表示的定理称为二项式定理．其中， (m＝0，1，2，…，n)称为二项式系数，Tm＋1＝________称为二项展开式的通项公式． 2 【注】　①二项展开式中共有n＋1项(n为正整数)； ②各项中a与b的系数之和为n，且a按降幂顺序排列，b按升幂顺序排列； ③理解三个概念：项、项的二项式系数和项的系数． 3 2．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中，与首末两端“________”的两项的二项式系数相等，即 . (2)如果二项式的幂指数n是偶数，那么它的展开式的________项，即第________项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数，那么它的展开式的________项，即第 ___________项的二项式系数相等且最大． 等距离 中间一 中间两 4 (3)在二项式(a＋b)n的展开式中，所有的二项式系数之和为________，即__________________＝________． (4)在二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和都等于2n－1，即 ＝________． 【注】　能够利用二项展开式的通项公式求出任意指定项和指定项的系数． 2n 2n 2n－1 5 3．常用的展开式 (1)(1＋x)n＝ ， 令x＝1，可得 ＝2n. (2)(1－x)n＝ ， 令x＝1，可得 ＝2n－1. 6 4．有关系数 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (1)各项系数和：a0＋a1＋a2＋…＋a7＝________． (2)常数项：a0＝________． (3)奇数项的系数和：a0＋a2＋a4＋a6＝________． (4)偶数项的系数和：a1＋a3＋a5＋a7＝________． －1 1 1 093 －1 094 7 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型1】二项展开式通项公式的应用 【例1】　(2019年河北省对口升学考试试题)在二项式 的展开式中，常数项等于(　　) A． B． C． D． A 【解析】　通项为Tm＋1＝ ，令12－3m＝0，解得m＝4.将其代入通项式，得 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练1】　(1)在二项式 的展开式中，第4项为________，含x4的项为________，常数项为________，二项式系数最大的项为________． －3 240x8 17 010x4 －61 236 －61 236 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】 ①T4＝T3＋1＝ (x2)7 ＝ (－3)3·(x2)7(x－2)3＝ －3 240x8. ②Tm＋1＝ (x2)10－m ＝ (－3)m·(x2)10－m(x－2)m＝ (－3)mx20－4m，令20－4m＝4，得m＝4，则T4＋1＝ (－3)4x4＝17 010x4. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ③令20－4m＝0，得m＝5，则T5＋1＝ (－3)5＝－61 236.④ ＋1＝6，所以二项式系数最大的项是第6项，T5＋1＝－61 236. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (2)(2016年河北省对口升学考试试题)已知 的展开式的第k项为常数项，则k为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 Tk＝Tm＋1＝ ，令 ＝0，得m＝6，因此，k＝7. B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　要求熟练掌握二项展开式的通项公式，并且解决此类问题时一定要做到思路清晰，特别是不要把m的值视为所求项数． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型2】 系数的和【例2】　(2017年河北省对口升学考试试题)在二项式(3x－4)2 017的展开式中，各项的系数之和为(　　) A．－1 B．1 C．22 017 D．72 017 【解析】　令x＝1，则(3x－4)2 017展开式中，各项的系数之和为(3×1－4)2 017＝－1. A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练2】　(1)在二项式(4x－5)2 025的展开式中，各项的系数之和为________； 【解析】 (1)令x＝1，则(4×1－5)2 025＝－1. －1 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　用赋值法求各项的系数和,求常数项． (2)(2018年河北省对口升学考试试题)设(2x－1)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，则a1＋a2＋…＋a2018等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．22018－1 A (2)令x＝1，则(2×1－1)2 018＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 018， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝1； 令x＝0，则(2×0－1)2 018＝a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a2 018＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型3】 二项式系数【例3】　(2014年河北省对口升学考试试题) 的展开式中，二项式系数之和为128，则n＝________． 【解析】　根据二项式系数和公式，令2n＝128，得n＝7. 7 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练3】　已知(2x－3y)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求展开式中各项的系数之和及二项式系数之和． 【思路点拨】　二项式系数之和为2n，与a，b的值无关；求系数之和，令x＝y＝1. 解：令 ＋1＝6，则n＝10.当x＝1，y＝1时，得系数之和为(2－3)10＝1.(2x－3y)10的展开式中，二项式系数之和为210＝1 024. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【例4】　(2021年河北省对口升学考试试题) 的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第5项与第6项 D．第6项与第7项 【解析】　∵n＝10，∴ 最大，即第6项的二项式系数最大． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练4】　在(x－y)9的展开式中，系数最小的项是(　　) A．第1项 B．第5项 C．第6项 D．第10项 【解析】 ∵n＝9，∴ 最大，即第5项和第6项的二项式系数最大．Tk＝Tm＋1＝ x9－m(－y)m＝ (－1)mx9－mym，T5＝T4＋1＝ (－1)4x5y4＝ x5y4，T6＝T5＋1＝ (－1)5x4y5 ＝ x4y5，所以第6项的系数最小． C 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　先找二项式系数最大的两项,再通过系数的正负找到系数最大或最小的项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题 1．在二项式 的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．－5 C．10 D．5 C 11-19 【解析】 对于Tr＋1＝ (x2)5－r ＝(－1)r x10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，则含有x4的项的系数是 ×(－1)2＝10. 2．在(x＋y)n展开式中，第7，8项的系数最大，则n的值为(　　) A．15 B．14 C．16 D．13 【解析】 ∵(x＋y)n的第7项和第8项的系数最大，∴ ，∴n＝6＋7＝13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 D 3． 的展开式中的常数项是(　　) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 B 【解析】 Tm＋1＝ ，令 ＝0，得m＝3，为第4项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 4．(2x＋1)6展开式中含x2项与含x4项的系数之比为(　　) A． B． C．2 D．4 A 【解析】 (2x＋1)6展开式中含x2项为 (2x)2×14，系数为4 ，含x4项为 (2x)4×12，系数为16 ，故含x2项与含x4项的系数之比为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 5．(x＋y)2m的展开式中系数最大的项是(　　) A．第m项 B．第 项 C．第 项 D．第m＋1项 【解析】 此二项展开式中二项式系数与系数是相等的，当n＝2m为偶数时，第 ＝m＋1项的二项式系数最大，即系数最大． D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 6．已知(x＋2y)n的展开式中二项式系数之和为1 024，则(x－y)2n的展开式中共有(　　) A．10项 B．11项 C．20项 D．21项 【解析】 二项式系数之和为2n＝1 024，∴n＝10，(x－y)2n的展开式中有2n＋1＝20＋1＝21项． D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 7．若(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an等于(　　) A．2n B．2n－1 C．3n D．3n－1 【解析】 当x＝0时，a0＝1；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋an＝(1＋2×1)n＝3n，故a1＋a2＋…＋an＝3n－1. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 8．若 的展开式中有常数项，则n的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 通项Tm＋1＝ (x3)n－m ＝ x3n－5m，令3n－5m＝0，则当m＝3时，n的最小值为5. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 9．在二项式 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是(　　) A．35 B．－35 C．－56 D．56 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 【解析】 第五项的二项式系数最大，则n＝8，通项为 ＝(－1)r x8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，故含有x2的项的系数是(－1)3 ＝－56. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 10．设 展开式的第n项为常数项，则n的值为(　　) A．6 B．7 C．9 D．8 C 【解析】 ∵ 展开式的第n项为常数项，∴Tn＝ x26－2n·(－1)n－1x1－n＝ x27－3n(－1)n－1为常数项，故27－3n＝0，解得n＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-19 二、填空题11．在(3x－2)7的展开式中，二项式系数的和为________． 【解析】 27＝128. 128 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．(1－2x)6展开式中二项式系数最大的项是________． －160x3　 【解析】 (1－2x)6展开式中二项式系数最大的项是中间项T4＝ ×13×(－2x)3＝－160x3. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13．若(x＋y)n的展开式中系数之和大于32且小于128，则系数最大的项是第________项． 4 【解析】 通项Tm＋1＝ xn－mym，故系数等于二项式系数，系数之和就是二项式系数之和等于2n，且32<2n<128，∴n＝6，系数最大项即二项式系数最大项为第 ＋1＝4项． 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．若(1＋ax)5的展开式中x3的系数为－80，求a＝________． －2 【解析】 Tm＋1＝ 15－m(ax)m＝ amxm，当m＝3时， a3＝－80，得a＝－2. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15． 的展开式中第4项为常数项，则n＝________． 【解析】 T4＝T3＋1＝ ，令 －1＝0，得n＝5. 5 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16． ＝62，那么n＝________． 【解析】 因为2n＝ ＝1＋62＋1＝64，所以n＝6. 6 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．已知 ＝729，则 ＝________． 63 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 【解析】 (1－4x)n＝ 1n(－4x)0＋ 1n－1·(－4x)1＋ 1n－2(－4x)2＋ 1n－3(－4x)3＋…＋ 10(－4x)n＝ x1＋42 x2－43 x3＋…＋(－1)n4n xn，令x＝1，各项的系数之和为(1－4×1)n＝(－3)n＝729，所以n＝6，各项的二项式系数之和为 ＝2n＝64，所以 ＝64－1＝63. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、解答题18．求 的展开式中的常数项． 解：Tm＋1＝ (x2)6－m 令12－3m＝0，得m＝4， ＝(－1)m x12－3m， ∴常数项为T4＋1＝T5＝(－1)4 ＝15. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．已知 展开式中第3项系数与第5项系数之比是8∶5，求n的值． 解： 展开式中第3项为T3＝ (2x2)n－2 ＝ 2n－2x2n－6， 系数为 2n－2，第5项T5＝ (2x2)n－4 ＝ 2n－4x2n－12，系数为 2n－4. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵第3项系数与第5项系数之比是8∶5， ∴ ，解得n＝8或n＝－3(舍)，故n＝8. 1-10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢谢观看！ $$