11.2 排列与组合课件-2024届高三中职数学一轮复习

第二节　排列与组合 第十一章　概率与统计 第1页，共65页 1．排列的概念(其中m，n∈N*，m≤n) 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按________排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 【注】　(1)排列的定义包含两个要素：一是取出元素；二是按一定的顺序排列，一定的顺序就是和位置有关． (2)两个排列相同：取出的元素相同，排列的顺序一样． 一定顺序 2 (3)当m<n时，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个选排列；当m＝n时，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个全排列． 3 2．排列数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的________，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示． 个数 4 【注】　排列数与一个排列是不同的概念，一个排列是从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按一定的顺序排成一列，它不是一个数，而是一件具体的事情．而排列数是指排列的个数，是具体的数． 5 3．排列数公式 ＝____________________________． 【注】　(1)公式右面第一个因数是n，后面的每一个因数都比前一个因数小1，最后一个因数为n－m＋1，共有m个因数相乘． n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 6 (2)排列数公式中，当m＝n时， ＝n(n－1)(n－2)…3×2×1. (3)由1到n的正整数的连乘积，称为n的阶乘，记作n！，即n！＝n(n－1)(n－2)…3×2×1，当m<n时， . (4)规定： ＝n！，0！＝1， ＝1， ＝n. (5)阶乘递推公式：(n＋1)！＝(n＋1)n！，n！＝n(n－1)！. 7 4．组合的概念 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个________． 组合 8 【注】　(1)组合与排列的区别：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的一个组合，与抽取的m个元素的排列顺序无关；从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的一个排列，与抽取的m个元素的排列顺序有关． (2)只要两个组合所含元素相同就是相同的组合． 9 5．组合数 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的________，用符号 表示． 组合数 10 6．组合数公式 或 规定： ＝________， ＝n. 1 11 7．组合数性质 (1)__________； (2)______________． 【注】　(1)当m＞ 时，通常不直接计算 ，而是计算 ，如 ； (2)以上的m，n∈N*(m≤n). 12 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型1】排列与组合的应用 【例1】　(2019年河北省对口升学考试试题)北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站(包含北京站和雄安站)，则需设计不同车票(　　) A．12种 B．15种 C．20种 D．30种 D 【解析】　需设计不同车票 ＝30(种). 例6-10 【变式训练1】　某次比赛有8个足球队，先进行单循环赛，每两队之间都要比赛一次，共需比赛________场． 【思路点拨】　单循环赛制是指所有参赛队在竞争中均能相遇一次，场次按组合来算即可． 【解析】 某次比赛有8个足球队，先进行单循环赛，每两队之间都要比赛一次，共需比赛 ＝28(场). 28 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【例2】　(2017年河北省对口升学考试试题)从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有(　　) A．81种 B．64种 C．24种 D．4种 C 【解析】　不同的种植方法有 ＝24(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【变式训练2】　(2010年河北省对口升学考试试题)号码为1，2，3，4的四个小球，放入编号为一、二、三、四的四个盒子中，每盒放一球，并且1号球不放入编号为一的盒子，则不同的放法有________种(用数字作答). 【解析】 编号为1的球有3种放法，其余的球有 种放法，共有 ＝18(种)放法． 18 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【思路点拨】 采取特殊元素“优先安排法”，先考虑特殊元素，再考虑其他元素． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【题型2】 平均或不平均分组问题 【例3】　(2018年河北省对口升学考试试题)某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组2名队员，分配方案共有(　　) A．2种 B．3种 C．6种 D．12种 B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【解析】　某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组2名队员，属于均分问题分配方案，共有 ＝3(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【变式训练3】　共有6本不同的书，求下列不同分法的种数． (1)平均分成三份，每份2本； (2)分给甲、乙、丙每人2本； (3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； (4)甲、乙、丙三人中一人得1本，一人得2本，一人得3本； (5)甲、乙、丙三人中甲得1本，乙得2本，丙得3本； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (6)分成三份，一份4本，另外两份每份1本； (7)甲、乙、丙中一人得4本，另外两人每人得1本． 解：(1)属于平均分堆问题， ＝15(种). (2)属于先分堆后分配问题，且不指定对象， ＝90(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (3)属于不平均分堆问题， ＝60(种). (4)属于先分堆后分配问题，且不指定对象， ＝360(种). (5)属于不平均分堆问题，且指定了对象，相当于第(3)问， ＝60(种). (6)属于不平均分堆问题，只要把最大的这堆分好，其余2本各组成1堆，共有 ＝15(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【思路点拨】　分析问题的实质是平均分堆问题、不平均分堆问题还是先分堆后分配问题． (7)属于先分堆后分配问题，且不指定对象， ＝90(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【题型3】 排列组合综合应用题 【例4】　(2021年河北省对口升学考试试题)国家派5支医疗队到4个地区开展工作，每个地区至少分配1支医疗队，则不同的分配方案有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 C 【解析】 　 ＝10×24＝240(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【变式训练4】　5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是(　　) A．120种 B．72种 C．60种 D．36种 C 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【思路点拨】　根据具体情况分类讨论． 【解析】 分两类：第一类，A盒中放两个球，有 ＝24(种)方法；第二类，A盒中放一个球，然后将其他4个不同的球放入剩余3个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，有 ＝6×6＝36(种)方法．共有24＋36＝60(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【例5】　5名同学站成一排，求下列不同的排法种数． (1)全部站成一排； (2)前排3人，后排2人，站两排； (3)甲站在中间； (4)甲、乙两名同学不相邻； (5)甲、乙两名同学相邻； 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (6)甲、乙两名同学中间站1人； (7)甲不站排头、乙不站排尾； (8)甲站乙的左边． 【答案】　(1)120　(2)120　(3)24　(4)72　(5)48　(6)36　(7)78　(8)60 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【解析】　(1)全部站成一排， ＝5！＝120(种). (2)前排3人，后排2人， ＝120(种). (3)甲站在中间， ＝24(种). (4)(插空法)第一步，先排余下的3人， ＝6；第二步，3人形成4个空，挑出两个位置给甲、乙排， ＝4×3＝12，∴ ＝6×12＝72(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (5)(捆绑法)第一步，先排甲、乙， ＝2；第二步，余下三人和甲、乙组成的整体， ＝24.∴ ＝2×24＝48(种). (6)第一步，先排甲、乙， ＝2；第二步，甲、乙中间站一人再排， ＝3；第三步，这个整体与余下2人排列， ＝6.∴ ＝2×3×6＝36(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (7)分两类：第一类，甲站排尾， ＝24(种)；第二类，甲不站排尾， ＝54(种).故共24＋54＝78(种). (8) ＝60(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【变式训练5】　4名女生、3名男生站成一排照相，其中包括甲、乙． (1)若甲必须排在两端，则不同的站法有多少种？ (2)若甲、乙不在两端，则不同的站法有多少种？ (3)若甲、乙相邻，则不同的站法有多少种？ (4)若甲、乙不相邻，则不同的站法有多少种？ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (5)若男生和女生相间排列，则不同的站法有多少种？ (6)若甲站在乙的左边，则不同的站法有多少种？ (7)若甲站在最左端，则不同的站法有多少种？ (8)若3名男生相邻，则不同的站法有多少种？ (9)若4名女生不等高，且女生需按从左向右由高到矮的顺序排列，则不同的站法有多少种？ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 解：(1) ＝1 440(种). (2) ＝2 400(种). (3) ＝1 440(种). (4) ＝3 600(种). (5) ＝144(种). (6) ＝2 520(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 (7) ＝720(种). (8) ＝720(种). (9)解法一：4名女生若无定序要求，则有 种排法，若4名女生定序不排，就是全排列数的 ，所以共有 ＝210(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【思路点拨】　先排特殊的位置和特殊的元素，捆绑法、插空法等是排队常用的方法． 解法二：先从7个位置中选定4名女生的位置，把4名女生定序(从左向右由高到矮，也就是不排序)排入，有 种；剩余3名男生、3个位置可以任意排．所以共有 ＝210(种). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6-10 【例6】　用数字0，3，4，5，6组成的三位数，求： (1)组成三位数的个数； (2)组成没有重复数字的三位数的个数； (3)组成没有重复数字的三位偶数的个数； (4)组成没有重复数字的三位数中，比200大的个数； (5)组成没有重复数字的三位奇数的个数． 【答案】　(1)100　(2)48　(3)30　(4)48　(5)18 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【解析】　(1)∵0不能在首位(即百位)，∴百位排法有 ＝4(种)，个位和十位排法分别有 ＝5(种)，∴共有 ＝100(个). (2)∵0不能在首位(即百位)，∴百位排法有 ＝4(种)，个位和十位排法有 ＝12(种)，∴共有 ＝4×12＝48(个). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 (3)分两类：第一类，个位是0，有 ＝12(个)；第二类，个位不是0，先确定个位，从4，6中选一个， ＝2(种)，再确定首位有 ＝3(种)，剩余十位从余下3个数字中任选一个， ＝3种，∴ ＝18(个).∴共有 ＝30(个). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 (4)要组成比200大的数，首位应从3，4，5，6中选一个，有 ＝4(种)，其他两位排法有 ＝12(种)，∴共有 ＝4×12＝48(个). (5)个位上的数字需从3，5中选一个，有 ＝2(种)；首位从剩余的3个不是0的数字中选一个，有 ＝3(种)；十位上有 ＝3(种).∴共有 ＝18(个). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【变式训练6】　用4，5，6，7，8这5个数字组成五位数． (1)可以组成多少个无重复数字的五位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？ (3)可以组成多少个比70 000大且无重复数字的五位数？ 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【思路点拨】根据限制条件，先排特殊的元素和特殊的位置． 解：(1) ＝120(个). (2) ＝48(个). (3) ＝48(个). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【例7】　一次活动中共有奖券10张，奖券外形无差别，其中一等奖1张，二等奖2张，则3人依次各抽1张奖券，有人中奖的抽法有多少种？ 【答案】　378种 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【解析】　解法一：10张奖券中有奖奖券有3张，无奖奖券有7张，3人中有人中奖可分为3类： 第一类，有1人中奖，有 ＝378(种)； 第二类，有2人中奖，有 ＝126(种)； 第三类，3人都中奖，有 ＝6(种). ∴共有378＋126＋6＝510(种). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 解法二：事件的对立事件是没有人能中奖，所以共有 ＝510(种). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【变式训练7】　已知300件产品中有3件次品，若从中任取5件，则至少有2件次品的抽法有_______________________________种．(用组合数表示结果) 【思路点拨】　通过正向或反向来解题． 【解析】 解法一：至少2件次品包括2件次品和3件次品，抽法种数为 .解法二：总的情况去掉有1件次品和没有次品的情况，抽法种数为 . 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【例8】　从－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3这9个数字中任取3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，问： (1)可以组成多少个不同的二次函数？ (2)可以组成多少个开口向下的二次函数？ (3)可以组成多少个开口向下且顶点在y轴上的二次函数？ 【答案】　(1)448个　(2)280个　(3)35个 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【解析】　(1)因为a≠0，所以a为特殊位置，用特殊位置分析法，分两步进行：第一步选a，有 种方法；第二步选b，c，有 种方法．由分步计数原理，共有 ＝448(种)选法，即可组成448个不同的二次函数．(2)若二次函数图像开口向下，则a＜0.第一步，选a，有 种方法；第二步，选b，c，有 种方法．所以开口向下的二次函数共有 ＝280(个). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 (3)若二次函数图像开口向下，且顶点在y轴上，则a＜0且 ＝0，即a＜0且b＝0.第一步，选a，有 种方法；第二步，选c，不能用a和b的值，有 种方法．由分步计数原理知，共有 ＝35(种)不同的选法，即开口向下且顶点在y轴上的二次函数有35个．结合函数的性质，采取特殊元素“优先安排法”原则，将实际问题与两个计数原理及排列组合知识相联系，转化成数学问题． 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【变式训练8】　关于x的一元一次方程kx＋b＝0中，系数k，b是从0，1，2，3，4这5个数中任意选取的，但不能重复，则组成的一元一次方程的个数为(　　) A．12 B．6 C．16 D．20 C 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【思路点拨】 考查把问题等价转化的能力和应用计数原理知识分析解决问题的能力． 【解析】 分两步：先选k(k≠0)，有 ＝4(种)；b有 ＝4(种). ∴共有4×4＝16(种). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【题型4】 排列数、组合数的计算 【例9】　若 ，则n＝________． 9 【解析】　根据组合数性质，得 ，∴n＝9. 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 (2)已知 ，则x的值为________； 【变式训练9】　(1)若 ，则m＝________； 3或7 【解析】 ∵ ，∴2＝2m－4或2m－4＋2＝12， ∴m＝3或7. 7或9 【解析】 ∵ ，∴2x－7＝x或2x－7＋x＝20，解得x＝7或9. 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 (3)若 ，则n＝________． 7 【思路点拨】　利用组合数性质1： . 【解析】 由题意，得n(n－1)＝7(n－4)(n－5).整理，得3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或n＝ (舍去). 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【例10】　计算：(1) ； (2) . 【答案】　(1)165　(2)4 950 【解析】　(1) ＝165. (2) ＝4 950. 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【变式训练10】　(1)若 ，求n的值； (2)计算：1＋ . 解：(1)∵ ，∴n＝4＋5＝9. (2)原式＝ ＝ 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 【思路点拨】 利用组合数性质： . ＝…… ＝ ＝ ＝165. ＝ 例1-5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 例9 变9 例10 变10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题 1．5个车站，需设计不同车票(　　) A．12种 B．15种 C．20种 D．30种 【解析】 需设计不同车票的种数为 ＝5×4＝20. C 11 12 13 14 15 16-30 2．设x∈N*，且x＜55，则(55－x)(56－x)…(68－x)用排列数符号表示为(　　) A． B． C． D． 【解析】 根据排列数的计算公式，最大的数是68－x，共有14个数，选C. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 3．用数字0，1，2，3，4组成三位无重复数字的偶数，这样的三位数的个数有(　　) A．24 B．18 C．12 D．30 【解析】 用数字0，1，2，3，4组成的三位无重复数字的偶数，当个位是0时，有4×3×1＝12个偶数，当个位是2或4时，有3×3×2＝18个偶数，故共有12＋18＝30个偶数． D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 4．某天上午共四节课，排语文、数学、英语、体育课，其中体育不排在第一节，数学不排在第四节，那么这天上午课程表的不同排法种数是(　　) A．14 B．9 C．12 D．18 A 【解析】 数学排在第一节有1× ＝6种排法，数学排在中间两节时有2×2× ＝8种排法，故共有6＋8＝14种排法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 5．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，系数a，b，c是从0，1，2，3这4个数字中任意选取的，但不能有重复数字，则组成不同的一元二次方程的个数是(　　) A． B． C． D．以上都不对 C 【解析】 从4个数字中选出3个数字排好顺序，有 个，再减去a选0的个数 ，共有 个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 6．若6人分5张相同的电影票，每人至多一张且票还必须分完，则不同的分法有(　　) A．65种 B．56种 C． 种 D． 种 D 【解析】 每人至多一张也可一张也没有，故把5张相同的电影票分给6人中的5人即可共有 种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 7．若5人分6张不同的电影票，每人至少一张且票还必须分完，则不同的分法有(　　) A．1 800种 B．120种 C．720种 D．15种 A 【解析】 分两步：第一步，把6张电影票分成5份，共 ＝15(种)；第二步，把5份电影票分给5人，有 ＝120(种).∴共有 ＝15×120＝1 800(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 8．某象棋兴趣小组共有6名同学，如果随机分为两组进行对抗赛，每组3名队员，分配方案共有(　　) A．20种 B．10种 C．120种 D．12种 B 【解析】 6名同学随机分为两组进行对抗赛，每组3名队员，分配方案共有 ＝10种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 9．甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有(　　) A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 B 【解析】 根据题意，将甲、乙看作一个元素排在中间位置，共有 ＝4种排法，其余3人排其他3个位置，共有 ＝6种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4×6＝24种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 10．某兴趣小组有男生2名、女生3名，现选出3名去参加数学竞赛，要求男生和女生都有，则不同的选法有(　　) A．12种 B．18种 C．9种 D．6种 C 【解析】 分两类：第一类，选1名男生、2名女生，有 ＝6(种)；第二类，2名男生、1名女生，有 ＝3(种).∴共有6＋3＝9(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 11．3名医生和6名护士被分配到一区的三所医院，每个医院分配一名医生和两名护士，共有不同的分配方法的种数是(　　) A． B． C． D． C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 【解析】 先排3名医生得 ；再排护士，先平均分成三堆得 ，再无指定顺序分配，有 种分法．根据分步计数原理得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 12．五个人排成一列，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同的排法有(　　) A．18种 B．48种 C．36种 D．60种 C 【解析】 分步计数原理：先排甲，有 种；再排乙，有 种；最后排其他人，有 种．共有 ＝36种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 13．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数的个数为(　　) A． B． C． D． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 【解析】 综合题目，先分类：第一类，排一位自然数的种数为 ；第二类，排两位自然数的种数为 ；第三类，排三位自然数的种数为 ；第四类，排四位自然数的种数为 ；第五类，排五位自然数的种数为 .所以选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 14．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　) A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 【解析】 分步：先排最后面播放的1个公益广告，有 种方法；再排3个商业广告，有 种方法；最后排另一个公益广告，有三个空位可插，有 种方法．所以共有 ＝36种方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 15．从5名学生中选出4人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛，其中学生甲不能参加语文和数学竞赛，则不同的参赛方法共有(　　) A．24种 B．48种 C．72种 D．120种 C 【解析】 分两类：第一类，不选甲，有 种方法；第二类，选甲，排甲有 种方法，再选其他三个人，排这三个人，有 种方法．共有 ＝72种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-30 16．从2，3，5，7四个数中任选两个相除，则得到的结果有(　　) A．12种 B．15种 C．20种 D．30种 A 【解析】 排列问题， ＝12种． 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 二、填空题 17．若从5名男学生和4名女同学中，选出2名男同学和2名女同学去参加会议，则有________种不同的选择方法． 60 【解析】 分2步：第1步，选2名男同学，有 ＝10(种)；第2步，选2名女同学，有 ＝6(种).故不同的选择方法有10×6＝60(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 18．4名男生与3名女生站成一排照相． (1)若女生必须相邻，则有________种不同的排法； 720 【解析】 用捆绑法，先把女生放在一起，有 ＝6种排法；女生这个整体与余下4名男生，有 ＝120种排法．∴共有 ＝720(种)排法． 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (2)若女生不相邻，则有________种不同的排法； 1 440 【解析】 若女生不相邻，先排余下学生有 ＝24种，3个女生从男生形成的5个空中选3个，与顺序有关，有 ＝60(种)， ∴共有 ＝1 440(种)． 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (3)若男生女生相间，则有________种不同的排法． 144 【解析】 男女相间是男女不相邻且中间只隔一人，共有 ＝144(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19．求值： ＝________； ＝________；5！＝________；若 ，则r＝________． 1 1 120 1或5 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 20．从4名男医生和3名女医生中选出3人，分别派到3个地区去工作，要求3人中既要有男医生又要有女医生，则不同的选派方法有________种． 180 【解析】 先分组：“1名男医生，2名女医生”或“2名男医生，1名女医生”，故不同的选派方法有 ＝180(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21．计算：1＋ ＝________． 120 【解析】 原式＝ 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 22．有3个人和6个座位，每人坐一个座位，有________种不同的坐法． 120 【解析】 排列问题： ＝120. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 23．把语文、数学、英语、专业这四门课排在一天的四节课里，若数学必须比英语先上，则课程表的不同排法共有________种． 12 【解析】 定序问题： ＝12(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 24．5个人排成一列，如果甲不站在排头，乙不站在排尾，那么不同的排法有________种． 78 【解析】分两类：第一类，甲站排尾，有1× ＝24(种)；第二类，甲不站排尾，有3×3× ＝54(种).共有24＋54＝78(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 25．平面内有10个点，有4个点在一条直线上，此外没有3点共线，最多可确定________条直线． 40 【解析】 ＋1＝40. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 26．某条街上有10盏路灯，在不影响照明的情况下，要求熄灭3盏灯，熄灭的灯不能相邻，且不能熄灭两端的灯，则共有________种不同的熄灯方案． 20 【解析】 因为不能熄灭两端的灯，所以在5盏亮着的灯中插入3盏熄灭的灯，有6个空，共有 ＝20种方法． 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 27．从4名老师和7名学生中选5人去旅游，老师不能全去，也不能全不去，则有________种选法． 434 【解析】 ＝434(种). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 三、解答题 28．已知从0，2，3，5中任选三个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，问： (1)有多少个不同的二次函数表达式？ (2)关于y轴对称的二次函数表达式有多少个？ 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 解：(1)a≠0，分两步：第一步(选a)，从数字2，3，5中任选1个共有 种；第二步(选b，c)，从余下的3个数中任选2个，与顺序有关，有 种，共有 ＝18(个). (2)∵关于y轴对称，∴b＝0，∴从2，3，5中任选2个作为a，c，共有 ＝6(个). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 29．有0，1，2，3，4，5共6个数字． (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ 解：(1)分两类：第一类，个位是0，有 ＝60(个)；第二类，个位不是0，先确定个位，从4，6中选一个，有 ＝2(种)，再确定首位，有 ＝4(种)，剩余十位和百位从余下4个数字中任选两个排序，有 ＝12(种)， 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ∴有 ＝96(个).∴共有 ＝156(个). (2)分两类：第一类，个位是0，有 ＝120(个)；第二类，个位是5，首位有 ＝4(种)，剩余十位、百位和千位从余下4个数字中任选3个排序，有 ＝24(种)， ∴有 ＝96(个). ∴共有 ＝216(个). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30．某小组有6名学生，现从中选出3人去参加技能大赛，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数是多少？ 解：从6个学生中选3人的方法数为 ＝20，因为20＞16，所以需要减去全是男生的种数，设男生人数为n，有 种方法，则 ＝16，解得n＝4，因此，女生为6－4＝2(人). 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 谢谢观看！ $$