11.3 多边形及其内角和 讲义 2024-2025学年人教版八年级数学上册

多边形及其内角和 一、考点讲解 考点一：多边形概念及分类 1. 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 2. 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、……由n条线段组成的多边形。 三角形是最简单，边数最少的多边形. 3. 多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边。 4. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角。 5. 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。 如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形ABCDE.的内角，∠1是五边形ABCDE的外角． 多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角． 6. 正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形外角的特征：因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等． 7. 多边形的分类：凸多边形和凹多边形。 画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形，如图（1）；若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形，如图（2）。 例题1：下列图形中，是正多边形的是( ) A．三条边都相等的三角形 B．四个角都是直角的四边形 C．四边都相等的四边形 D．六条边都相等的六边形 例题2：一个四边形截去一个内角后变成（ ） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.以上都有可能 将多边形截去一个角问题的探讨：因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况： (1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°. (2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°. (3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°. 变形拓展： 1.如图，图中凸四边形有( ) A．3个 B．5个 C．2个 D．6个 2.下列图形中，是正多边形的是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.长方形 D.正方形 3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(　　) A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 4.如果一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 。 考点二：多边形的对角线 1.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线． 2. 从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 　　3.n边形共有条对角线。 例题1：已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数． 变形拓展： 1.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 2.十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． 3.从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形． 4.在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线． 考点三：多边形内角和 1.公式：n边形内角和等于(n－2)×180°. 2.探究过程：如图，以五边形、六边形为例． ①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°； ②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°； ③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)． 3.应用： ①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和； ②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此多边形内角和能求出边数． 例题1：一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( ) A．12 B．13 C．14 D．15 例题2：如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为( ) A．135° B．240° C．270° D．300° 变形拓展： 1.一个n边形的内角和为360°，则n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2.十边形的内角和为(　　)． A．1 260° B．1 440° C．1 620° D．1 800° 3.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有(　　)． A．6条 B．7条 C．8条 D．9条 4.如图，点、、、、在同一平面内连接、、、、，若，则　　 A． B． C． D． 考点四：多边形外角和 1. 公式：多边形的外角和等于360°. 2.探究过程：如图，以六边形为例． ①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和． ②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°. ③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°. 3.拓展理解： ①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关． ②多边形的外角和与多边形所有外角的和不一样，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和． 注意：同顶点的每一个内角和外角互为邻补角 例题1：当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和 ( ) A．都不变 B．内角和增加180°，外角和不变 C．都增加180° D．内角和增加180°，外角和减少180° 例题2：一个多边形的内角和是外角和的两倍，这个多边形是 。 例题3：已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A．12 B．10 C．8 D．6 例题4：看图答题： （1）小华在求几边形的内角和? （2）少加的那个角为多少度？ 多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索 因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此： ①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数； ②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数． 变形拓展： 1.正十边形的外角和为（ ） A．180° B．360° C．720° D．1440° 2.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度， 外角和是__________度； 3.如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（ ） A．30° B．40° C．80° D．108° 【自我提升】 1.如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= . 考点五：镶嵌问题 　1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。 　　2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 　　3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： 　　(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 　　(2)只用一种正多边形镶嵌地面 　　只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。 　　注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 　　(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 　　用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。 1、如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（ ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 二、巩固练习 1、如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　） A．30° B．36° C．45° D．32° 2、如图，正五边形ABCDE中，，过顶点A作直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 3、将每一个内角都是108o的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n，则∠1和∠2的数量关系是（　　） A．∠1+∠2＝90° B．∠1＝∠2+72o C．∠1＝∠2+36o D．2∠1+∠2＝180° 4、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A、42条 B、54条 C、66条 D、78条 5、用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（　　） A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形 6、一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度． 7、某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 8、在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． （1）请根据下列图形填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … 正多边形的每个内角的度数 … （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由． 9、动手操作，探究： 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 已知：如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．并说明理由． 探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由． 探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF如图（3）所示，请你直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$