10.7 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质课件-2024届高三中职数学一轮复习

第七节　直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 第十章　立 体 几 何 第1页，共65页 1．直线与直线垂直 (1)两条直线所成的角为90°，称为两条直线垂直．分为__________和________两种． (2)证明两条异面直线相互垂直，一般证明一条直线垂直于另一条直线所在的一个________． 相交垂直 异面垂直 平面 2 2．直线与平面垂直 (1)如果直线l与平面α内的______________都垂直，则称直线l和平面α垂直，记作________．直线l称为平面α的________，平面α称为直线l的________，直线l和平面α的________称为垂足． (2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内________________都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 任意一条直线 l⊥α 垂线 垂面 交点 两条相交的直线 3 (3)直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________． (4)垂直于同一条直线的两个平面________． (5)经过一点有且只有一条直线和一个平面________；经过一点____________一个平面和一条直线垂直． 平行 平行 垂直 有且只有 4 (6)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_____________________________________． 垂直于这个平面 5 (7)如图10－7－1所示，PB⊥α，PA与平面α________但不垂直，则点________称为垂足，线段________称为斜线段，线段________称为垂线段，经过垂足和斜足的直线AB称为斜线________在平面α内的________，点B称为________在平面α内的射影．线段________称为点P到平面α的距离． 图10－7－1 相交 B AP PB PA 射影 点P PB 6 3．平面与平面垂直 (1)两个平面相交，如果所成的二面角是___________，则这两个平面垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面________． 直二面角 一条垂线 垂直 7 (4)在解题过程中，要灵活应用线线垂直、________、________的相互转化． 线面垂直 面面垂直 【注】　如图10－7－2所示，点P在平面ABC外，点P在平面ABC内的射影P1在△ABC内，有以下常用结论： (1)若PA＝PB＝PC，则点P1是△ABC的外心； 图10－7－2 8 (2)若点P到边AB，BC，CA的距离都相等，则点P1是△ABC的内心； (3)若PA，PB，PC两两互相垂直，则点P1是△ABC的垂心； (4)若PA，PB，PC与平面ABC所成角相等，则点P1是△ABC的外心． 9 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【题型1】 面面垂直 例4 变4 【例1】　(2019年河北省对口升学考试试题)如图10－7－3所示，已知底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝2，平面PBC与底面ABCD所成二面角的大小为45°，M为PC的中点．(1)求DM的长度；(2)求证：平面BDM⊥平面PBC. 图10－7－3 【答案】　(1)DM＝ 　(2)见“解析” 【解析】　如果条件中出现了线面角、二面角，一定要找出它们(需要找到并证明二面角的平面角)，然后再结合问题进行分析．找线面角、二面角一般遵循“先猜再证，先作再证”的原则，也就是先凭直觉找出或作出线面角、二面角，再证明它就是所求．关键是把条件中的垂直关系和分析得出的垂直关系前后对照，得出线面垂直． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (1)∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.∵在矩形ABCD中，DC⊥BC，∴∠PCD是平面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，即∠PCD＝45°.∵CD⊆底面ABCD，BC⊆底面ABCD，∴PD⊥DC，BC⊥PD. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵在等腰直角三角形PDC中，M为PC的中点，PD＝2，∴DM⊥PC，DM＝ PC＝ .(2)∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.∵DM⊆平面PCD，∴BC⊥DM. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵BC∩PC＝C，∴DM⊥平面PBC.∵DM⊆平面BDM，∴平面BDM⊥平面PBC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练1】　如图10－7－4所示，已知四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD.(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)若PB与平面ABCD所成的角为60°，且PD＝ ，BC＝1，求二面角P－BC－D的正切值． 图10－7－4 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (1)证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC. ∵四边形ABCD为矩形，∴DC⊥BC. 又∵PD与DC是平面PDC内两条相交直线， ∴BC⊥平面PDC. 又∵BC在平面PBC内， ∴平面PBC⊥平面PDC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (2)解：∵PD⊥平面ABCD， ∴BD是PB在平面ABCD内的射影， ∴∠PBD是PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBD＝60°. 又∵BC⊥平面PDC， ∴BC⊥PC，且BC⊥DC， ∴∠PCD是二面角P－BC－D的平面角． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　根据线面垂直可推出面面垂直． ∵在Rt△PDB中，∠PBD＝60°，PD＝2 ， ∴BD＝ ＝2， ∴在Rt△BCD中，BC＝1，故CD＝ ， ∴二面角P－BC－D的正切值为2. ∴在Rt△PCD中，tan ∠PCD＝ ＝2， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型2】 线面垂直 【例2】　(2018年河北省对口升学考试试题)如图10－7－5所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝VC，VC⊥平面ABC，D为VA的中点．求证：VA⊥平面DBC. 【答案】　见“解析” 图10－7－5 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】　证线面垂直时，需要先通过线线垂直证线面垂直．在证明过程中，只要出现一条直线与两条直线垂直，就要看它们是否有交点，如果有交点就得出这条直线垂直于两条相交直线所确定的平面，从而证得线面垂直．∵BC⊆平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，即AC⊥BC，AC∩VC＝C，∴BC⊥平面VAC.∵VA⊆平面VAC，∴VA⊥BC.∵在△VAC中，VC＝AC，D为VA的中点，∴VA⊥CD.∵BC∩CD＝C，∴VA⊥平面DBC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练2】　如图10－7－6所示，已知四边形ABCD为正方形，S是平面ABCD外一点，平面SAD⊥平面ABCD.(1)求证：CD⊥平面SAD； (2)若SA＝SD，M为BC的中点，问：在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论． 图10－7－6 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (1)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴CD⊥AD. ∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，CD⊆平面ABCD， ∴CD⊥平面SAD. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (2)解：存在，理由如下． 如图所示，取AD的中点P，SC的中点N，连接PC，与DM相交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO. ∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊥AD， ∴SP⊥平面ABCD. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵PD MC， ∴四边形PMCD为平行四边形， ∴PO＝CO. ∵N为SC的中点， ∴NO∥SP. ∵NO⊆平面DMN， ∴平面DMN⊥平面ABCD. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】 条件中包含平面与平面垂直，就需要考虑应用平面与平面垂直的性质定理，得出直线与平面垂直．条件中包含中点，就需要考虑三角形的中位线定理． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【题型3】 面面垂直 【例3】　(2021年河北省对口升学考试试题)若直线b⊥α且b⊆β，则平面α与平面β的位置关系是________． α⊥β 【解析】　由面面垂直的判定定理得到α⊥β. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练3】　下列关于平面α，β，γ的命题：①α∥β，β⊥γ⇒α⊥γ；②α⊥β，β⊥γ⇒α⊥γ；③α∥β，β∥γ⇒α∥γ.其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】 本题考查平面与平面的位置关系，需要理解平面与平面平行、垂直的性质定理和判定定理． 【解析】 ∵两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，∴另一个平面也垂直于第三个平面，故①正确；对于②，正方体相邻两个侧面都与底面垂直，但它们相交，故②错误；平面与平面平行具有传递性，故③正确． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【例4】　(2021年河北省对口升学考试试题)如图10－7－7所示，四边形ABCD为菱形，边长为6，∠ABC＝120°，E为PC的中点，PA⊥平面ABCD.(1)求证：平面DEB⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PAD的距离． 图10－7－7 【答案】　见“解析” 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【解析】　(1)如图10－7－8所示，连接AC交BD于点O，连接EO.∵菱形ABCD，∴O为AC的中点． 又∵E为PC的中点，∴EO∥PA.又∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.∵EO⊆平面DEB，∴平面DEB⊥平面ABCD. 图10－7－8 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (2)∵OE∥PA，OE不在平面PAD内，PA⊆平面PAD，∴OE∥平面PAD，∴点E到平面PAD的距离为点O到平面PAD的距离．如图10－7－8所示，过点O作OH⊥AD于点H.又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OH. 图10－7－8 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 ∵PA∩AD＝A，∴OH⊥平面PAD.∴OH为点O到面PAD的距离．∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°. ∴△ABD为等边三角形，OH＝ 即点E到平面PAD的距离为 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【变式训练4】　如图10－7－9所示，已知DA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，且AD＝AB，AM⊥DC于点M，N为BD的中点．求证：(1)平面DBC⊥平面DAB；(2)MN⊥DC. 图10－7－9 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 证明：(1)∵DA⊥平面ABC，BC⊆平面ABC， ∴DA⊥BC. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. 又∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB. ∵BC⊆平面DBC，∴平面DBC⊥平面DAB. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 (2)如图所示，连接AN. ∵在△DAB中，AD＝AB，N为BD的中点， ∴AN⊥BD. ∵AN⊆平面DAB，∴AN⊥BC. 又∵BD∩BC＝B，∴AN⊥平面DBC. ∵CD⊆平面DBC，∴AN⊥DC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 【思路点拨】　证明线线垂直，一般先证明线面垂直．在证明线面垂直时，通常证明直线与某三角形一条有交点的边和一条无交点的边垂直． ∵AM⊥DC，AN∩AM＝A， ∴CD⊥平面AMN. ∵MN⊆平面AMN，∴MN⊥DC. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题 10 11 12 1．下列说法中，正确的是(　　) A．一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B．二面角的棱与其平面角所在的平面垂直 C．经过平面外一点只有一个平面与这个平面垂直 D．经过平面外一条直线只有一个平面与这个平面垂直 B 13 14 【解析】 根据线面垂直的判定定理，A不正确，B正确；经过平面外一点，有一条直线与这个平面垂直，经过这条直线的平面有无数个，C不正确；平面外一条直线，可以是斜线或垂线，D不正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 在正方体中，相邻的两个侧面都与底面垂直，但是它们相交，故②错误；在正方体中，经过同一个顶点的三条棱相互垂直，故③错；①④是性质定理．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则顶点C到平面BB1D1D的距离为(　　) A．1 B． C． D． B 【解析】 如图所示，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD，OC⊥BD，∴BB1⊥OC，∴OC⊥平面BB1D1D，即OC为顶点C到平面BB1D1D的距离． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．P为等边三角形ABC所在平面外一点，若PA＝PB＝PC＝AB，则二面角P－AB－C的平面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如图所示，O为P在平面ABC内的射影，连接OA，OB，OC，CO交AB于点D，则PO⊥平面ABC，∴PO⊥AB.∵PA＝PB＝PC，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心．∵△ABC是等边三角形，∴O为 △ABC的垂心，∴CD⊥AB，∴AB⊥平面PDC，AB⊥PD，即∠PDO为二面角P－AB－C的平面角． △ABC的外心．∵△ABC是等边三角形，∴O为 △ABC的垂心，∴CD⊥AB，∴AB⊥平面PDC，AB⊥PD，即∠PDO为二面角P－AB－C的平面角． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵PA＝PB＝PC＝AB，PD＝CD，OD＝ CD，∴cos ∠PDO＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC1与BD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．若在45°的二面角的一个半平面内有一个点，它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是(　　) A． B． C． D．20 A 【解析】 如图所示，BC⊥β，BD与棱垂直，∴∠BDC＝45°，BC＝10.在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BD＝ ，∴点B到棱l的距离是BD.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为棱DD1的中点，则异面直线A1C1与EB所成的角等于________． 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如图所示，∵A1C1∥AC，∴异面直线A1C1与EB所成的角等于AC与EB所成的角．∵ED与平面ABCD垂直，AC⊆平面ABCD，∴ED⊥AC，∴AC⊥BD.又∵ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥EB，∴A1C1⊥EB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．一山坡与水平面成45°，坡面上一条与山底水平线成30°角的小路，某人沿小路上坡走了100米后，他升高了________米． 【解析】 如图所示，由题意可知，∠BAD＝30°，∠BDC＝45°，AB＝100，BD⊥AD，BC⊥CD，易得BD＝50，∴BC＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图10－7－10所示，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，PA⊥平面ABCD，且AP＝1 cm，点P到直线BD的距离为________． 图10－7－10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 如图所示，过点A作AM⊥BD，连接PM.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAM，∴BD⊥PM，即PM为P到BD的距离．在矩形ABCD中，BD·AM＝AB·BC，∴AM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．如图10－7－11所示，边长为2等边三角形PCD垂直于正方形ABCD所在的平面，则PB与平面ABCD所成角的正切值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 图10－7－11 【解析】 如图所示，取CD的中点M，连接PM，MB.∵等边△PCD，∴PM⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD，即∠PBM为PB平面ABCD所成的角．在等边△PCD中，PM＝ ；在正方形ABCD中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm.若PA⊥平面ABC，PA＝ cm，则△PBC的面积为________． 【解析】 如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD. ∵在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，∴AD⊥BC，AD＝4 cm.由PA⊥平面ABC，PA＝ cm，得PD⊥BC，PD＝8 cm，∴S△PBC＝ ×6×8＝24(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 cm2 12．如图10－7－12所示，已知PA⊥平面ABC，且BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________． 图10－7－12 【解析】 由PA⊥平面ABC，BC⊥AC，易得BC⊥平面PAC，则图中的直角三角形有△PAB，△PAC，△ACB，△PCB. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题13．如图10－7－13所示，已知底面ABCD为矩形，且PA⊥底面ABCD.求证：平面PAB⊥平面PBC. 图10－7－13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC. 又∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC. ∵PA和AB是平面PAB内两条相交的直线， ∴BC⊥平面PAB. ∵BC是平面PBC内一条直线， ∴平面PAB⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．如图10－7－14所示，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且E，F分别为AB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD； (2)若平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小为60°，且PA＝4 cm，求EF的长． 图10－7－14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)证明：如图所示，取PD的中点G，连接AG，FG. ∵在△PCD中，G，F分别为PD，PC的中点， ∵在矩形ABCD中，E是AB的中点， ∴GF CD. ∴AE CD，∴AE GF， 又∵AG⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD. ∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)解：∵PA⊥平面ABCD， ∴在矩形ABCD中，AD⊥CD， ∴∠PDA是平面PDC与平面ABCD所成二面角的平面角， 即∠PDA＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴AD＝ cm， ∴EF＝AG＝2 cm. ∴AG＝AD sin 60°＝ ＝2 cm， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵在Rt△PDA中PA＝4 cm， 谢谢观看！ $$