8.5 直线与圆的位置关系课件-2024届高三中职数学一轮复习

第五节　直线与圆的位置关系 第八章　直线与圆的方程 第1页，共65页 1．直线与圆的位置关系 (1)相交：直线和圆有________个公共点． (2)相切：直线和圆有________个公共点． (3)相离：直线和圆没有公共点． 2 1 2 2．直线与圆的位置关系判定 设直线方程为Ax＋By＋C＝0，圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0). (1)方法一：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d.①d<r⇔直线与圆相交； ②d＝r⇔____________________； ③d>r⇔直线与圆相离． 直线与圆相切　 3 (2)方法二：联立直线方程与圆的方程，并消去x或y后得到的一元二次方程的判别式记为Δ. ①Δ>0⇔_________________； ②Δ＝0⇔直线与圆相切； ③Δ<0⇔直线与圆相离． 直线与圆相交 4 【注】　①若P(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点，则以P(x0，y0)为切点的圆的切线方程为________________； ②弦长＝________(d为圆心到直线的距离)； ③切线长＝________(d为圆外一点到圆心的距离). x0x＋y0y＝r2 5 例1 变1 例2 变2 例3 变3 【题型1】 判断直线与圆的位置关系【例1】　(2017年河北省对口升学考试试题)直线y＝2x＋1与圆x2＋y2－2x＋4y＝0的位置关系是(　　) A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交但不过圆心 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 A 【解析】　圆心坐标为(1，－2)，圆心到直线的距离为d＝ ，r＝ ，d＝r，故直线与圆相切． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练1】　若直线y＝2x＋b与圆x2＋y2＝9相切，则b的值为__________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【思路点拨】　本题重点考查直线与圆的位置关系． 【解析】 圆心坐标为(0，0)，∵直线与圆相切，∴圆心到直线 的距离为d＝ ＝3，解得b＝ . 或 或 【题型2】 圆上的点到直线距离的问题【例2】　(2021年河北省对口升学考试试题)设点P为圆x2＋y2＝4上的动点，则点P到直线4x＋3y－20＝0的距离的最小值为________． 【解析】　∵圆心(0，0)到直线4x＋3y－20＝0的距离为d＝ ＝4，半径r＝2，∴最小距离为d－r＝4－2＝2. 2 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练2】　设P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________，最大值为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 1 3 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　由圆的方程x2＋y2＝1，得圆的圆心坐标为(0，0)，半径r＝1，根据点到直线的距离公式，得圆心到直线3x－4y －10＝0的距离d＝ ＝2，∵d>r，∴直线3x－4y－10 ＝0与圆相离，动点P到直线3x－4y－10＝0距离的最小值为d－r＝1，最大值为d＋r＝3. 【思路点拨】　本题考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型3】 已知直线与圆的位置关系，求参数的取值范围【例3】　若直线y＝mx＋1与圆(x＋3)2＋y2＝9相交，则m的取值范围是________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　∵直线y＝mx＋1与圆(x＋3)2＋y2＝9相交，∴圆心到直线的距离小于半径．∵圆心坐标为(－3，0)，半径r＝3，∵圆心到直线mx－y＋1＝0的距离d＝ <3，解得m> 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练3】　若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相交，则实数k的取值范围是________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【思路点拨】　本题重点考查直线与圆相交，d<r. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离小于半径．∵x2＋y2－4x－6y＋12＝0变形为(x－2)2＋(y－3)2＝1，∴圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，∴d＝ <1，解得0<k< . 【题型4】 圆与直线相交所得弦长问题【例4】　圆(x－2)2＋(y＋2)2＝2截直线x－y－5＝0所得的弦长为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　∵圆(x－2)2＋(y＋2)2＝2的圆心坐标为(2，－2)，半径为 ，∴圆心(2，－2)到直线x－y－5＝0的距离为 ， ∴弦长为 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练4】　圆x2＋y2－2x＋4y＝0截直线3x－y＋2＝0所得的弦长为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【思路点拨】　本题主要考查直线和圆相交的弦长公式． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为(1，－2)，半径为 ， ∵圆心(1，－2)到直线3x－y＋2＝0的距离为 ， ∴弦长为 【题型5】 圆与直线相切，已知切点求圆的切线方程问题【例5】　(2018年河北省对口升学考试试题)经过圆x2＋y2＝25上一点(3，4)的切线方程为(　　) A．3x＋4y－25＝0 B．3x＋4y＋25＝0 C．3x－4y－25＝0 D．3x－4y＋25＝0 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 A 【注】　本题还可以根据圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2进行求解． 【解析】　圆心为O(0，0)，设已知点为D，则kOD＝ .∵切线与直线OD垂直，∴kl＝ ，∴切线方程为y－4＝ (x－3)，即3x＋4y－25＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练5】　经过圆上的点P(3，－2)，且与圆(x－2)2＋(y－1)2＝10相切的直线方程为____________． 【思路点拨】　本题考查经过圆上的点的切线方程的求法． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 x－3y－9＝0 【解析】　圆心为O(2，1)，kPO＝ ＝－3.∵切线与直线PO垂直，∴k＝ ， ∴切线方程为y＋2＝ (x－3)，即x－3y－9＝0. 【题型6】 过圆外一点作圆的切线，求切线方程问题【例6】　求过圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外一点P(2，4)的切线方程． 【答案】　3x－4y＋10＝0或x－2＝0 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　过圆外一点有两条切线，分两种情况讨论：①当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.∵圆心(1，2)到直线kx－y＋4－2k＝0的距离d＝ ＝r＝1，解得k＝ ， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 ∴切线方程为y－4＝ (x－2)，即3x－4y＋10＝0.②当斜率不存在时，切线方程为x－2＝0.综上所述，切线方程为3x－4y＋10＝0或x－2＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练6】　过点A(4，2)作圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的切线，求切线方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 解：∵42＋22＋2×4－2×2＋1＞0，∴点A在圆外． 显然斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－4)， 即kx－y＋2－4k＝0. ∵圆心坐标为(－1，1)，半径r＝ ＝1， ∴ ＝r＝1，解得k＝0或k＝ ， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 ∴切线方程为y＝2或y－2＝ (x－4)， 即y－2＝0或5x－12y＋4＝0. 【思路点拨】本题主要考查判断点与圆的位置关系，求切线方程的方法． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【题型7】 直线与方程的实际应用【例7】　(1)(反射光线问题)从点P(3，2)射出一条光线，经过x轴反射后过点Q(8，3)，求反射点M的坐标．(2)(圆拱桥问题)某地要建造一座跨度为8 m，拱高为2 m的圆拱桥，选取适当的坐标系求出圆拱所在圆的方程． 【答案】　(1)(5，0)　(2)x2＋(y＋3)2＝25 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【解析】　(1)点Q(8，3)关于x轴的对称点为Q′(8，－3)，则直线PQ′的斜率为kPQ′＝ ＝－1，则PQ′所在直线方程为y－2＝－(x－3)，即为x＋y－5＝0.令y＝0得x＝5，所以反射点M的坐标为(5，0). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 (2)如图8－5－1所示建立平面直角坐标系， 则圆拱桥所在圆过A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，设圆拱桥所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴圆的方程为x2＋y2＋6y－16＝0，即为x2＋(y＋3)2＝25. 则 解得 图8－5－1 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【变式训练7】　(1)从点P射出一条光线，经过x轴反射后过点Q(－3，2)且反射点M的坐标为(－6，0)，求入射光线所在直线方程． (2)某地要建造一座跨度为4 m，拱高为1 m的圆拱桥，每隔1 m需要一根支柱支撑，如图8－5－2所示，求第一根支柱DE的长度．(精确到0.01 m) 图8－5－2 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 解：(1)点Q(－3，2)关于x轴的对称点Q′为(－3，－2)，斜率为kMQ′＝ ，所以入射光线方程为2x＋3y＋12＝0. (2)如图所示建立平面直角坐标系，则圆拱桥所在圆过A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)，设圆拱桥所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 ∴圆的方程为x2＋y2＋3y－4＝0， 解得 即为x2＋ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 【思路点拨】本题考查直线与圆方程的实际应用． 由于每隔1米需要一根支柱，则此时E的横坐标为－1，则代入圆中得(－1)2＋ ， 则y＝ ≈0.79，所以第一根支柱DE的长度为0.79 m. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 一、选择题1．直线y＝x＋2与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．可能相交，可能相切 【解析】 圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝16，圆心为C(1，－2)，点C到直线y＝x＋2的距离小于半径，∴直线与圆相交． 14 A 2．经过圆x2＋y2＝25上一点P(3，4)的切线方程为(　　) A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0 C．3x－4y－25＝0 D．3x＋4y－25＝0 【解析】 因为圆心为(0，0)，点P(3，4)在圆上，所以根据公式x0x＋y0y＝r2求解即可． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 3．以点C(－2，1)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 【解析】 圆的半径为1，又∵圆心坐标为(－2，1)，∴圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 4．若经过点D(2，1)作圆(x＋1)2＋(y－2)2＝6的切线，则切线长为(　　) A．2 B．3 C． D． 【解析】 设圆心为C，则切线长＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 5．圆x2＋y2－2x－2y＝0上的点到直线y＝x＋2的最大距离为(　　) A． B． C．2 D．4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 【解析】 ∵圆心坐标为(1，1)，半径为 ，∴圆心到直线x－y＋2＝0的距离为 ，∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线y＝x＋2的最大距离为直径． 二、填空题6．设圆的圆心为(－1，2)，半径r＝5，弦AB的中点为(0，－1)，则弦AB的长为________． 【解析】 ∵圆心到弦中点的距离d＝ ，∴弦长＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2的位置关系是________． 【解析】 ∵圆心坐标为(－1，2)，∴圆心到直线的距离为 d＝ ＝r，∴直线与圆相切． 相切 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．已知直线l与圆x2＋y2＝5相切，且与直线2x＋y＋1＝0平行，则直线l的方程为_________________________________． 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 【解析】 设切线方程为2x＋y＋m＝0，圆心(0，0)到切线的距离为半径 ，即 ，解得m＝±5，∴直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．已知点P(－2，1)是圆x2＋y2＝9内一点，则过点P(－2，1)的圆的最短弦所在的直线方程是______________． 2x－y＋5＝0 【解析】 过圆心(0，0)与点P(－2，1)的直线的斜率为 ，数形结合，最短弦所在的直线和这条直线垂直，所以斜率为2.又过点P，由点斜式方程得y－1＝2(x＋2)，故直线方程为2x－y＋5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．圆心坐标为(2，0)，且与直线x－2y＋1＝0相切的圆的方程为______________． 【解析】 点(2，0)到直线x－2y＋1＝0的距离d＝r， d＝ ，∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝ . (x－2)2＋y2＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题11．已知一圆的圆心在直线2x－y＝0上，半径为2，若该圆与直线3x－4y＋15＝0相切，求该圆的标准方程． 解得a＝1或5，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4或(x－5)2＋(y－10)2＝4. 解：设圆心为(a，2a)，则圆心到直线的距离为 ＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．求经过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2上的点P(2，－3)的切线方程． 解：设与圆相切的直线l的斜率为k，圆心为C(1，－2)，则 ∵切线与直线PC垂直，∴kl＝1， ∴切线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0. 直线PC的斜率kPC＝ ＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.求圆(x－3)2＋(y＋3)2＝3截直线x－y－4＝0所得的弦长． 解：圆的半径为 ，圆心坐标为(3，－3)， ∴圆心(3，－3)到直线x－y－4＝0的距离为d＝ ∴圆(x－3)2＋(y＋3)2＝3截直线x－y－4＝0所得的弦长为2. 根据圆的弦长公式，得弦长＝ ＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西方向70 km处，受影响范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风影响． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：若以台风中心为原点，以轮船和台风中心所在直线为x轴，以港口和台风中心所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则台风受影响范围是以原点为圆心，r＝30 km为半径的圆形区域，即为x2＋y2＝900， 设轮船在P点，港口在Q点，则P(70，0)，Q(0，40)，PQ所在直线的斜率为kPQ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以PQ所在直线方程为y－0＝ (x－70)，即为4x＋7y－280＝0， 所以不会受到台风影响． 圆心(0，0)到直线4x＋7y－280＝0的距离为d＝ ＞30， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢谢观看！ $$