8.2 直线的方程课件-2024届高三中职数学一轮复习

第二节　直线的方程 第八章　直线与圆的方程 第1页，共65页 1．直线的倾斜角 设直线l与x轴相交于点P，A是x轴上点P右侧的一点，B是位于上半平面的直线l上的一点，则________称为直线l对x轴的倾斜角． 若直线l平行于x轴，则规定其倾斜角为________． 直线的倾斜角α的范围是________． ∠APB 0 [0，π) 2 2．直线的斜率 (1)当直线的倾斜角α≠90°时， ________________称为直线的斜率，记作k，即k＝________． 倾斜角的正切值 tan α 3 (2)当直线的倾斜角为90°，即直线与x轴________时，直线的斜率________． (3)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)为直线l上的任意两点，则直线l的斜率k＝________． 垂直 不存在 4 3．直线的方程 (1)点斜式方程：设直线l的斜率为k，且经过点P0(x0，y0)，则直线l的点斜式方程为_________________． (2)斜截式方程：设直线l的斜率为k，且经过点B(0，b)，则直线l的斜截式方程为__________．特别地，b称为直线在y轴上的截距(或纵截距). y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 5 (3)一般式方程：方程_____________(其中A，B不全为零)称为直线的一般式方程．特别地，当B≠0时，该直线的斜率是k＝________，纵截距是________． Ax＋By＋C＝0 6 4．特殊的直线方程 (1)过点M0(x0，y0)且垂直于x轴的直线方程为________． (2)过点M0(x0，y0)且垂直于y轴的直线方程为________． (3)过原点的直线方程为____________． (4)x轴的直线方程为________． (5)y轴的直线方程为________． x－x0＝0 y－y0＝0 Ax＋By＝0 y＝0 x＝0 7 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型1】 利用倾斜角和斜率关系解决问题【例1】　(2020年河北省对口升学考试试题)直线l过点P(0，1)，且倾斜角是直线2x－y＋2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　) A．3x－4y＋4＝0 B．4x－3y＋3＝0 C．3x＋4y－4＝0 D．4x＋3y－3＝0 D 例6 变6 【解析】　设直线2x－y＋2＝0的倾斜角为α，则所求直线l的倾斜角为2α.由题意，得tan α＝2，则tan 2α＝ .由直线的点斜式方程，得y－1＝ (x－0).整理，得4x＋3y－3＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练1】　求过点M(2，－5)，且倾斜角是直线x－ ＋7＝0的倾斜角的2倍的直线方程． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】本题主要考查倾斜角与斜率的关系． 解：直线x－ ＋7＝0的斜率为k＝ 根据特殊角的正切值可知，直线x－ ＋7＝0的倾斜角是30°， 故所求直线的斜率k′＝tan 60°＝ ，所求直线的方程为y＋5＝ (x－2)，化为一般式，得 x－y－5－ ＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【题型2】利用斜率相等解决三点共线问题【例2】　若A(－2，3)，B(－1，7)，C(2，a)三点共线，求实数a的值． 【答案】　a＝19 【解析】　∵A(－2，3)，B(－1，7)，C(2，a)三点共线，∴kAB＝kAC，即 ，解得a＝19. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练2】　已知P(3，m)，M(1，2)两点，且直线PM的倾斜角为 ，求m的值． 解：∵直线PM的倾斜角为 ， ∴kPM＝ ＝1，解得m＝4. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】本题考查斜率公式k＝ (x1≠x2)＝tan α(α为直线的倾斜角，α≠ ). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【题型3】 考查点斜式方程【例3】　已知直线l过点P(1，2)，倾斜角为135°，求直线l的方程． 【答案】　x＋y－3＝0 【解析】　由倾斜角为135°，可得k＝tan 135°＝－1，故直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练3】　设P(－3，1)，Q(－5，3)两点，则直线PQ的斜率为________，倾斜角为________，直线PQ的方程为__________． 【思路点拨】　本题重点考查斜率公式、倾斜角及点斜式方程． 135° －1 x＋y＋2＝0 【解析】 ∵直线PQ的斜率kPQ＝ ＝－1，倾斜角为135°，∴直线PQ的方程为y－1＝－(x＋3)，即x＋y＋2＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【题型4】 两种斜率公式的运用【例4】　已知△ABC的三个顶点分别为A(1，5)，B(2，－3)，C(－5，m)，且BC边的中点为D.当直线AD的倾斜角为 时，求实数m的值． 【答案】　m＝8 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【解析】　∵B(2，－3)，C(－5，m)，且D为线段BC的中点，∴点D的坐标为 ，即 ∵直线AD的倾斜角为 ，∴直线AD的斜率为kAD＝1. 又∵点A的坐标是(1，5)，∴kAD＝ ＝1，解得m＝8. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练4】　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，－1)，C(－2，3)，BC边的中点为D，求BC边上的中线AD所在直线的方程． 解：∵B(2，－1)，C(－2，3)，且D为线段BC的中点， ∴点D的坐标为 即(0，1)， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】本题重点考查斜率公式、点斜式方程、中点坐标公式、直线方程． ∴kAD＝ ， ∴中线AD的直线方程为y－1＝ (x－0)，即x－3y＋3＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【题型5】 直线与坐标轴围成的三角形面积的求法 【例5】　直线3x－4y－20＝0与坐标轴围成的三角形的面积是________． 【解析】　在直线方程3x－4y－20＝0中，令x＝0，得y＝－5； 令y＝0，得x＝ .∴围成的三角形的面积为 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练5】　已知直线l在y轴上的截距是－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝kx－3，则令y＝0，得直线l在x轴上的截距是 . 由S△AOB＝ |OA|·|OB|＝6， 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程、横截距、纵截距． 即 ，解得k＝± ， 即3x－4y－12＝0或3x＋4y＋12＝0. ∴直线l的方程为 或 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【题型6】 利用直线的截距式方程解决问题【例6】　已知直线l过点A(2，3)，且在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】　3x－2y＝0或x＋y－5＝0 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【解析】　①当直线l经过原点时，斜率为k＝ ，∴直线l的方程是y＝ ，即3x－2y＝0.②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为 ，∵过点A(2，3)，∴ ，∴a＝5，∴直线l的方程是 ，即x＋y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【变式训练6】　过点A(2，1)且横截距是纵截距2倍的直线方程为________________________． x－2y＝0或x＋2y－4＝0 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【解析】 当所求直线过原点时，满足题意，则斜率为k＝ ，所以所求直线方程为y＝ ，即x－2y＝0；当所求直线不过原点时，可设直线的纵截距是b，则横截距为2b，那么由截距式方程可得直线方程为 ，把(2，1)代入 中，得b＝2，所以所求直线方程为x＋2y－4＝0.综上所述，直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 【思路点拨】　本题主要考查利用待定系数法求直线的方程、横截距、纵截距． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题1．直线的倾斜角α的范围是(　　) A．0°≤α≤180° B．0°≤α≤180°(α≠90°) C．0°≤α<360° D．0°≤α<180° 【解析】 根据倾斜角的定义可得． 13 14 D 2．已知直线经过A(1，2)，B(a，0)两点，且倾斜角为 ，则a等于(　　) A．3 B．－3 C．2 D．不存在 【解析】 k＝ ＝－1，解得a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 3．经过原点，且倾斜角是直线y＝ ＋1的倾斜角的2倍的直线方程是(　　) A．y＝0 B．x＝0 C．y＝ D．y＝ 【解析】 设已知直线的倾斜角为α，则tan α＝ ，所以所求直线的斜率为tan 2α＝ .又因为过原点，所以直线方程为y＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 4．直线l过点(－3，4)，且倾斜角为150°，则直线l的一般式方程为(　　) A． B． C． D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 【解析】直线的斜率为tan 150°＝ ，∵过点(－3，4)，∴用点斜式方程可得y－4＝ (x＋3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．直线y＝3x－5在y轴上的截距是(　　) A．－5 B．5 C．3 D．－3 【解析】 令x＝0，得y＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 6．已知A(3，0)，B(3，4)，C(0，5)三点，则经过线段AB的中点与点C的直线方程是(　　) A．x－y－1＝0 B．x＋y＋5＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－5＝0 【解析】 线段AB的中点为D(3，2)，已知点C(0，5)，所以直线方程为x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 二、填空题7．直线3x＋ －3＝0的倾斜角为________． 【解析】 ∵k＝ ，∴tan α＝ ，∴α＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 120° 8．若直线的倾斜角为90°，且经过点(1，－2)，则直线方程为______________． 【解析】 ∵直线的倾斜角为90°，∴直线的斜率不存在．又∵经过点(1，－2)，∴直线方程为x－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x－1＝0 9．直线4x－3y－3＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 【解析】 ∵直线过点 ，(0，－1)，∴面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．若点A(1，2)，B(－2，3)，C(4，m)在同一条直线上，则m＝________． 【解析】 由题意，得kAB＝kAC，∴ ，解得m＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________． 2x－3y＝0或x－y－1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 当直线l经过原点，且在x轴和y轴上的截距相等且都等于0时，满足题意，此时直线又过点(3，2)，斜率为k＝ ，∴直线l的方程是y－2＝ (x－3)，即2x－3y＝0；当直线l不过原点时，设直线过点(a，0)，(0，－a)，此时直线l的斜率为k＝ ＝1.又∵过点A(3，2)，∴直线l的方程是y－2＝x－3，即x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．若k>0，b<0，则直线y＝kx＋b必不经过第________象限． 【解析】 ∵k>0，b<0，∴倾斜角为锐角，纵截距小于0，∴直线y＝kx＋b必不经过第二象限． 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题13．已知直线l与x轴、y轴分别相交于A(－2，0)，B(0，3)两点，求直线l的方程． 解：∵k＝ ， ∴直线l的方程为y＝ ＋3，即3x－2y＋6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．求经过定点P(2，3)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程． 解：当截距为0时，k＝ ， ∴直线l的方程为y＝ ，即3x－2y＝0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴直线l的方程为x＋y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 当截距不为0时，设纵、横截距均为a，则直线l的方程为 ，将(2，3)代入得a＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢谢观看！ $$