7.3 平面向量的内积课件-2024届高三中职数学一轮复习

第三节　平面向量的内积 第七章　平 面 向 量 第1页，共65页 1．两个向量夹角的概念 已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作 ＝a， ＝b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作________． 两个向量夹角的范围是0≤〈a，b〉≤π，即________(用区间法表示). 当〈a，b〉＝0时，a与b________； 当〈a，b〉＝π时，a与b________； 〈a，b〉 [0，π] 同向 反向 2 当〈a，b〉＝ 时，a与b________，记作________． 【注】　①判断两个向量的夹角依据是两向量要有共同的始点； ②0与向量a的夹角可以是0°～180°内的任意一个角． 垂直 a⊥b 3 2．向量内积的概念 两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积称为向量a与向量b的内积(或数量积)，记作a·b，即____________________． 【注】　①任何两个向量的内积是一个实数； ②零向量与任何向量的内积为________，即0·a＝________，a·0＝________． a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉 零 0 0 4 3．向量内积的重要应用 利用向量的内积可以计算向量的长度、两个非零向量的夹角及判断两个向量是否垂直． 设a，b是两个非零向量，则 (1)a·a＝|a|2，即|a|＝________． (2)cos 〈a，b〉＝________． 5 (3)a⊥b⇔________． (4)|ma＋nb|＝__________________＝______________________________． a·b＝0 6 4．向量内积的运算律 设a，b，c为任意的向量，λ为任意的实数． (1)交换律：a·b＝________． (2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________． (3)分配律：(a＋b)·c＝________． b·a a·(λb) a·c＋b·c λ(a·b) 7 5．用直角坐标计算向量的内积 在直角坐标系中，设向量a，b的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则a·b＝________．进而，有下列重要的结论： (1)向量的长度公式： 设向量a＝(x，y)，则|a|＝________． x1x2＋y1y2 8 (2)两向量垂直的公式： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔________⇔_____________． (3)两向量的夹角公式： 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉 ＝____________________． a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 9 ①〈a，b〉为锐角⇔________⇔____________________． ②〈a，b〉为钝角⇔________⇔____________________． ③〈a，b〉为0°⇔________________________． ④〈a，b〉为180°⇔_______________________． a·b>0 x1x2＋y1y2>0且x1y2≠x2y1 a·b<0 x1x2＋y1y2<0且x1y2≠x2y1 x1y2＝x2y1且x1x2＞0(y1y2>0) x1y2＝x2y1且x1x2＜0(y1y2<0) 10 (4)两向量线性运算的长度： 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|ma＋nb|＝____________________________． 这部分内容是向量部分最重要的考查点，可以综合反映学生运用向量知识的能力，试题呈现灵活性和综合性． 11 6．内积的变形公式 (1)(a±b)2＝________________． (2)(a＋b)·(a－b)＝________＝________. (3)a·b≤________. |a|2±2a·b＋|b|2 a2－b2 |a|2－|b|2　 |a|·|b| 12 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型1】 平面向量垂直问题【例1】　(2020年河北省对口升学考试试题)向量a＝(3，2)，b＝(m－1，2m＋1)，若a与b相互垂直，则m＝________． 【解析】　本题考查平面向量垂直的判断，利用a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，可得3(m－1)＋2(2m＋1)＝0，可得m＝ . 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练1】　已知a·c＝6，b·c＝2，且(a＋kb)⊥c，则k＝________． 【思路点拨】　本题主要考查平面向量的垂直判断． －3 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型2】 平面向量垂直、平行问题同时考查【例2】　(2017年河北省对口升学考试试题)已知向量a＝(－2，x)，b＝(y，－1)，c＝(－4，2)，且a⊥b，b∥c，则(　　) A．x＝4，y＝－2 B．x＝4，y＝2 C．x＝－4，y＝－2 D．x＝－4，y＝2 D 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　本题重点考查求两向量互相平行及互相垂直的公式．∵b∥c，∴2y＝(－1)×(－4)，解得y＝2.∵a⊥b，∴－2×2＋x×(－1)＝0，解得x＝－4.故选D. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练2】　设向量a＝(1，0)，b＝ ，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 C 【思路点拨】本题重点考查求两向量互相平行及互相垂直的公式． 【解析】 |a|＝1，|b|＝ ，故A错误；a·b＝ ，故B错误；显然a与b不共线，故D错误；a－b＝(1，0)－ ，(a－b)·b＝ ＝0，∴a－b与b垂直．故选C. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型3】 平面向量内积公式应用一【例3】　(2021年河北省对口升学考试试题)已知向量a＝(－1，1)，b＝(0，－1)，则〈a，b〉＝(　　) A． B． C． D． D 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　cos 〈a，b〉＝ .∵〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练3】　若向量a＝(0， )，b＝(1，1)，则〈a，b〉＝________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】　本题重点考查向量内积公式． 【解析】 a·b＝0×1＋ ，|a|＝ ，|b|＝ .∵cos 〈a，b〉＝ ，∴〈a，b〉＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型4】 平面向量内积公式应用二【例4】　(2019年河北省对口升学考试试题)若|a|＝4，a·b＝4，〈a，b〉＝ ，则|b|＝________． 2 【解析】　本题重点考查向量内积公式，向量内积公式有两个向量模长、夹角、内积值四个量，学会知三求一．∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，∴4|b|cos ＝4，解得|b|＝2. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练4】　若a·b＝－4，且|a|＝ ，|b|＝ ，则〈a，b〉＝________． 【思路点拨】　本题主要考查向量内积公式和求两向量夹角的公式． 【解析】 由向量内积定义的变形公式，得cos 〈a，b〉＝ ＝－1，即〈a，b〉＝π. π 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型5】 平面向量内积公式与解三角形结合的问题【例5】　(2016年河北省对口升学考试试题)在△ABC中，若C＝90°，|AC|＝3，|BC|＝4，则 ＝________． 【解析】　本题重点考查求两向量互相垂直的公式及解三角形等知识点．∵C＝90°，∴ 0 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练5】　在△ABC中，若C＝60°，|AC|＝8，|BC|＝5，则 ＝________． 【思路点拨】　本题重点考查求两向量互相内积的公式及解三角形等知识点． 20 【解析】 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型6】 向量坐标运算求向量模的问题【例6】　(2017年河北省对口升学考试试题)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－2)，则|a－2b|＝________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　本题重点考查用向量坐标运算求向量模的公式．(解法一)由题意，得a·b＝2×3＋1×(－2)＝4，|a|＝ ，|b|＝ ，∴|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝5－4×4＋4×13＝41，∴|a－2b|＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 (解法二)由题意，得a－2b＝(2，1)－2(3，－2)＝(－4，5)，∴|a－2b|＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练6】　已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－1)，求：(1)a·b；(2)3a－2b；(3)|3a－2b|. 解：(1)a·b＝1×2＋2×(－1)＝0. (2)3a－2b＝3(1，2)－2(2，－1)＝(－1，8). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】本题重点考查用向量坐标运算求向量内积，坐标，模的公式． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 (3)|3a－2b|＝ 【题型7】 利用向量内积的性质求向量的模【例7】　已知|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，则|a＋2b|等于(　　) A．6 B．36 C．－9 D． 　 A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　本题重点考查向量内积的性质，|a|2＝a·a.【解析】　∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝6×3×cos 120°＝－9，|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝62＋4×(－9)＋4×32＝36，∴|a＋2b|＝6.故选A. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练7】　已知向量|a|＝4，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，求：(1)a·b；(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)|2a－b|. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 解：(1)a·b＝4×2×cos 120°＝－4. (2)(a－2b)·(a＋b)＝a·a－a·b－2b·b＝42－(－4)－2×22＝12. (3)|2a－b|＝ ＝ ＝ ＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【思路点拨】本题重点考查向量内积的性质和内积的变形公式 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【题型8】 向量夹角公式应用问题【例8】　已知向量a＝(－3，x)，b＝(－5，2)，且a与b的夹角为锐角，则x的取值范围是(　　) A． B． C． D． A 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【解析】　本题主要考查求两向量夹角公式的应用．∵〈a，b〉为锐角，∴a·b＞0且a与b不共线，即(－3)×(－5)＋2x＞0且(－3)×2≠－5x，解得x> 且x≠ . ∴x的取值范围是 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 【变式训练8】　已知向量a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________． 【思路点拨】　〈a，b〉为钝角⇔x1x2＋y1y2<0且x1y2≠x2y1. 【解析】 ∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＜0，且a与b不共线，即－3λ＋2×5＜0且5λ≠2×(－3)，解得λ> . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 例6 变6 例7 变7 例8 变8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题1．已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　) A．12 B． C．6 D． 【解析】 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3×4×cos 60°＝6.故选C. 13 14 15 16-26 C 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，且a⊥b，则2a＋3b＝(　　) A．(－2，－4) B．(－4，7) C．(－4，－8) D．(－5，－10) 【解析】 ∵a⊥b，∴x1x2＋y1y2＝0，即1×(－2)＋2×y＝0，解得y＝1，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，1)＝(－4，7).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 B 3．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则〈a，b〉＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 【解析】 ∵cos 〈a，b〉＝ ，∴〈a，b〉＝120°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 D 4．在▱ABCD中，若∠DAB＝30°，| |＝ ，| |＝1，则| |＝(　　) A． B．2 C．1 D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 A 【解析】 ∵ 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 5．已知平面向量a＝(－1， )，b＝ ，且a⊥b，则x的值为(　　) A． B．2 C． D．－2 【解析】 ∵a⊥b，∴(－1)× ＝0，解得x＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 A 6．已知向量a＝(－1，3)，b＝(－3，－1)，则a与b的关系是(　　) A．方向相同 B．方向相反 C．相等 D．垂直 【解析】 ∵x1y2－x2y1＝(－1)×(－1)－3×(－3)＝10，∴a与b不共线，故排除A、B.又∵x1x2＋y1y2＝－1×(－3)＋3×(－1)＝0，∴a与b垂直．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 D 7．已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，且(ka＋b)⊥(2a－b)，则k＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 ka＋b＝(－k＋2，3k－1)，2a－b＝(－4，7).∵(ka＋b)⊥(2a－b)，∴(－k＋2)×(－4)＋(3k－1)×7＝0，解得k＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 D 8．已知向量a＝(－1，3)，a与b垂直，且|a|＝|b|，则b的坐标为(　　) A．(－1，3) B．(3，－1) C．(3，1)或(－3，－1) D．(－3，1)或(3，－1) 【解析】 令b＝(x，y)，∵a与b垂直，∴－x＋3y＝0，又∵|a|＝|b|，∴x2＋y2＝10，∴b＝(3，1)或(－3，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 C 9．在边长为3的等边三角形ABC中， 的值是(　　) A． B． C．－6 D．6 【解析】 　 ＝－|BA|·|BC|cos 60°＝－3×3× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 A 10．已知a，b均为单位向量，它们的夹角是60°，那么|a－2b|＝(　　) A．3 B． C．4 D．2 【解析】 a·b＝|a||b|cos 60°＝1×1× ，|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝3，∴|a－2b|＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 B 11．在△ABC中，若 ＝m， ＝n，m·n＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解析】 m·n＝ ＝0，∴∠B＝90°，△ABC为直角三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 A 12．若a·b≥0，则〈a，b〉的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】 〈a，b〉为锐角，或0度角时a·b>0，直角时a·b＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 B 二、填空题13．设向量a＝(2，－1)，向量b与a共线且方向相反，|b|＝ ，则b＝________． 【解析】 设b＝λa＝(2λ，－λ)，则|b|＝ ，λ2＝4，又因为b与a方向相反，所以λ＝－2，b＝(－4，2). (－4，2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 14．在平行四边形ABCD中，| |＝3，| |＝2，则 ＝________． －5 【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 15．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，|AC|＝3，则 ＝________． 【解析】 (解法一) ·cos ∠BAC＝|AC||AC|＝3×3＝9.(解法二) .∵∠C＝90°，∴ ＝0，∴ ＝9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-26 16．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝45°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________． 【解析】 ∵a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉＝2×3×cos 45°＝ ，∴(2a－b)·(a＋3b)＝2a·a＋5a·b－3b·b＝2|a|2＋5× －3|b|2＝ －19. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 17．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，则|a－b|＝________． 【解析】 ∵a⊥b，∴x1x2＋y1y2＝0，即1×x＋2×4＝0，解得x＝－8.∴a－b＝(9，－2)，∴|a－b|＝ . 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 18．已知向量a＝(－5，12)，b＝(sin α，cos α)，且a⊥b，则tan α＝________． 【解析】 ∵a⊥b，∴－5sin α＋12cos α＝0，∴ ＝tan α. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 19．(2016年河北省对口升学考试试题)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________． 【解析】 ∵a⊥b，∴x×1＋(x＋1)×2＝0，解得x＝ . 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 20．(2021年河北省对口升学考试试题)设向量a＝(sin α，cos α)，b＝(sin β，cos β)，且a·b＝ ，则cos (α－β)＝________． 【解析】 ∵a·b＝sin αsin β＋cos αcos β＝ ，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝ . 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 21．与(4，－3)共线且同向的单位向量为____________． 【解析】 共线向量有两个，因为同向，所以要取坐标的符号相同的． 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 三、解答题22．已知向量a＝(x，4x)，b＝(－3x，4)，且a，b的夹角为钝角，求实数x的取值范围． 解：∵〈a，b〉为钝角，∴ ∴x的取值范围是 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 23．已知点A(5，3)，B(8，0)，C(2，0)，则△ABC是什么三角形？ 解：由题意可得， ＝(3，－3)， ＝(－3，－3)， ＝(－6，0)， ∴△ABC为等腰直角三角形． ∵ ＝0，| |＝| |＝ ， 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2)，求：(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b垂直？(2)当k为何值时，ka－b与a＋2b平行？ 解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)， ∴ka－b＝k(1，2)－(－3，2)＝(k＋3，2k－2)， a＋2b＝(1，2)＋2(－3，2)＝(－5，6). 又∵ka－b与a＋2b垂直， 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (2)∵ka－b与a＋2b平行， ∴－5(k＋3)＋6(2k－2)＝0，解得k＝ . ∴－5(2k－2)＝6(k＋3)，解得k＝ . 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 25．在△ABC中， ＝(1，3)， ＝(2，k)且∠ABC＝90°，求k的值． 解： ＝(1，k－3)， ＝(－1，－3). ∵∠ABC＝90°，∴ ＝－1－3(k－3)＝0， ∴k＝ . 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26．已知|a|＝3，|b|＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)(2a－b)·(a＋b)；(2)|a＋2b|. (1)(2a－b)·(a＋b)＝2a·a＋2a·b－b·a－b·b＝2|a|2－|b|2＋a·b＝2×9－16－6＝－4. 解：a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4× ＝－6. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (2)∵|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝9＋4×16＋4×(－6)＝49， ∴|a＋2b|＝7. 1-15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 谢谢观看！ $$