7.2 平面向量的坐标表示课件-2024届高三中职数学一轮复习

第二节　平面向量的坐标表示 第七章　平 面 向 量 第1页，共65页 1．平面向量的坐标 在平面直角坐标系中，设x轴的单位向量为i，y轴的单位向量为j，对于任一平面向量a，都存在一对有序实数(x，y)，使得a＝________，则有序实数对(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y). xi＋yj 2 【注】　①i＝________，j＝________，0＝________； ②平面上取定直角坐标系后，两个向量相等，则它们的坐标相等．如果a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a＝b，那么________________； (1，0) (0，1) (0，0) a1＝b1且a2＝b2 3 ③起点为原点O，终点为P的向量 称为定位向量，它的坐标等于终点P的坐标，这个结论将向量的坐标与点的坐标联系起来．若点A的坐标为(a1，a2)，则 的坐标为________； ④任意向量 的坐标等于其终点B的坐标减去起点A的坐标，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量 的坐标为______________． (a1，a2) (x2－x1，y2－y1) 4 2．平面向量的线性运算的坐标表示 设向量a，b在平面直角坐标系中的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 (1)a＋b的坐标为________________； (2)a－b的坐标为________________； (3)λa的坐标为__________________． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 5 【注】　利用向量的坐标可以将向量的运算转化为“对应”的坐标进行运算． 6 3．共线向量的坐标表示 对于非零向量a，b，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔________．(内乘＝外乘) 【注】　若向量a，b的两个坐标均不为零时，也可以用a∥b ⇔ 或________(与斜率相等联系记忆)来解题． 对这部分知识的考查以基础类型为主，与后面知识结合较多． x1y2＝x2y1 7 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型1】 共线向量的坐标表示【例1】　(2019年河北省对口升学考试试题) 设向量a＝(4，2)，b＝(x，1)，且a∥b，则x等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　本题考查共线向量的坐标表示．∵a∥b，∴根据2x＝4×1可得x＝2.故选A. A 【变式训练1】　设向量a＝(－1，x)，b＝(1，2)，且a∥b，则2a－3b等于(　　) A．(5，10) B．(－5，－10) C．(10，5) D．(－10，－5) B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　本题考查共线向量的坐标表示、向量的坐标运算等知识点．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的充要条件是x1y2＝x2y1. 【解析】 ∵a∥b，∴根据x×1＝－1×2可知，－1×2－x＝0，解得x＝－2，∴a＝(－1，－2)，∴2a－3b＝2(－1，－2)－3(1，2)＝(－5，－10).故选B. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型2】 平面向量线性运算的坐标表示【例2】　(2008年河北省对口升学考试试题)已知A(2，1)， B(－3，－2)两点，且 ，则点M的坐标为________． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题考查向量共线及向量的坐标运算．设点M的坐标为(x，y)， ＝(－3，－2)－(2，1)＝(－5，－3).∵ ，∴(x，y)－(2，1)＝ (－5，－3)，∴(x，y)＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练2】　已知A(－2，1)，B(3，7)两点，且 ，则点P的坐标是________． 【思路点拨】　本题考查向量共线及向量的坐标运算． 【解析】 设P(x，y)，∵ ，∴2(x，y)－2(－2，1)＝(3，7)－(x，y)，∴(x，y)＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型3】 图形坐标与共线向量、线性运算法则的坐标表示【例3】　已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则顶点D的坐标为(　　) A．(－6，0) B．(6，0) C．(2，2) D．(－2，－2) C 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题重点考查向量减法、数乘向量的直角坐标运算及向量相等与坐标相等的关系．(解法一)设点D的坐标为(x，y)，则 ＝(－1，3)－(－2，1)＝(1，2)， ＝(3－x，4－y). ∵ ，∴ 解得 ∴点D的坐标为(2，2).故选C. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 (解法二) ＝(－1，3)－(－2，1)＝(1，2)，∵ 且 ，∴ ＝(1，2)，∴(3，4)－ ＝(1，2)， ＝(3，4)－(1，2)＝(2，2)，∴点D的坐标为(2，2). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练3】　在梯形ABCD中，已知 ，且三个顶点分别为A(－1，1)，B(1，1)，C(2，－2)，则点D的坐标为___________． (－2，－2) 【解析】 设D(x，y)，则 ＝(1，1)－(－1，1)＝(2，0). ∵ ，∴(2，－2)－(x，y)＝2(2，0)，解得(x，y)＝(－2，－2)，∴点D的坐标为(－2，－2). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　本题重点考查任意向量坐标求法、数乘向量的直角坐标运算、向量相等与坐标相等的关系． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型4】 向量坐标的线性运算【例4】　已知a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(－3，5)，则向量c用a，b线性表示为________________． c＝－3a＋5b 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题重点考查数乘向量的直角坐标运算及向量线性表示．设c＝ma＋nb，则(－3，5)＝m(1，0)＋n(0，1)＝(m，n)， ∴ 即c＝－3a＋5b. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练4】　已知a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(8，3)，则向量c用a，b线性表示为____________． 【思路点拨】　本题重点考查数乘向量的直角坐标运算及向量线性表示． 【解析】 设c＝ma＋nb，则(8，3)＝m(1，3)＋n(－2，1)＝(m－ 2n，3m＋n)，∴ 解得 即c＝2a－3b. c＝2a－3b 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型5】 向量线性运算等价于实数对【例5】　已知a＋b＝(－5，3)，a－b＝(3，7)，求a，b的坐标． 【答案】　a＝(－1，5)，b＝(－4，－2) 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题重点考查数乘向量线性运算，运算方法等价于实数运算． ∵ ∴两式相加，消去b，得2a＝(－2，10)，故a＝(－1，5)，b＝(－4，－2). 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练5】　已知3a＋b＝(－2，3)，a－2b＝(1，8)，求a，b的坐标． 【思路点拨】本题重点考查数乘向量线性运算，运算方法等价于实数运算． 解： 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 一、选择题1．已知向量a＝(－3，2)与向量b＝(6，λ)共线，则λ的值为(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 【解析】 ∵a与b共线，∴根据x1y2＝x2y1可知2×6＝－3λ，解得λ＝－4.故选D. D 2．已知向量a＝(x，5)，b＝(2，－2)，且a＋b与a共线，则(　　) A．x＝5 B．x＝－5 C．x＝ D．x不存在 【解析】 ∵a＋b＝(x，5)＋(2，－2)＝(x＋2，3)，a＝(x，5)，且a＋b与a共线，∴3x＝5(x＋2)，解得x＝－5.故选B. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 3．下列各组向量中，共线的一组是(　　) A．a＝(3，2)，b＝(－2，3) B．a＝(3，2)，b＝(－6，4) C．a＝( ，2)，b＝(3， ) D．a＝(4，5)，b＝(5，4) 【解析】 C项满足x1y2＝x2y1，即 ；其他选项均不满足． C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 4．已知向量 ＝(3，－4)，则与向量 同向的单位向量为(　　) A． B． C． D． 【解析】 与向量 同向的向量为 ，且λ>0.A项可解出λ＝ . A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 5．已知向量 ＝(－2，3)， ＝(－1，0)，则 的坐标为(　　) A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(－1，－3) 【解析】 ＝(－2，3)－(－1，0)＝(－1，3). C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 6．已知A(－2，1)，B(0，－5)两点，且 ，则点M的坐标为(　　) A．(2，－5) B．(2，－11) C．(4，－1) D．(－4，3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 【解析】 设M(x，y)，则 ＝(0，－5)－(x，y).∵ ，∴(x，y)－(－2，1)＝－2(0，－5)＋2(x，y)，∴(x，y)＝2(0，－5)－(－2，1)＝(0，－10)－(－2，1)＝(2，－11). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 7．若e1，e2是不共线的非零向量，且λe1＋μe2＝0，则必有(　　) A．λ＝0或μ＝0 B．λ＝0且μ＝0 C．λ＋μ＝0 D．λ＝μ 【解析】 若e1，e2是不共线的非零向量，且λe1＋μe2＝0，则λ＝0且μ＝0. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 二、填空题8．若P(1，2)，Q(3，8)，R(m，－10)三点共线，则m＝________． 【解析】 ∵P，Q，R三点共线，∴ ∥ .∵ ＝(3，8)－(1，2)＝(2，6)， ＝(m，－10)－(1，2)＝(m－1，－12)， ∴根据向量共线条件，得6(m－1)＝－24，解得m＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 9．已知点A(－1，3)， ＝(6，－2)，则点B的坐标为________． 【解析】 设B(x，y)，由向量的坐标表示可得，(x，y)－(－1，3)＝(6，－2)，解得(x，y)＝(5，1). (5，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 10．已知向量a＝(4，x－7)，b＝(3x，6)是共线向量，则x＝________． 【解析】 共线向量满足x1y2＝x2y1，即4×6＝(x－7)×3x，得x＝8或－1. 8或－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 11．已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－6)，c＝(－5，16)，且向量c用a，b表示为c＝xa＋yb，则x＝________，y＝________． 【解析】 由题意，得 解得 2 －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-21 12．已知平行四边形ABCD的顶点为A(－2，－1)，B(1，2)，C(4，3)，则顶点D的坐标为________． 【解析】 在平行四边形ABCD中， .设D(x，y)，则(1，2)－(－2，－1)＝(4，3)－(x，y)，∴ 解得 (1，0) 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13．已知向量a＝(3，4)，b＝(sin α，cos α)，且a与b平行，则tan α＝________． 【解析】 ∵a与b平行，∴3cos α＝4sin α，∴tan α＝ 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14．若向量a＝(－3，x)与b＝(－x，4)共线且方向相同，则x＝________． 【解析】 ∵a与b平行，∴－x2＝－12，x2＝12，x＝± ，∵a与b方向相同，∴x＝ . 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15．已知A(1，6)，B(9，0)，C(13，－3)， ，则λ＝________． 【解析】 　 ＝(8，－6)， ＝(4，－3)， ，即(8，－6)＝λ(4，－3)，解得λ＝2. 2 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16．已知平面上的三点分别为A(3，－7)，B(2，5)，C(－2，－6)，D为BC中点，则向量 的坐标为________． 【解析】 Dx＝ ＝0，Dy＝ ，∴D 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17. 表示________________________． 与向量b同向的单位向量 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18．与向量b＝(5，12)共线的单位向量为________________． 【解析】 与已知向量共线的单位向量有两个，同向和反向． 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19．设向量a＝(2，－1)，若向量b与a共线且同向，b的模为 ，则b＝________． 【解析】 令b＝λa＝λ(2，－1)＝(2λ，－λ)，则|b|＝ ，所以λ＝±2，又因为a与b同向，所以λ＝2，b＝(4，－2). (4，－2) 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 三、解答题20．已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，4)，且ka＋b与b－a共线，求实数k的值． 解：由题意，得ka＋b＝(2k＋3，－k＋4)，b－a＝(1，5). ∵ka＋b与b－a共线，∴5(2k＋3)－(－k＋4)＝0，解得k＝－1. 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21．已知向量a＝(cos α，－1)，b＝(sin α，2)，且a与b平行，求 的值． 解：∵a与b平行， ∴2cos α＝－sin α，∴tan α＝－2， ∴ 1-11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 谢谢观看！ $$