6.2 任意角的三角函数课件-2024届高三中职数学一轮复习

第二节　任意角的三角函数 第六章　三 角 函 数 第1页，共65页 1．任意角的三角函数的定义 如图6－2－1所示，设角α是平面直角坐标系中的一个任意角，点P(x，y)为角α终边上的一点，点P到原点的距离为r＝________，则角α的 正弦、余弦、正切分别定义为sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． 图6－2－1 2 2．三角函数的定义域 (1)y＝sin x，定义域为________． (2)y＝cos x，定义域为________． (3)y＝tan x，定义域为________________． R R 3 3．单位圆 (1)单位圆：如图6－2－2所示，________________________________的圆称为单位圆． (2)角α的终边与单位圆的交点坐标是______________． 以原点为圆心，单位长度为半径 图6－2－2 P(cos α，sin α) 4 4．特殊角的三角函数值(见表6－2－1所列) 表6－2－1 α 0 π 2π sin α cos α tan α — — 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 －1 －1 1 －1 5 5．三角函数值的符号 三角函数值的符号取决于角α所在的象限，因为r>0，所以由三角函数定义知：sin α，cos α的符号分别取决于终边上点P的纵坐标y和横坐标x的正负，tan α的符号取决于x，y同号还是异号．各个象限内sin α，cos α，tan α的正负情况如图6－2－3所示． 6 图6－2－3 7 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 8 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型1】 三角函数值的符号 【例1】　(2017年河北省对口升学考试试题)若α为第三象限角，则点P(sin α，tan α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 【解析】　∵α为第三象限角，∴sin α<0，tan α>0，∴点P(sin α，tan α)在第二象限． 【变式训练1】　若象限角α满足sin α>0，cos α<0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B 【解析】 由sin α>0可知，α为第一象限角或第二象限角；又由cos α<0可知，角α为第二象限角或第三象限角．综上可知α是第二象限角． 【思路点拨】 本题考查三角函数在各象限内的符号． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型2】 三角函数的定义 【例2】　已知角θ的终边经过点P(－3m，4m)，且m<0，则sin θ的值是(　　) A． B． C． D． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　(解法一)利用三角函数的定义求解．由题意可知，r＝ ＝5|m|.由于m<0，所以r＝－5m.由正弦函数的定义，得sin θ＝ .(解法二)特殊值法．令m＝－1，则P(3，－4)，r＝5，故sin θ＝ . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练2】　已知角α的终边在直线y＝ x上，则cos α等于(　　) A． B． C． D． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】 在角α的终边上任取一点P (x≠0)，则r＝ .由余弦函数的定义，得cos α＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　本题考查的是任意角的三角函数的定义，在角α的终边即直线y＝ x上取点P时，应对坐标的符号进行分类讨论． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【例3】　若角α的终边经过点P(m，－6)，且cos α＝ ，则m的值是(　　) A．8 B．－8 C．1 D．－1 A 【解析】　由三角函数的定义知cos α＝ ，又∵cos α＝ ，∴ ，解得m＝8. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练3】　已知点P(16，－k)在角α的终边上，且sin α＝ ，则k的值是(　　) A．12 B．－12 C．8 D．－8 A 【解析】 由三角函数的定义知sin α＝ ，又∵sin α＝ ，∴ ，解得k＝12. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】　本题考查的是任意角的三角函数定义，用待定系数法表示出已知条件中给出的函数值． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型3】 单位圆 【例4】　若角α的终边经过点P(－3，4)，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A． B． C． D． B 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【解析】　本题考查的是角的终边与单位圆的交点(cos α，sin α). 由任意角的三角函数定义，得cos α＝ ，sin α＝ ， ∴角α的终边与单位圆的交点是(cos α，sin α)，即 . 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练4】　已知α＝ ，求角α的终边与单位圆的交点P的坐标． 又∵角的终边与单位圆的交点是(cos α，sin α)， 解：由特殊角的三角函数值知，cos ，sin ， ∴角α的终边与单位圆的交点P的坐标是 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【思路点拨】 以角的终边与单位圆的交点坐标(cos α，sin α)为切入点，结合特殊角的三角函数值求解． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【题型4】 特殊三角函数值 【例5】　计算： 【解析】　熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．原式＝ 【答案】 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 【变式训练5】　计算： ＋cosπ. 【思路点拨】 根据特殊角的三角函数值进行求解． 解：原式＝ 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4 例5 变5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题1．角α终边过点P(－5，12)，则sin α＋cos α－tan α＝(　　) A． B． C． D． C 【解析】 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ，∴sin α＋cos α－tan α＝ . 13 14 2．若α是第二象限角，点M(n，3)在角α的终边上，且sin α＝ ，则n等于(　　) A．3 B．－4 C．4 D．－3 【解析】 根据三角函数定义，点M(n，3)在角α的终边上，且sin α＝ ，则r＝ ＝5，解得n＝±4，由于α是第二象限角，故n＝－4. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．下列各式中，不正确的是(　　) A．sin >0 B．tan >0 C．cos <0 D．tan 2.2>0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】 ∵ ，∴ 为第一象限角，sin >0，故A正确； 为第三象限角，∴ >0，故B正确； 为第二象限角，∴cos <0，故C正确；2.2弧度是第二象限角，tan 2.2<0，故D不正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．若象限角α满足sin α·tan α<0，则α为(　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【解析】 由于象限角α满足sin α·tan α<0，则sin α和tan α异号，根据各象限角三角函数值的正负号，可知α为第二或第三象限角． B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．已知角θ终边上一点P(－3m，4m)(m>0)，则cos θ＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 r＝ ＝5|m|，因为m>0，所以r＝5m，cos θ＝ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6． ＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 A 【解析】 原式＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．若角α的终边在y轴的负半轴上，则sin α＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D． 【解析】 因为角α的终边与单位圆的交点坐标为(0，－1)，所以sin α＝－1. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于0的是(　　) A． B． C．sin (π＋α) D．cos (π＋α) 【解析】 因为角α的终边在第二象限，则sin α＞0，cos α＜0，故sin ＝cos α＜0，cos ＝－sin α＜0，sin (π＋α)＝－sin α＜0，cos (π＋α)＝－cos α＞0. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、填空题9．使得lg (cos α·sin α)有意义的角α是第________象限角． 【解析】 由题意可知，cos α·sin α>0，∴cos α和sin α同号，∴角α是第一或三象限角． 一或三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．若角α的终边在射线y＝－x(x≤0)上，则cos α＝________． 【解析】 在射线y＝－x(x≤0)上取一点P(－1，1)，则r＝ ，所以cos α＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．若 ＝－2，则x是第________象限角． 【解析】 ∵ ＝－2，∴角x一定满足sin x<0，cosx>0，∴x是第四象限角． 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．计算： ＋4tan 0＝________． 【解析】 原式＝5×1＋1 ×(－1)＋4×0＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、解答题13．已知α为第二象限角，点P(m，8)在角α的终边上，且|OP|＝10，求cos α和tan α的值． ∴m2＝36. 解：∵OP＝ ＝10， 又∵α为第二象限角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴m＝－6， ∴cos α＝ ， tan α＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．已知角α的终边过点P(8x，－15x)(x≠0)，求sin α－cos α的值． ①当x>0时，r＝17x， 解：r＝ ＝17|x|. sin α＝ ， cos α＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ②当x<0时，r＝－17x， ∴sin α－cos α＝ sin α＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cos α＝ ， ∴sin α－cos α＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢谢观看！ $$