第四单元：比（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

比 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【比的意义】 比的含义：两个数相除，也叫两个数的比． 【比的性质】 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质． 【求比值和化简比】 1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数． 2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比． （1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数． （2）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简． （3）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式． 【比与分数、除法的关系】 1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商． 2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算． 【比的应用】 1．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 2．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 典例分析 【典例1】一辆客车和一辆小轿车从相距约450km的南阳和武汉两地同时出发，相向而行，2.5小时后相遇。已知客车的速度与小轿车的速度比是4∶5，客车和小轿车的速度分别是多少？ 【答案】客车的速度是80km/h，小轿车的速度是100km/h 【思路分析】根据“速度＝路程÷时间”，用南阳和武汉的距离除以两车的相遇时间，就是两车的速度之和。把两车的速度之和除以（4＋5），先用除法求出1份是多少，再用乘法分别求出4份、5份各是多少，即客车、小轿车的速度各是多少。 【详解】450÷2.5÷（4＋5） ＝180÷9 ＝20（km/h） 20×4＝80（km/h） 20×5＝100（km/h） 答：客车的速度是80km/h，小轿车的速度是100km/h。 【名师点评】此题是考查比的意义及应用。除按上述解答方法外，在求出两车的速度之和后，也可把比转化成分数（客车、小轿车的速度各占两车速度和的几分之几），再根据分数乘法的意义解答。 【典例2】学校举行六年级美术作品征集比赛。六（1）班提交了48件作品，六（2）班提交的作品比六（1）班多，六（3）班和六（2）班提交的作品件数比是5∶6。 （1）六（2）班提交了多少件作品？ （2）六（3）班提交了多少件作品？ 【答案】（1）60件； （2）50件 【思路分析】（1）把六（1）班提交作品的数量看作单位“1”，六（2）班提交作品的数量占六（1）班的（1＋），最后用乘法求出六（2）班提交作品的数量； （2）根据六（2）班提交作品的数量求出比中每份的量，再乘六（3）班提交作品的数量占的份数，据此解答。 【详解】（1）48×（1＋） ＝48× ＝60（件） 答：六（2）班提交了60件作品。 （2）60÷6×5 ＝10×5 ＝50（件） 答：六（3）班提交了50件作品。 【名师点评】已知一个数，求比这个数多（少）几分之几的数是多少用乘法计算。 【典例3】甲乙两地的距离是800km。一辆货车和一辆客车同时从甲乙两地相对开出，两车经过5小时相遇。已知货车和客车的速度比是2∶3，客车的速度是多少千米/时？（用方程解答） 【答案】96千米/时 【思路分析】根据货车和客车的速度比是2∶3，设货车的速度是2x千米/时，客车的速度是3x千米/时；等量关系：（货车的速度＋客车的速度）×相遇时间＝全程，据此列出方程，并求解，进而求出客车的速度。 【详解】解：设货车的速度是2x千米/时，客车的速度是3x千米/时。 （2x＋3x）×5＝800 5x×5＝800 25x＝800 25x÷25＝800÷25 x＝32 客车的速度：32×3＝96（千米/时） 答：客车的速度是96千米/时。 【名师点评】掌握相遇问题中的速度和、相遇时间、路程之间的关系是解题的关键。 【典例4】资料室打印一份稿件。第一天打印全部稿件的，第二天比第一天多打印了60页，这时已打印的页数与剩下的比是7∶8，这份稿件一共有多少页？ 【答案】450页 【思路分析】已打印的页数与未打印的页数比是7∶8，把全书平均分成（7＋8）份，则已打印的7份是全书的；第二天比第一天多打印了60页，则第二天打印的页数＝全部稿件的＋60页，这60页是全部稿件的（－－），全部稿件的页数＝60页÷（－－）。 【详解】60÷（－－） ＝60÷ ＝450（页） 答：这份稿件一共有450页。 【名师点评】本题考查比的应用，明确已打印的页数占总页数的分率是解题的关键。 【典例5】小汽车与货车同时从甲、乙两地相对开出，当货车行了全程的时，小汽车行了全程的少10千米，这时已行的路程与剩下路程的比是3∶5。甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】560千米 【思路分析】把甲、乙两地的距离看作单位“1”，小汽车和货车已行了全程的（＋）少10千米，由“已行的路程与剩下路程的比是3∶5”可知，两车已行了全程的，由此可知，10千米占全程的（＋－），根据分数除法的意义，用10千米除以（＋－），就是甲、乙两地的距离。 【详解】10÷（＋－） ＝10÷（＋－） ＝10÷（＋－） ＝10÷ ＝10×56 ＝560（千米） 答：甲、乙两地相距560千米。 【名师点评】解答此题的关键是弄清10千米占全程的几分之几，然后根据分数除法的意义即可解答。 高频考题 1．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 2．学校体育室有200副羽毛球拍，准备把其中的借给高年级同学，剩下的按3∶2借给中、低年级同学。高年级、中年级、低年级各借了多少副羽毛球拍？ 3．有60千克盐水，其中盐与水的比是3∶17，现在要提高盐水的浓度，使盐占盐水的20%，有以下两种方法：A．再增加一些盐；B．蒸发掉一些水。请你选择一种方法并计算出这种方法需要增加多少千克盐或蒸发掉多少千克的水？ 4．起初哥哥和弟弟的花生数目之比是2∶3，弟弟把6颗花生送给哥哥，结果现在哥哥和弟弟的花生数目之比是4∶5。问起初哥哥有花生多少颗？ 5．甲、乙两人都从A地去B地，他们的速度比为3∶2，当甲行了11千米时，乙行了5.5千米，当甲到达B地时，乙离B地还有的路程。AB两地相距多少千米？ 6．甲、乙两袋糖的重量比是，从甲袋中取出280克放入乙袋后，这时甲、乙两袋糖的重量比是。那么这两袋糖共重多少克？ 7．有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 8．甲、乙两港相距320千米，客、货两船同时从两港相向而行，8小时后两船相遇。已知货船的速度与客船速度的比是3∶5，求客船每小时航行多少千米？ 9．A、B两袋糖的质量比是4∶1，从A袋中取出1.3千克糖放入B袋，这时A、B两袋糖的质量比是7∶5，A、B两袋糖原来各重多少千克？ 10．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，在图中C点相遇，C点距中点60米。如图所示，甲从C点到B点所需时间是乙从B点到C点所需时间的，A、B两地相距多少米？ 11．某小区住户接种新冠肺炎疫苗，已接种的人数与未接种的人数比是3∶7。如果再接种260人，已接种的人数占小区总人数的，这个小区共有多少人？ 12．甲、乙二人分别开私家小轿车同时从A地出发前往B地春游。已知当甲走了全程的时，乙离B地还有60千米；当甲再走剩下路程的一半时，乙正好走到AB的中点（全程中，甲、乙速度均不变）。 （1）A、B两地相距多少千米？ （2）若甲用1小时跑完全程，则乙跑完全程的速度是多少？ 13．师徒二人同时合作加工一批零件，全部完成一共用了6小时。已知徒弟与师傅加工零件的个数比是3∶8，如果师傅平均每小时加工120个零件，那么徒弟平均每小时加工多少个零件？ 14．某工程队修一条路，3天后已修的路程与剩下的路程的比是，如果再修560米，已修的路程正好是全程的。问这条路要修多少米？ 15．植树节，实验小学组织三、四、五年级部分同学去植树，共向园林公司购买了120棵树苗。参加植树的学生中三年级有70人、四年级80人、五年级90人按人数分配，每个年级分别要植树多少棵？ 16．“货拉拉”运一堆货物。第一天运了全部的，第二天运的与原来总数的比是2∶3，已知第一天比第二天少运30吨，这堆货物共多少吨？ 17．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是4∶3，把甲车间职工的调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多2人，原来甲、乙两车间各有职工多少人？ 18．水果店运来的西瓜和哈密瓜的个数比是7∶5，如果每天卖哈密瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完哈密瓜时，西瓜还剩36个，水果店运来了多少个西瓜？ 19．客车和货车同时从、两地相向开出，经过4小时相遇，相遇时客车比货车少行60千米，客车和货车的速度的比是。、两地之间的路程是多少千米？ 20．甲、乙两地相距900千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，5小时相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4，客车平均每小时行多少千米？ 21．甲、乙两车分别从A、B两城相对开出。甲车2小时行驶了160千米，甲、乙车的速度比是4∶3，两车行驶了4.2小时相遇。A、B两城相距多少千米？ 22．中欧班列的开通对“一带一路”建设起着促进作用。一列中欧班列运输的货物中，水果有36吨，水果和日用品的比是3∶5，请提出一个数学问题并解答。你提出的数学问题是什么？ 23．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，4小时相遇，相遇时，甲、乙两车所行的路程比是3∶4，已知乙车每小时行120千米，A、B两地相距多少千米？ 24．甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度比是8∶5，两人相遇后继续行进，甲到达B地、乙到达A地后立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点120千米，则A、B两地相距多少千米？ 25．一个果园，种桃树的面积占果园总面积的，种李子树的面积是2.5公顷，余下的地种樱桃树。已知种桃树和李子树的总面积与种樱桃树的面积的比是7︰5，种樱桃树的面积是多少公顷？ 26．我国自主研发的和谐号动车组、复兴号高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比是5∶7∶12，复兴号高铁动车比和谐号动车组每小时多行100千米，高速磁悬浮列车每小时行多少千米？ 27．工厂加工一批零件，第一天完成的零件个数与未完成的零件个数的比是2∶5，如果再加工300个，就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个？ 28．某校在课后服务时段开展花样跳绳活动，六年级上月参加花样跳绳的和全年级人数的人数比是3∶8，本周又有15人参加，这时参加的人数是全年人数的，该六年级一共有多少人？ 29．刘老师从银行取了1100元钱，有100元和50元两种面值的，其中面值100元的张数与面值50元张数的比是3∶5。两种面值的人民币各有多少张？（用方程解） 30．施工队给一段公路铺草沙，三天铺完，第一天与第二天铺的长度比是4∶5，第三天铺了全长的，已知第一天比第二天少铺500米，这段公路全长多少米？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．648立方厘米 【思路分析】先用“”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的体积是648立方厘米。 【名师点评】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。 2．高年级80副；中年级72副；低年级48副 【思路分析】先把羽毛球拍的总数看作单位“1”，其中的借给高年级同学，根据求一个数的几分之几是多少，用羽毛球拍的总数乘，即可求出高年级借羽毛球拍的数量； 再用总数减去高年级借的羽毛球拍数量，即是剩下的羽毛球拍数量，按3∶2借给中、低年级同学，即中年级借的占3份，低年级借的占2份，一共占（3＋2）份；用剩下的羽毛球拍数量除以（3＋2）份，求出一份数，再用一份数分别乘3、2，即可求出中、低年级借的数量。 【详解】高年级： 200×＝80（副） 一份数： （200－80）÷（3＋2） ＝120÷5 ＝24（副） 中年级：24×3＝72（副） 低年级：24×2＝48（副） 答：高年级借了80副，中年级借了72副，低年级借了48副。 【名师点评】本题考查分数乘法的应用以及比的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，先根据分数乘法的意义求出高年级借的数量；再把中、低年级借的数量比看作份数，求出一份数是求出中、低年级借羽毛球拍数量的关键。 3．选择A方法的话，应该加盐3.75千克 【思路分析】先用盐水的千克数乘盐占的分率，得出盐的千克数，选择方法A，设加盐x千克，根据等量关系：原来盐的千克数＋加入盐的千克数＝（盐水的千克数＋加入盐的千克数）×盐占盐水的百分率，列方程解答即可。 【详解】盐：60×＝9（千克） 选择方法A， 解：设加盐x千克， 9＋x＝（60＋x）×20% 9＋x＝12＋0.2x 9＋x－0.2x＝12＋0.2x－0.2x 9＋0.8x＝12 9＋0.8x－9＝12－9 0.8x＝3 0.8x÷0.8＝3÷0.8 x＝3.75 答：选择A方法的话，应该加盐3.75千克。 【名师点评】本题主要考查了比的应用，注意方程的应用。 4．54颗 【思路分析】由题意可知，设哥哥原来有2x颗花生，弟弟有3x颗花生，再根据弟弟把6颗花生送给哥哥，结果现在哥哥和弟弟的花生数目之比是4∶5，也就是哥哥原来的花生数量＋6∶弟弟原来的花生数量－6＝4∶5，据此列比例解答即可。 【详解】解：设哥哥原来有2x颗花生，弟弟有3x颗花生。 （2x＋6）∶（3x－6）＝4∶5 5×（2x＋6）＝4×（3x－6） 10x＋30＝12x－24 10x＋30－10x＝12x－24－10x 2x－24＝30 2x－24＋24＝30＋24 2x＝54 2x÷2＝54÷2 x＝27 2×27＝54（颗） 答：起初哥哥有花生54颗。 【名师点评】本题考查用比例解决实际问题，明确比例关系是解题的关键。 5．44千米 【思路分析】根据题意，甲、乙两人的速度比为3∶2，当两人用的时间相同时，甲、乙两人的路程比等于速度比3∶2，即甲走的路程是乙路程的；先求出乙行了5.5千米的时间，甲行了5.5×＝8.25千米，而实际甲行了11千米，说明甲比乙先行11－8.25＝2.75千米； 又已知当甲到达B地时，乙离B地还有的路程，把全程看作单位“1”，则乙行了全程的（1－），而甲行的路程是乙的，所以甲行了全程的（1－）×＝；那么甲先行的路程占全程的（1－），单位“1”未知，用甲先行的路程除以（1－），即可求出AB两地的距离。 【详解】当乙行了5.5千米时，甲只能行： 5.5×＝8.25（千米） 所以甲比乙先行：11－8.25＝2.75（千米） 当乙离B地还有的路程时，甲行了全程的： （1－）× ＝× ＝ 全程： 2.75÷（1－） ＝2.75÷ ＝2.75×16 ＝44（千米） 答：AB两地相距44千米。 【名师点评】本题考查分数除法的实际应用，先把比转化成分数，明确时间相同时，两人的路程比等于他们的速度比；分析出甲先行的路程占全程的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。 6．1800克 【思路分析】由“甲、乙两袋糖的重量比是5∶4”可知甲占总数的，由“这时甲、乙两袋糖的重量比是2∶3”可知后来甲占总数的，少了（－），就是因为从甲袋中取出280克糖放入乙袋的缘故，即甲少了280千克，因此280千克占总数的（－），那么两袋糖一共重280÷（－），据此解决问题。 【详解】280÷（－） ＝280÷ ＝1800（克） 答：两袋糖一共重1800克。 【名师点评】此题解答的关键在于求出后来甲少了总数的几分之几，也就找出了280克的对应分率，进而解决问题。 7．丙帮助甲3小时，帮助乙5小时 【思路分析】把一个仓库的工作量看作单位“1”，根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时”可知，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是；三人同时搬运，合作工作效率是（＋＋）； 又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的工作总量是“2”；先看成两个仓库的货物三人合作完成，根据“合作工作时间＝工作总量÷合作工作效率”，求出三人同时搬运2个仓库需要的时间； 根据“工作量＝工作效率×工作时间”，求出合作工作时间内甲在A仓库的工作量，再用“1”减去甲在A仓库的工作量，剩下的就是丙在A仓库的工作量，除以丙的工作效率，即可求出丙在A仓库的搬运时间，用合作工作时间减去丙在A仓库的搬运时间，就是丙在B仓库的搬运时间。 【详解】2个仓库三人合作工作时间： 2÷（＋＋） ＝2÷（＋＋） ＝2÷ ＝2×4 ＝8（小时） 丙在A仓库的工作时间： （1－×8）÷ ＝（1－）÷ ＝×15 ＝3（小时） 丙在B仓库的搬运时间： 8－3＝5（小时） 答：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时。 【名师点评】本题考查复杂的工程问题，掌握工作效率、工作时间，工作量之间的关系是解题的关键。 8．25千米 【思路分析】设客船每小时航行x千米，则货船每小时航行x千米；然后根据甲、乙两港距离＝速度和×行驶时间，列出方程即能求出客船每小时航行多少千米。 【详解】解：设客船每小时航行x千米。 （x＋x）×8＝320 x＝40 x＝25 答：客船每小时航行25千米。 【名师点评】解答此题的关键是找出关系式：甲、乙两港距离＝速度和×行的时间。 9．A重4.8千克，B重1.2千克 【思路分析】根据题意，A、B两袋糖的总质量不变，把A、B两袋糖的总质量看作单位“1”；原来A、B两袋糖的质量比是4∶1，即原来A袋糖的质量占两袋糖总质量的；后来A、B两袋糖的质量比是7∶5，即后来A袋糖的质量占两袋糖总质量的；那么A袋糖前后的质量相差1.3千克，占两袋糖总质量的（－），单位“1”未知，用A袋糖前后的质量差除以（－），即可求出两袋糖的总质量； 因为原来A袋糖的质量占两袋糖总质量的，单位“1”已知，用两袋糖的总质量乘，即可求出原来A袋糖的质量；最后用两袋糖的总质量减去原来A袋糖的质量，求出原来B袋糖的质量。 【详解】A、B两袋糖的总质量： （千克） A袋糖的质量： （千克） B袋糖的质量： 6－4.8＝1.2（千克） 答：A袋糖原来重4.8千克，B袋糖原来重1.2千克。 【名师点评】先把比转化为分数，找出单位“1”，分析出1.3千克对应的分率，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。 10．440米 【思路分析】把A、B两地之间的总路程看作单位“1”，在C点相遇时，甲比乙多行驶了（60×2）米，行驶BC这段路程时，甲需要的时间∶乙需要的时间＝4∶7，那么相同时间内，甲行驶的路程∶乙行驶的路程＝7∶4，相遇时甲行了全程的，乙行了全程的，根据“量÷对应的分率”求出两地之间的总路程，据此解答。 【详解】（60×2）÷（－） ＝120÷ ＝440（米） 答：A、B两地相距440米。 【名师点评】本题主要考查分数除法的应用，根据甲、乙两人的时间比求出两人行驶的路程比是解答题目的关键。 11．1800人 【思路分析】根据已接种的人数与未接种的人数比可知，已接种的人数占该小区总人数的，再接种260人，已接种的人数占该小区总人数的，260人占该小区总人数的（－），根据分数除法的意义，用260人除以（－）就是这个小区的人数。 【详解】260÷（－） ＝260÷（－） ＝260÷（－） ＝260÷ ＝1800（人） 答：这个小区共有1800人。 【名师点评】此题的解题关键是把比转化成分数，进而求出260人占总人数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。 12．（1）80千米； （2）60千米/时 【思路分析】（1）把A、B两地之间的总路程看作单位“1”，第一次甲走了全程的时，还剩下全程的（1－），第二次走了（1－）的，计算可知甲第二次也走了全程的，甲、乙速度均不变，则乙两次走的路程也相等，乙两次正好走了全程的，那么乙第一次走了全程的（×），还剩下全程的（1－×），刚好是60千米，最后根据“量÷对应的分率”求出总路程； （2）相同时间内，甲走了全程的时，乙走了全程的（×），求出两人的路程比，速度比等于路程比，根据“速度＝路程÷时间”求出甲的速度，再根据甲乙的速度比求出乙的速度，据此解答。 【详解】 （1）甲第一次走的路程占全程的分率： 甲第二次走的路程占全程的分率：（1－）× ＝× ＝ 全程中，甲、乙速度均不变，甲两次走的路程相等，则乙两次走的路程也相等，乙两次走了全程的。 60÷（1－×） ＝60÷（1－） ＝60÷ ＝80（千米） 答：A、B两地相距80千米。 （2）分析可知，甲的速度∶乙的速度＝∶（×）＝∶＝（×12）∶（×12）＝4∶3 甲车速度：80÷1＝80（千米/时） 乙车速度：80÷4×3 ＝20×3 ＝60（千米/时） 答：乙跑完全程的速度是60千米/时。 【名师点评】本题属于比较复杂的分数除法应用题，分析出乙车第一次行驶的路程占全程的分率并求出甲乙两车的速度比是解答题目的关键。 13．45个 【思路分析】因为徒弟与师傅加工零件的个数比是3∶8，即徒弟加工零件的个数是师傅的，首先根据：工作量＝工作效率×工作时间，用师傅平均每小时加工零件的数量乘6，求出师傅6小时加工的零件个数是多少；把师傅加工零件的个数看作单位“1”，然后用它乘，求出徒弟6小时加工零件多少个，再求平均每小时加工多少个零件即可。 【详解】120×6×÷6 ＝720×÷6 ＝270÷6 ＝45（个） 答：徒弟平均每小时加工45个零件。 【名师点评】此题主要考查了工程问题的应用，除了要把握工作总量、工效、工时三者间的关系，还要对比的意义有所理解，能够将师徒二人的工作总量的比转化为分率，从而求解。 14．1600米 【思路分析】设这条路要修x米，则3天共修了这条路的，然后根据等量关系：3天修的路程＋560＝全程的，据此列方程解答即可。 【详解】解：设这条路要修x米。 x＋560＝x x －x＝560 x＝560 x＝1600 答：这条路要修1600米。 【名师点评】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 15．35棵；40棵；45棵 【思路分析】根据题意，先求出三、四、五年级的学生总人数，再分别求出各年级的学生人数分别占总人数的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。 【详解】70＋80＋90 =150＋90 ＝240（人） 120×＝35（棵） 120×＝40（棵） 120×＝45（棵） 答：三年级要植35棵，四年级要植40棵，五年级要植45棵。 【名师点评】此题属于简单的按比例分配问题，解答规律是：先求出总份数，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义解答。 16．60吨 【思路分析】把这堆货物的总数看作单位“1”，第二天运的与原来总数的比是2∶3，即第二天运的占总数的；已知第一天比第二天少运30吨，占总数的（－），单位“1”未知，用第一天比第二天少运的吨数除以（－），即可求出这堆货物的总数。 【详解】30÷（－） ＝30÷（－） ＝30÷ ＝30×2 ＝60（吨） 答：这堆货物共60吨。 【名师点评】把比转化成分数，分析出30吨占总数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。 17．甲：24人；乙：18人 【思路分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间职工人数占总人数的，乙车间职工人数占总人数的；因为把甲车间职工的调入乙车间，甲车间职工人数的就是：×＝； 此时，甲车间职工人数占总人数的（－），乙车间职工人数占总人数的（＋）；又已知乙车间职工比甲车间多2人，则2人对应的分率应是乙车间职工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，可列式为：2÷[（＋）－（－）]，求得的结果是甲乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数的分率，可得到原来甲、乙两车间各有职工多少人。 【详解】4÷（4＋3） ＝4÷7 ＝ 3÷（4＋3） ＝3÷7 ＝ ×＝ 2÷[（＋）－（－）] ＝2÷[－] ＝2÷ ＝42（人） 42×＝24（人） 42×＝18（人） 答：原来甲车间有职工24人，乙车间有职工18人。 【名师点评】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式前，要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。 18．336个 【思路分析】设x天后，哈密瓜卖完了，西瓜还剩36个，根据等量关系：（每天卖出西瓜的个数×天数＋36个）∶（每天卖出哈密瓜的个数×天数）＝7∶5，列方程解答可得天数，再根据西瓜的个数＝每天卖出西瓜的个数×天数＋36个解答即可。 【详解】解：设x天后，哈密瓜卖完了，西瓜还剩36个， （50x＋36）∶40x＝7∶5 7×40x＝5×（50x＋36） 280x＝250x＋180 280x－250x＝250x＋180－250x 30x＝180 30x÷30＝180÷30 x＝6 50×6＋36 ＝300＋36 ＝336（个） 答：水果店运来了336个西瓜。 【名师点评】本题考查了比的应用，关键是根据等量关系列方程。 19．360千米 【思路分析】速度比＝路程比，用相遇时客车比货车少行的距离÷份数差，求出一份数，一份数×总份数＝总路程，据此列式解答。 【详解】60÷（7－5）×（7＋5） ＝60÷2×12 ＝360（千米） 答：、两地之间的路程是360千米。 【名师点评】关键是理解比的意义，两数相除又叫两个数的比。 20．100千米 【思路分析】根据速度和＝路程和÷相遇时间，即可求出两车的速度和，已知客车和货车的速度比是5∶4，把客车的速度看作5份，货车的速度看作4份，用速度和除以总份数即可得每份是多少，进而算出5份是多少，即客车的速度。 【详解】900÷5＝180（千米/时） 180÷（5＋4）×5 ＝180÷9×5 ＝20×5 ＝100（千米/时） 答：客车平均每小时行100千米。 【名师点评】本题主要考查了相遇问题和比的应用。 21．588千米 【思路分析】首先根据路程÷时间＝速度，用160除以甲车的时间2小时，求出甲车的速度；然后把两车的速度分别看作4份和3份，用甲车的速度除以4再乘3求出乙车的速度，再用两车的速度之和乘两车的相遇时间即可解答。 【详解】160÷2＝80（千米/时） 80÷4×3 ＝60（千米/时） （80＋60）×4.2 ＝140×4.2 ＝588（千米） 答：A、B两城相距588千米。 【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，解答此题的关键是求出两车的速度之和是多少。 22．日用品有多少吨？60吨 【思路分析】已知水果的吨数以及水果和日用品的比，求出日用品的吨数，根据水果的吨数和水果在比中的份数求出每份对应的吨数，日用品的吨数＝每份对应的吨数×日用品所占的份数，据此解答。 【详解】一列中欧班列运输的货物中，水果有36吨，水果和日用品的比是3∶5，日用品有多少吨？ 36÷3×5 ＝12×5 ＝60（吨） 答：日用品有60吨。 【名师点评】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 23．840千米 【思路分析】设A、B两地相距x千米，则乙车行驶的路程是x千米，由题意可知，乙车行驶的时间是4小时，根据路程÷速度＝时间，据此列方程即可。 【详解】解：A、B两地相距x千米，则乙车行驶的路程是x千米。 x÷120＝4 x＝480 x＝840 答：A、B两地相距840千米。 【名师点评】本题考查用方程解决实际问题，明确乙车行驶的路程是解题的关键。 24．260千米 【思路分析】根据甲乙的速度比为8∶5；第一次相遇时，知道两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的，第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的×3，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的2－×3，再根据两人两次相遇地点之间相距120千米，可以求出两地的距离。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（千米） 答：则A、B两地相距260千米。 【名师点评】解答此题的关键是，根据速度比，找出两人两次相遇地点之间相距120千米所对应的分数，由此用对应的数除以对应的分数就是单位“1”即要求的数。 25．5公顷 【思路分析】根据题意，把果园的总面积看作单位“1”，已知种桃树和李子树的总面积与种樱桃树的面积的比是7∶5，那么种桃树和李子树的总面积就占果园总面积的，种樱桃树的面积就占果园总面积的，种李子树的面积就占果园总面积的（－），它对应的面积是2.5公顷，据此用除法计算求出果园总面积，再乘种樱桃树的面积所占的分率即可求出种樱桃树的面积是多少公顷。 【详解】2.5÷（－）× ＝2.5÷× ＝5（公顷） 答：种樱桃树的面积是5公顷。 【名师点评】本题主要考查比的实际应用，解答本题的关键是求出三种果树种植面积各自占果园总面积的分率。 26．600千米 【思路分析】复兴号高铁动车比和谐号动车组每小时多行2份，多行100千米，用除法求出1份是多少千米，再用乘法求出12份，即高速磁悬浮列车每小时行的千米数。 【详解】100÷（7－5）×12 ＝100÷2×12 ＝50×12 ＝600（千米） 答：高速磁悬浮列车每小时行600千米。 【名师点评】关键是根据和谐号动车组，复兴号高铁动车组和高速磁悬浮列车的速度比，求出复兴号高铁动车比和谐号动车组每小时多行的份数，进而求出1份的份数，再求出7份的份数。 27．1400个 【思路分析】把这批零件的个数看作单位“1”，第一天加工了这批零件的，再加300个，就是这批零件的，根据分数除法的意义，用300个除以（－），就是这批零件的个数。 【详解】300÷（－） ＝300÷（－） ＝300÷ ＝1400（个） 答：这批零件共有1400个。 【名师点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出300个占这批零件个数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。 28．240人 【思路分析】我们把六年级全体学生的人数看作单位“1”，找出15名学生所占六年级学生的分率，用15除以所占的分率就是六年级全体同学的人数。 【详解】15÷（－） ＝15÷ ＝240（人） 答：该六年级一共有240人。 【名师点评】本题是一道分数四则复合应用题，只要弄清单位“1”，找出已知数对应的分率，问题就迎刃而解了。 29．100元的6张；50元的10张 【思路分析】由题意可知，面值100元的张数是面值50元张数的，把面值50元的张数设为未知数，面值100元的张数＝面值50元的张数×，等量关系式：面值100元的总钱数＋面值50元的总钱数＝1100元，据此列方程解答。 【详解】解：设面值50元的有x张，则面值100元的有x张。 50x＋x×100＝1100 50x＋60x＝1100 110x＝1100 x＝1100÷110 x＝10 10×＝6（张） 答：100元面值的人民币有6张，50元面值的人民币有10张。 【名师点评】本题主要考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系式是解答题目的关键。 30．6000米 【思路分析】第一天比第二天少铺500米，少修（5－4）份，先用除法求出1份的米数，再用乘法求出（4＋5）份的米数，即前两天已修的米数。把这段公路全长看作单位“1”，前两天修的米数占全长的（1－），根据分数除法的意义，即可解答。 【详解】5－4＝1（份） 500÷1＝500（米） 500×（5＋4） ＝500×9 ＝4500（米） 4500÷（1－） ＝4500÷ ＝4500× ＝6000（米） 答：这段公路全长6000米。 【名师点评】此题考查的是工程问题的计算，应先求出前两天已修的米数，进而求出前两天修的米数占全长的几分之几，再根据分数除法的意义解答。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$