第三单元：分数除法（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

分数除法 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【分数除法】 1、意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算． 2、分数除法的运算性质： （1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数． （2）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来． （3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数． （4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数． （5）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘． 【倒数的认识】 1、定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2、注意事项：0没有倒数． 【分数方程求解】 1、分数方程求解步骤： （1）、去分母：当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。 （2）、去括号：在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。 （3）、移项：通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。 （4）、合并同类项：对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。 （5）、系数化为1：合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。 【分数的四则混合运算】 1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。 2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。 3、方法总结： （1）、如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 （2）、如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算； （3）、如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。 【分数除法应用题】 1、常见题型： （1）、求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少． 解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数． （2）、甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙． 甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）． 关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数． 解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量． 【简单的工程问题】 1、含义：探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题． 解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式． 2、数量关系式： （1）、工作总量＝工作效率×工作时间 （2）、工作时间＝工作总量÷工作效率 （3）、工作效率＝工作总量÷工作时间 （4）、合作时间＝工作总量÷工作效率和 典例分析 【典例1】小明家到学校3.5千米，通常他总是步行上学，有一天他想锻炼，前的路程快跑，速度是步行速度的4倍，后一段路程慢跑，速度是步行速度的2倍，这样比平时早35分到校，小明步行的速度是多少？ 【答案】3.5千米/时 【思路分析】行的路程用的时间是原来总时间的：；行余下的路程：，速度是步行的2倍，说明用的时间是原来总时间的：，35分钟相当于平时总时间的：；所以小明步行上学需要：（分钟）。 【详解】 ＝ ＝ （分钟）＝1（小时） 3.5÷1＝3.5（千米/时） 答：小明步行的速度为3.5千米/时。 【名师点评】本题考查路程、速度和时间，求出35分钟相当于平时总时间的几分之几是解题的关键。 【典例2】甲车从A城市到B城市要行驶4小时，乙车从B城市到A城市要行驶6小时。乙车从B城出发1小时后，甲车从A城市出发，还要几小时甲乙两车相遇？ 【答案】2小时 【思路分析】把从A地到B地的距离看作单位“1”，则甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的，乙车先出发1小时，那么两车共行了总路程的（1－），然后除以两车的速度和即可。 【详解】（1－）÷（＋） ＝÷（＋） ＝ ＝2（小时） 答：还要2小时甲乙两车相遇。 【名师点评】本题考查了相遇问题，关键是求出共行的路程和速度和。 【典例3】乡村振兴要修建一条水渠。甲工程队独修要9天完成，乙工程队独修要6天完成。现由甲工程队先修3天后，剩下的由乙工程队独修，乙队还要修几天完成任务？ 【答案】4天 【思路分析】把修这条水渠的工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，用甲队的工作效率乘工作时间，可以计算出甲工程队3天完成的工作量，再用工作总量减去甲工程队3天完成的工作量，可以计算出剩余的工作量，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率，计算出乙队还要修几天完成任务。 【详解】（1－×3）÷ ＝ ＝ ＝4（天） 答：乙队还要修4天完成任务。 【名师点评】本题解题关键是把修这条水渠的工作总量看作单位“1”，根据工作总量、工作效率、工作时间之间的关系，列式计算。 【典例4】共享单车作为一种低碳、时尚、绿色的出行方式，俨然成为市民出行的“新宠”。某公司在A社区投放共享单车324辆，比B社区少，该公司在B社区投放共享单车多少辆？ 【答案】486辆 【思路分析】把B社区投放共享单车的辆数看作单位“1”，在A社区投放共享单车324辆是B社区的（1－），用除法计算即可得该公司在B社区投放共享单车多少辆。 【详解】324÷（1－） ＝324÷ ＝486（辆） 答：该公司在B社区投放共享单车486辆。 【名师点评】本题主要考查了分数除法应用题，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【典例5】甲车和乙车同时从A、B两地出发相向而行，甲车行完全程需要6小时，乙车每小时行全程的，两车按各自的速度行驶3小时后，两车还相距60千米，A、B两地全程是多少千米？ 【答案】480千米 【思路分析】用3小时除以6小时，求出甲车3小时后行驶了全程的几分之几。用乘3，求出乙车3小时后行驶了全程的几分之几。将全程看作单位“1”，用单位“1”减去甲、乙各行驶了全程的几分之几，求出两车3小时后相距的60千米占全程的几分之几。最后，利用除法求出全程有多少千米。 【详解】60÷（1－3÷6－×3） ＝60÷（1－－） ＝60÷ ＝480（千米） 答：A、B两地全程是480千米。 【名师点评】本题考查了分数除法和行程问题。已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 高频考题 1．一列轿车和一列货车同时从甲地和乙地相对开出，4小时后相遇。相遇点距甲乙两地的中点的距离占全程的。已知轿车每小时比货车多行70千米，求甲乙两地之间的距离。 2．一项工程甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，现他们合做若干天后，剩下的由乙单独做3天才能完成，甲、乙合做了多少天？ 3．一个居民小区计划用40名工人两周完成宽带的安装任务，工人做了2天后，安装公司为了赶工期，又增加了20名工人，若每名工人的工作效率相同，这个小区安装宽带任务可以提前几天完成？ 4．加工一批零件，甲、乙两人合作需要8天完成，如果由乙独做需12天完成。两人开始合作一段时间后，乙离开另有任务，余下的工作由甲来完成，又用了3天，两人合作几天？ 5．朝阳农场收获一批蔬菜，如果用小汽车运输，12次才能运完；如果用大卡车运输，需要运6次；如果两辆车一起运，多少次才能运完？ 6．一壶油，第一次倒出，然后加入60克，第二次倒出壶中油的，第三次倒出120克，壶中还剩下120克，原来壶中有多少油？ 7．一船往返于AB两地共用10小时，前5小时比后5小时多行80千米，顺流比逆流每小时多行20千米。问AB两地相距多少千米？ 8．一天晚上7点整停电，小明同时点燃长度相等的红、白两支蜡烛，已知红蜡烛可以燃5小时，白蜡烛可以燃4小时，当来电后小明同时吹灭两支蜡烛，发现红蜡烛剩下长度是白蜡烛剩下长度的4倍，请问晚上几时几分来的电？ 9．某工程，甲、乙两队合做，30天可以完成，今两队合做12天后剩下的由甲队独做，又做24天完成，问乙队独做全部工程需几天完成？ 10．建筑一条水泥路，甲队独做要12天，乙队独做要15天，乙队先独做工程的，剩下的再由甲、乙两队合做，剩下的还要多少天修完？ 11．育才小学五、六年级共有学生324人，五年级中男生占，六年级中男生占，两个年级的女生人数相等，两个年级各有多少人？ 12．图书角里有故事书和科技书共140本，其中故事书的本数是科技书的，图书角里的故事书和科技书各有多少本？（如图所示，先将图补充完整，再解答。） 科技书： 故事书： 13．甲、乙两个工程队合修一条水渠，乙队每天比甲队多修30米，如果甲队单独修10天完成，乙队单独修8天完成，这条水渠全长多少米？ 14．王强从家里骑摩托车到火车站赶乘火车，若每小时行30千米，则早到15分钟；若每小时行20千米，则迟到5分钟。如果打算提前到5分钟，那么摩托车的速度应是多少千米/小时？ 15．学校为了改善运动环境，修筑了一条塑胶跑道，实际造价21.6万元，比原计划的多0.6万元，原计划造价多少万元？（列方程解答） 16．一件工作，甲、乙合作需要4天完成，乙、丙合做需要5天完成。现在先请甲、丙合做2天后，余下的乙还需要做6天完成。乙单独做完这件工作需要多少天？ 17．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做12天完成，丙单独做15天完成。现在他们合作若干天后，甲中途有事离开，乙丙6天完成了余下的工作。问甲工作了几天？ 18．甲、乙、丙合作一批零件，6天可以完成任务，已知甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和，乙每天的工作效率等于甲、丙二人每天工作效率的和的一半。如果他们三人都单独做，各需多少天完成？ 19．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚。 （1）求汽车的速度； （2）求A、B两地之间的路程； （3）在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求BC之间的路程。 20．某项工程，由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付2208元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元，如果要求总工程款尽量少，应选择哪些工程队合作，每天需支付多少费用？ 21．自然界中有许多动物都需要冬眠，如熊、蛇、青蛙等。蛇的冬眠时间大约是180天，熊的冬眠时间大约是蛇的，又是青蛙冬眠时间的。青蛙的冬眠时间约是多少天？ 22．小明养成了喜欢读书的好习惯。妈妈给他买回一本课外书，第一天看了，第二天看了95页，第三天又看了，正好看完。这本书共有多少页？ 23．有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？ 24．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 25．果果和妈妈一起去超市，买洗漱用品花了总钱数的少100元，买小食品花了余下的多20元，又买了一个580元的饮水机，正好花完所带的钱，果果妈妈一共带了多少钱？ 26．“中国天眼”超越著名的美国天文望远镜阿雷西博，成为全球最大且最灵敏的射电望远镜，这意味着人类向宇宙未知地带探索的眼力更加深邃，眼界更加开阔。阿雷西博天文望远镜的直径为350米，比“中国天眼”的直径短，你能求出“中国天眼”的直径吗？ 27．加工一批零件，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，丙单独做需要20天，现由三人合作，途中甲有事停工几天，结果6天才将任务完成，甲停工几天？ 28．妈妈带的钱，如果买3件甲种商品还缺6元；如果买4件乙种商品还缺30元。已知乙种商品的单价是甲种商品的。问甲种商品的单价是多少元？ 29．六年级小语种选修班开课了。第一周参加日语班的男生比女生多10人，第二周参加日语班的男生比第一周少，参加日语班的女生比第一周多，第二周参加日语班课的男生和女生一共有59人，问第一周参加日语班学习的男生和女生各有多少人？ 30．加工一批零件，甲、乙两人合作1小时，完成了这批零件的，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了，甲、丙又合做2小时，完成了，剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要多少小时完成？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．1260千米 【思路分析】轿车每小时多行70千米，那么4小时多行（4×70）千米。相遇点距甲乙两地的中点的距离占全程的，说明轿车比货车多行的路程是全程的（×2）。将全程看作单位“1”，单位“1”未知，将轿车多行的路程除以对应的分率，求出总路程，即甲乙两地之间的距离。 【详解】4×70÷（×2） ＝280÷ ＝280× ＝1260（千米） 答：甲乙两地之间的距离是1260千米。 2．5天 【思路分析】将这项工程的工作量当作单位“1”，则甲、乙的工作效率分别、，则乙单独做3天能完成总工作量×3＝，其余的1－由他们合做完成，则根据工作量÷工作效率＝工作时间可知，甲、乙合做的天数为（1－）÷（）。 【详解】（1－×3）÷（） ＝（1－×3）÷（） ＝（1－×3）÷ ＝（1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ ＝5（天） 答：甲、乙合做了5天。 3．4天 【思路分析】两周等于14天，40名工人14天完成工作任务，每人可以完成总工作量的，又增加了20名工作，若每名工作的工作效率相同，则20名工人每天可以完成总任务的，用14天减去40名工人做的两天，再减去剩下的工作量60名工人所用的天数就是提前的天数。 【详解】每人每天完成工作量： 已完成的工作量： 增加20人后每天工作量： 还需天数： （天） 提前： （天） 答：可以提前4天完成任务。 【名师点评】本题考查工程问题，用工作量÷工作效率＝工作时间，据此解答。 4．7天 【思路分析】把零件总量看作单位“1”，根据工作效率和＝工作总量÷工作时间，用1÷8即可求出甲乙两人的工作效率和，用1÷12即可求出乙的工作效率，再用甲乙两人的工作效率和减去乙的工作效率，即可求出甲的工作效率，根据工作效率×工作时间＝工作总量，用甲的工作效率乘3天，即可求出甲3天的工作量，然后用1减去甲3天的工作量，即可求出两人合作的工作量，再用两人合作的工作量÷两人的工作效率和，即可求出两人合作的时间。 【详解】1÷8＝ 1÷12＝ －＝ ×3＝ 1－＝ ÷ ＝×8 ＝7（天） 答：两人合作7天。 5．4次 【思路分析】把这批蔬菜看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此分别求出小汽车的工作效率为，大卡车的工作效率为，再根据工作总量÷工作效率之和＝工作时间，据此进行计算即可。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝4（次） 答：如果两辆车一起运，4次才能运完。 【名师点评】本题考查工程问题，明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系是解题的关键。 6．720克 【思路分析】由于第二次倒出壶中油的，则壶中还有原来的1－＝，第三次倒出120克，壶中还剩下120克，则120＋120＝240克占第二次倒出前的，所以第二次倒出前，壶中共有油240÷＝600克，即第一次倒出，然后加入60克后，壶中此时有600克油，则600－60克占原来油的1－，所以原来有（600－60）÷（1－）克。 【详解】（120＋120）÷（1－） ＝240 ＝600（克） （600－60）÷（1－） ＝540÷ ＝720（克） 答：原来壶中有720克。 【名师点评】本题主要利用倒推法，首先根据所给条件求出第二次倒出前壶中的油是完成本题的关键。 7．240千米 【思路分析】先顺流行驶，之后逆流行驶，顺流行驶和逆流行驶的总距离相等，行驶的时间之和是10小时，顺流行驶比逆流行驶每小时多行20千米，则可以知道前5小时有一部分时间顺流行驶，有一部分时间逆流行驶，后5小时全部逆流行驶，前5小时比后5小时多行80千米，则顺流行驶时间：80÷20＝4（小时）。 【详解】顺流行驶时间：80÷20＝4（小时） 逆流行驶时间：10－4＝6（小时） 设全程为“1”，则顺流行驶速度为“”，逆流行驶速度为“” 20÷（－） ＝20÷ ＝20×12 ＝240（千米） 答：AB两地相距240千米。 【名师点评】此题的关键是求出顺流行驶的时间，然后用对应量÷对应分率＝单位“1”的量求出全程。 8．晚上10时45分 【思路分析】把蜡烛的长度看作单位“1”，设经过x小时两支，蜡烛同时熄灭，分别求出x小时后蜡烛剩余的长度，再依据红蜡烛所剩部分＝白蜡烛所剩部分×4，列方程求出蜡烛点燃的时间解答. 【详解】解：设经过x小时两支蜡烛同时熄灭。 1－x＝（1－x）×4 1－x＝4－x 1－x＋x＝4－x＋x 1＋x＝4 1＋x－1＝4－1 x＝3 x÷＝3÷ x＝3× x＝ 小时＝3小时45分 晚上7时＋3小时45分＝晚上10时45分 答：来电时是晚上10时45分。 【名师点评】解决本题的关键是求出经过多少小时两支蜡烛同时熄灭，这时红蜡烛所剩部分是白蜡烛所剩部分的4倍。 9．120天 【思路分析】设工作总量为单位“1”，则甲、乙两队合作的工作效率为1÷30＝，那么两队合作12天的工作量为12×＝，还剩下（1－）的工作量甲队用了24天完成，所以甲队的工作效率为（1－）÷24，继而算出乙队独做全部工程需几天完成。 【详解】1÷30＝ 两队合作12天的工作量为：12×＝ 甲队的工作效率为：（1－）÷24 ＝÷24 ＝× ＝ 乙队单独需要的天数：1÷（－） ＝1÷ ＝1×120 ＝120（天） 答：乙队独做全部工程需120天完成。 【名师点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再由已知条件回到问题即可解决问题。 10．6天 【思路分析】将这项工程看作单位“1”，由题意可知，甲队独做每天完成工程的，乙队独做每天完成工程的；用（1－）除以（＋），即可求出剩下的还要多少天修完。 【详解】1÷12＝ 1÷15＝ （1－）÷（＋） ＝÷ ＝× ＝6（天） 答：剩下的还要6天修完。 【名师点评】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系，工作时间＝工作总量÷工作效率。 11．五年级180人；六年级144人 【思路分析】根据“五、六年级共有学生324人”，设六年级有学生人，则五年级有学生（324－）人。根据“两个年级的女生人数相等”可得等量关系：六年级的学生人数×（1－）＝五年级的学生人数×（1－），据此列出方程，并求解。 【详解】解：设六年级有学生人，则五年级有学生（324－）人。 （1－）＝（1－）×（324－） ＝×（324－） ＝144－ ＋＝144－＋ ＝144 五年级：324－144＝180（人） 答：五年级有学生180人，六年级有学生144人。 【名师点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 12．图见详解；科技书有80本；故事书有60本。 【思路分析】根据题意，把科技书的本数看作单位“1”，有关系式：科技书的本数＋故事书的本数＝140本，根据已知数量占整体的分率，求单位“1”，用除法计算，求科技书的本数，进而求出故事书的本数。 【详解】如图： 140÷（1＋） ＝140÷ ＝140× ＝80（本） 140－80＝60（本） 答：科技书有80本，故事书有60本。 【名师点评】熟练掌握分数除法计算是解题的关键。 13．1200米 【思路分析】把工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，用乙队每天比甲队多修的长度除以甲乙两队的工作效率差，就可以计算出这条水渠全长多少米。 【详解】30÷（－） ＝30÷ ＝30×40 ＝1200（米） 答：这条水渠全长1200米。 【名师点评】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”，利用乙队每天比甲队多修的长度÷两队的工作效率差＝单位“1”的量，列式计算。 14．24千米/小时 【思路分析】15分钟＝小时，5分钟＝小时，根据速度×时间＝路程，设正常到火车站需要x小时，路程不变，列方程为30×（x－）＝20×（x＋），然后解出方程，求出正常到火车站需要的时间，进而求出王强家到火车站的距离，最后根据速度＝路程÷时间，用王强家到火车站的路程÷（正常到火车站需要的时间－）即可求出摩托车现在的速度。 【详解】15分钟＝小时 5分钟＝小时 解：设正常到火车站需要x小时。 30×（x－）＝20×（x＋） 30x－＝20x＋ 30x－20x＝＋ 30x－20x＝ 10x＝ x＝÷10 x＝× x＝ 20×（＋） ＝20×1 ＝20（千米） 20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝24（千米/小时） 答：摩托车的速度应是24千米/小时。 【名师点评】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 15．30万元 【详解】根据题意可知等量关系：原计划造价×＋0.6万元＝实际造价，设原计划造价x万元，列方程计算即可。 【解答】解：设原计划造价x万元。 x＋0.6＝21.6 x＝21.6－0.6 x＝21 x＝21÷ x＝21× x＝30 答：原计划造价30万元。 【名师点评】本题主要考查了分数除法的应用，关键是找等量关系再列方程解答。 16．20天 【思路分析】甲乙合作，每天完成，乙丙合作，每天完成，甲丙合作2天，乙再做6天，可以看作甲乙合作2天，乙丙合作2天，然后乙再单独做6－2－2＝2天完成，于是可求乙的工效。进而可求出其单独做所需的时间。 【详解】可以理解成甲乙先合作2天，乙丙再合作2天，乙单独做了6－2－2＝2（天） 并2天完成了： 1－×2－×2 ＝1－－ ＝ 所以乙单独做这件工作要：2÷＝20（天） 答：乙单独做这件工作要20天。 【名师点评】此题主要考查工作量、工作时间及工作效率之间的关系。关键是通过转化求出乙单独做的工作总量。 17．天 【思路分析】把这项工程的量看作单位“1”，先依据工作总量÷工作时间＝工作效率，求出甲、乙、丙的工作效率，乙丙6天完成了余下的工作，根据工作总量＝工作时间×工作效率，求出乙丙6天完成的工作量，用1减去乙丙6天完成的工作量，求出三人完成的工作量，再根据工作时间＝工作量÷三人工作效率和即可求出甲工作了几天。 【详解】1÷20＝ 1÷12＝ 1÷15＝ 1－6×（＋） ＝1－6×（＋） ＝1－6× ＝1－ ＝ ÷（＋＋） ＝÷（＋＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：甲工作了天。 【名师点评】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。 18．12天、18天、36天 【思路分析】由题意可知，甲乙丙工效为，由甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和可知：甲工效为÷2＝；又由乙每天的工作效率等于甲、丙二人每天工作效率的和的一半可知：乙工效＝（甲工效＋乙工效）×，甲工效－丙工效＝（甲工效＋丙工效）×。据此解答即可。 【详解】甲工效为：÷2＝ 乙工效＝（甲工效＋乙工效）× 甲工效－丙工效＝（甲工效＋丙工效）× 解：设丙的工效为x，则： 乙工效为： 甲：（天） 乙：（天） 丙：（天） 答：单独做，甲、乙、丙各需12天、18天、36天完成。 【名师点评】根据关系式，推出三人工作效率之间的关系，进而求得它们各自的工作效率，解决问题。 19．（1）44千米/小时；（2）40千米；（3）100千米 【思路分析】（1）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了（30＋70）分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了（70＋50）分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间＝路程和，速度差×追及时间＝路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为（x－4）×2＝（x＋4）×，然后解出方程即可求出汽车的速度。 （2）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程。 （3）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个AB之间的距离加上2个BC之间的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用（44＋4）×5即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去AB之间的距离，即可求出2个BC之间的距离，最后除以2，即可求出BC之间的距离。 【详解】（1）30＋70＝100（分钟） 100分钟＝小时 70＋50＝120（分钟） 120分钟＝2小时 解：设汽车的速度是x千米/小时。 （x－4）×2＝（x＋4）× 2x－8＝x＋ 2x＝x＋＋8 2x＝x＋ 2x－x＝ x＝ x＝÷ x＝×3 x＝44 答：汽车的速度是44千米/小时。 （2）（44－4）×2÷2 ＝40×2÷2 ＝40（千米） 答：A、B两地之间相距40千米。 （3）[（44＋4）×5－40]÷2 ＝[48×5－40]÷2 ＝[240－40]÷2 ＝200÷2 ＝100（千米） 答：BC之间的路程为100千米。 【名师点评】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程。 20．乙、丙队合作；640元 【思路分析】根据题意，用两队合作时每天需支付的费用除以天数，求出两队合作时每天需支付的费用，再相加，即是三队合作时每天需支付费用的2倍，除以2，即可求出三队合作时每天需支付的费用；然后比较大小，选择每天需支付费用最少的合作工程队。 【详解】甲、乙合作每天需支付： （元） 乙、丙合作每天需支付： （元） 甲、丙合作每天需支付： （元） 三队合作每天需支付： （元） 答：应选择乙、丙两队合作；每天需要支付640元。 【名师点评】本题考查分数除法的应用，求出两队合作时、三队合作时每天需支付的费用是解题的关键。 21．150天 【思路分析】先把蛇的冬眠天数看作单位“1”，熊的冬眠天数大约是蛇的，单位“1”已知，用蛇的冬眠天数乘，求出熊的冬眠天数；又已知熊的冬眠天数是青蛙冬眠天数的，再把青蛙的冬眠天数看作单位“1”，单位“1”未知，用熊的冬眠天数除以，求出青蛙的冬眠天数。 【详解】180×÷ ＝120÷ ＝120× ＝150（天） 答：青蛙的冬眠时间约是150天。 【名师点评】本题考查分数乘除法的应用，区分两个单位“1”的不同，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 22．150页 【思路分析】根据题意可知，小明读完这本书的过程可分为3部分，①第一天看了；②第二天看了95页；③第三天又看了。其中两部分用分率表示，一部分用具体数量表示。则可知这部分具体数量占单位“1”减去其中两部分的分率，再用具体数量除以对应的分率，就得到这本书共有多少页；可列式为95÷（1－－）。 【详解】95÷（1－－） ＝95÷（1－－） ＝95÷ ＝95× ＝150（页） 答：这本书共有150页。 【名师点评】本题是把整本书的页数看作单位“1”，明确单位“1”未知，用除法计算，且能够熟练计算出具体数量所对应的分率，是解题关键。 23．丙帮助甲3小时，帮助乙5小时 【思路分析】把一个仓库的工作量看作单位“1”，根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时”可知，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是；三人同时搬运，合作工作效率是（＋＋）； 又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的工作总量是“2”；先看成两个仓库的货物三人合作完成，根据“合作工作时间＝工作总量÷合作工作效率”，求出三人同时搬运2个仓库需要的时间； 根据“工作量＝工作效率×工作时间”，求出合作工作时间内甲在A仓库的工作量，再用“1”减去甲在A仓库的工作量，剩下的就是丙在A仓库的工作量，除以丙的工作效率，即可求出丙在A仓库的搬运时间，用合作工作时间减去丙在A仓库的搬运时间，就是丙在B仓库的搬运时间。 【详解】2个仓库三人合作工作时间： 2÷（＋＋） ＝2÷（＋＋） ＝2÷ ＝2×4 ＝8（小时） 丙在A仓库的工作时间： （1－×8）÷ ＝（1－）÷ ＝×15 ＝3（小时） 丙在B仓库的搬运时间： 8－3＝5（小时） 答：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时。 【名师点评】本题考查复杂的工程问题，掌握工作效率、工作时间，工作量之间的关系是解题的关键。 24．10天 【思路分析】先根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲队的工作效率和乙队的工作效率；再求出甲、乙合作4天完成的工作量；然后求出三队合修每天完成的工作量；最后用工作总量除以三队合修的工作效率和就是完成的工作时间，据此解答即可。 【详解】1÷24＝ 1÷30＝ ＝ ＝ ＝ 由分析可得： ＝ ＝ （天） 答：10天可以完成。 【名师点评】本题考查了工程问题的计算，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答问题。 25．1000元 【思路分析】先把用完总钱数的后剩下的钱数看作单位“1”，饮水机的钱数加上多出的20元刚好占单位“1”的（1－），根据“量÷对应的分率”求出用完总钱数的后剩下的钱数，再把妈妈一共带的钱数看作单位“1”，从剩下的钱数里面拿出100元给洗漱用品花的钱数，则（900－100）元占全部钱数的（1－），根据“量÷对应的分率”求出妈妈带的总钱数，据此解答。 【详解】 （580＋20）÷（1－） ＝600÷ ＝900（元） （900－100）÷（1－） ＝800÷ ＝1000（元） 答：果果妈妈一共带了1000元钱。 【名师点评】本题属于比较复杂的分数除法应用题，两个分数的单位“1”不相同，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 26．500米 【思路分析】根据题意，阿雷西博天文望远镜的直径比“中国天眼”的直径短，把“中国天眼”的直径看作单位“1”，阿雷西博天文望远镜的直径是“中国天眼”的直径的（1－），单位“1”未知，用阿雷西博天文望远镜的直径除以（1－），即可求出“中国天眼”的直径。 【详解】350÷（1－） ＝350÷ ＝350× ＝500（米） 答：“中国天眼”的直径是500米。 【名师点评】本题考查分数除法的意义及应用，明确已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 27．3天 【思路分析】把加工这批零件的工作总量看作单位“1”，结果6天完成任务，乙丙两人做了6天，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出乙丙两人做的工作量，再用1减去乙丙两人做的工作量，就是甲做的工作量，再除以甲的工作效率就是甲做的天数，再用6天减去甲做的天数，就是停工的天数。据此解答 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝6－3 ＝3（天） 答：甲停工3天。 【名师点评】此题主要考查工程问题，根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系，先求出三人合作中甲做的工作量是多少是解题的关键。 28．48元 【思路分析】设甲种商品的单价x元，则乙种商品的单价为x元，根据等量关系式：3件甲种商品的钱数－6＝4件乙种商品的钱数－30，据此列方程解答即可。 【详解】解：设甲种商品的单价x元，则乙种商品的单价为x元 3x－6＝4x×－30 3x－6＝x－30 ＝24 x＝48 答：甲种商品的单价是48元。 【名师点评】本题考查用方程解决问题，明确数量关系是解题的关键。 29．男生：40人；女生：30人 【思路分析】假设第一周参加日语班的女生有x人，则男生有（10＋x）人，把第一周的男生看作单位“1”，则第二周的男生人数相当于第一周男生人数的（1－），可用（10＋x）×（1－）表示出第二周男生的人数；把第一周女生的人数看作单位“1”，则第二周的女生人数相当于第一周女生人数的（1＋），可用x×（1＋））表示出第二周女生的人数；第二周男生的人数＋第二周女生的人数＝59，据此列出方程，解方程即可求出第一周参加日语班学习的男生和女生各有多少人。 【详解】解：设第一周参加日语班的女生有x人，男生有（10＋x）人。 30＋10＝40（人） 答：第一周参加日语班学习的男生有40人，女生有30人。 【名师点评】此题的解题关键是弄清题意，把第一周女生的人数设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 30．小时 【思路分析】已知“甲、丙又合做2小时，完成了”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”求出甲、丙的合做工效；然后用甲、乙的合做工效加上乙、丙的合做工效，再加上甲、丙的合做工效，这个和是三人合做工效的2倍，除以2，即可求出甲、乙、丙三人的合做工效； 把加工一批零件的工作总量看作单位“1”，用“1”减去已完成的工作量，求出剩下的工作量；根据“工作时间＝工作量÷工作效率”，用剩下的工作量除以三人的合做工效即可。 【详解】甲、丙的合做工作效率： ÷2 ＝× ＝ 甲、乙、丙三人的合做工作效率： （＋＋）÷2 ＝（＋＋）÷2 ＝÷2 ＝× ＝ 剩下的工作量： 1－（＋＋） ＝1－（＋＋） ＝1－ ＝ 剩下的任务，甲、乙、丙三人合做需要的时间： ÷ ＝×4 ＝（小时） 答：剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要小时完成。 【名师点评】本题考查工程问题，掌握“工作效率、工作时间、工作量”之间的关系，求出甲、乙、丙三人合做的工作效率是解题的关键。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$