四川省南充市高坪职业高级中学2024-2025学年高三上学期开学数学试题

2024年秋中职数学高三入学考试题 一 选择题（共12个小题，共计60分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．4或2 D．3 3．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（    ） A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85 4．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行指金､木､水､火､土.现将“金､木､水､火､土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．72 8．已知等比数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 10．已知是的中线，，则（    ） A． B． C． D． 11．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 12．已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 13．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知偶函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 二 填空题（共5个小题，共计20分） 16．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ． 17．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 18．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为________． 19.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________. 20．已知函数的定义域为，且，（1），则 　 　． 三 解答题（共6个大题，共计70分） 21．记的内角的对边分别为，已知． (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 22．已知等差数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前n项和． 23.如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若M是AB的中点，证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 24．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； 25．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 26.定义在上的增函数对任意都有，则 (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋中职数学高三入学考试题 一 选择题（共12个小题，共计60分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据集合的交集运算求解即可. 【详解】因为，所以.故选：B. 2．若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．4或2 D．3 【分析】利用组合数性质计算即可. 【详解】当时，满足题意；当，即时，满足题意.故选：C. 3．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：，则这组分数的中位数和众数分别是（    ） A．84，85 B．84，84 C．85，84 D．85，85 【分析】利用中位数和众数的定义进行判断. 【详解】数据按从小到大的顺序排一列： 所以这组分数的中位数和众数分别是84，84，故A，C，D错误.故选：B. 4．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标． 【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，故选：A． 5．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，所以.故选：C. 6．已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 三点共线，故，即，解得.故选：D 7．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行指金､木､水､火､土.现将“金､木､水､火､土”排成一排，则“土､水”相邻的排法种数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．72 【详解】将“土、水”绑在一起，当做一个整体，有种排法， 将该整体与“金､木､火”全排列，共有种排法，所以共有种排法.故选：C 8．已知等比数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，由等比数列的通项公式可得公比，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得， 故，故选：D. 9．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【分析】对于A，可过n作平面，使，则，即可判断；对于B，由线面垂直的性质即可判断；对于C，由条件，可得，又，则，即可判断；对于D，要考虑可能在平面内，即可判断． 【详解】对于A，当时，过n作平面，使，则，因为，， 所以，所以，故A正确； 对于B，当，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，因为，，所以，又，所以，故C正确； 对于D，当，时，可能在平面内，故D错误．故选：D． 10．已知是的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】.故选：D. 11．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或.故选：D 12．已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 【分析】借助等差数列的性质与前n项和公式，运算求解即可得． 【详解】∵，∴，又， ∴，∴．故选：D． 13．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用平方关系、差角的余弦公式列式计算即得. 【详解】由，得，由，得， 由，得， 所以.故选：B 14．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时， 根据弦长公式得最小值为.故选：B. 15．已知偶函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】利用为偶函数及两个条件来判断函数周期，将转化为时代入函数即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即，又，故，即①，用代替得②. 由①②得，故的周期为6，故，又由已知得. 因为当时，，所以，故.故选：D. 二 填空题（共5个小题，共计20分） 16．直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ． 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 17．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，则，有.故答案为：. 18．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为________． 【详解】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为4，所以，所以该双曲线的渐近线方程为． 19.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________. 【详解】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形. 20．已知函数的定义域为，且，（1），则 　 　． 【详解】令，，则（1）（1）（1）（1）， 因为（1），所以， 令，则（2）（1）（1），得（2），故答案为：． 三 解答题（共6个大题，共计70分） 21．记的内角的对边分别为，已知． (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【详解】（1）由，和余弦定理得， 即，所以．所以是直角三角形． （2）由（1）知是直角三角形，且，可得． 所以周长为， 所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为． 22．已知等差数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前n项和． 【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d， 由，得，解得，， 所以． （2）因为，， 是等比数列，则的公比，所以， 所以数列的前n项和． 23.如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点． （1）证明：平面； （2）若M是AB的中点，证明：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面 （2）证明：在正方体中，,是中点，. 平面，平面，则. 平面，平面，且， 平面.平面，∴平面平面 （3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等. 故 ． 24．某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长t（小时） 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响， (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望； 【详解】（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A，所以． （2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， X 0 1 2 3 P 则，， ，， 所以X的分布列为： 所以X的数学期望为． 25．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程． 【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解. 【详解】（1）由题意得，当轴时，，两点的横坐标为， 当时，，解得，，解得， 故抛物线的方程为； （2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，且， 则，，，即， 线段的中点的纵坐标为，，即， ，即直线的斜率，直线的方程为，即． 26.定义在上的增函数对任意都有，则 (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)在中， 令可得，，则， (2) (定义法证明函数奇偶性) 令，得， 又，则有，即可证得为奇函数； (3)因为在上是增函数，又由(2)知是奇函数， ， 即有，得，(分离参数法) 又有(当时取到等号)， 即有最小值， 所以要使恒成立，只要使即可， 故k的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$