重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上）中秋假期数学试题（假期作业）

重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上）中秋假期 数学试题 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，圆内接四边形为的直径，延长交延长线于点E，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．直线与抛物线的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ） A．B．C． D． 8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随着的增大而减小 C． D． 9．如图，在等边中，，点在外部，且，连接交于点，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D．2 10．按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④当时，代数式的值恒为负 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 12．如图，在菱形中，，依次连接各边中点，得到四边形，则 °． 13．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为10亿元，2024年全年投入的研发资金为25亿元，设每年平均增加率为，可列出方程为 ． 14．已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 15．如图，在菱形中，，．以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ． 16．若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 17．如图，点O为的外接圆圆心，点为圆上一点，互相平分，于，链接，若，，则的周长为 ． 18．对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最大数与最小数的差为 ，， ，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) (2) 20．学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 21．为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 22．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 23．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 24．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里． (1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； (2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：） 25．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．中，，D为边的中点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； (3)如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效注意事项 姓名： 班级： 准考 证号： 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 20． ① ② ③ ④ 21． （1） ______，______，______． （2） （3） 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；综合题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 贴条形码区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 1、 选择题 9 A B C D 8 7 4 3 2 5 1 A B C D 10 A B C D A B C D 6 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： （1）(1) （2）(2) 17．（6分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25． 24． 26． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$20． ① ② ③ ④ 21． （1）𝑎 =______，𝑏 =______，𝑚 =______． （2） （3） 贴 条 形 码 区 6cm × 3cm （正面朝上，切勿贴出方框） 22． 23．（1） （2）函数的性质为：____________________________________________ _______________________________________________________________ （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题 19．计算： （1）(1)(𝑥 − 2𝑦)2 − 2𝑦(𝑦 − 2𝑥) （2）(2)(𝑚 + 1 + 2𝑚+3 𝑚+1 ) ÷ 𝑚2−4 𝑚+1 1 5 2 3 4 6 7 一、选择题 8 姓名： 班级： 准考 证号： A B C D 缺考标记，考生禁填！由监考员填涂 。 正确填涂 错误填涂 数学答题卡 注意事项 填 涂 样 例 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填 写清楚，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号、座位号及科类名称。 2. 选择题部分必须使用 2B 铅笔填涂；综 合题部分必须使用 0.5毫米的黑色签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 9 A B C D 10 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 25． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24． 26． 1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上）中秋假期 数学试题 （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．𝑥2 − 3𝑥 = 0 B．𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 C．𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 D．𝑥2 + 𝑥 + 1 4 = 0 3．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．𝑥2 + 𝑥 − 1 B．𝑥 − 𝑦 = 1 C．𝑥2 − 1 = 0 D． 1 𝑥 + 𝑥 = 2 4．抛物线𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1的顶点坐标是（ ） A．(−2,1) B．(−2, −1) C．(2,1) D．(2, −1) 5．用配方法解方程2𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0，则配方结果正确的是（ ） A．(𝑥 + 1)2 = 1 2 B．(𝑥 + 1)2 = 1 C．(𝑥 + 1)2 = 3 2 D．(𝑥 − 1)2 = 3 2 6．如图，圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵为⊙ 𝑂的直径，延长𝐷𝐶交𝐴𝐵延长线于点 E，且𝐶𝐷 = 𝐶𝐸，若 ∠𝐷𝐴𝐵 = 45°，则∠𝐸 =（ ） A．25° B．30° C．45° D．50° 7．直线𝑦 = 𝑎𝑥⬚ + 𝑐与抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑐的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的图像与𝑥轴相交于𝐴(−1,0)，𝐵两点，对称轴是直线𝑥 = 1，下列说法正确的是（ ） A．𝑎 > 0 B．当𝑥 > 0时，𝑦的值随着𝑥的增大而减小 C．𝑏 − 2𝑎 = 0 D．4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0 9．如图，在等边△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 4，点𝐷在△ 𝐴𝐵𝐶外部，且∠𝐴𝐷𝐶 = 90°，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，𝐵𝐸 = 2𝐸𝐷，则𝐶𝐷的长为（ ） A．2√3 B．2√2 C．3 D．2 2 10．按顺序排列的若干个数：𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. . . , 𝑥𝑛，（𝑛是正整数），从第二个数𝑥2开始，每一个数都等于1 与它前面的那个数的差的倒数，即：𝑥2 = 1 1−𝑥1 ，𝑥3 = 1 1−𝑥2 ，……，下列说法正确的个数有（ ） ①若𝑥2 = 5，则𝑥7 = 4 5 ②若𝑥1 = 2，则𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥2022 = 2021 2 ③若(𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1)𝑥9 = −1，则𝑥1 = √2 ④当−1 < 𝑚 < 3时，代数式𝑥1 ⋅ 𝑥9 + 𝑥1⋅𝑥10 𝑥2⋅𝑥19 − (𝑚 + 1)𝑥1的值恒为负 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．计算：(π − 3.14)0 + (−3)2 = ． 12．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵 = 70°，依次连接各边中点，得到四边形𝐸𝐹𝐺𝐻，则∠𝐶𝐹𝐺 = °． 13．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司 2022 年全年投入的研发资金为 10 亿元， 2024 年全年投入的研发资金为 25 亿元，设每年平均增加率为𝑥，可列出方程为 ． 14．已知 m为方程𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0的一个根，则代数式𝑚3 + 2𝑚2 − 2𝑚 + 6的值为 ． 15．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷 = 60°，𝐵𝐷 = 2．以点𝐴为圆心，𝐴𝐵的长为半径画弧𝐵𝐷⌢ ，则图中阴 影部分的面积为 ． 16．若关于𝑥的不等式组{ 𝑥+3 2 > 2 2𝑥 − 𝑚 ≤ 2 ，有解且至多有两个偶数解，且关于𝑥的分式方程 𝑚𝑥−3 2−𝑥 + 1 𝑥−2 = 1 的解为正整数，则符合条件的整数𝑚的值的和为 ． 17．如图，点 O为△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆圆心，点𝐸为圆上一点，𝐵𝐶、𝑂𝐸互相平分，𝐶𝐹 ⊥ 𝐴𝐸于𝐹，链接 𝐷𝐹，若𝑂𝐸 = 2√3，𝐷𝐹 = 1，则△ 𝐴𝐵𝐶的周长为 ． 18．对于一个四位正整数𝐴 = 𝑎𝑏𝑐𝑑，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之 和为 9，十位数字比百位数字大 2，则称这个四位正整数 A是“优胜数”．则符合条件的 A的最大数与最 小数的差为 ，𝑄(𝐴) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑， 𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2|，若 𝑄(𝐴) 𝑅(𝐴) 能被 7 整除，则所有满足条件 的四位正整数 A的和为 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1)(𝑥 − 2𝑦)2 − 2𝑦(𝑦 − 2𝑥) (2)(𝑚 + 1 + 2𝑚+3 𝑚+1 ) ÷ 𝑚2−4 𝑚+1 20．学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂 线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线 段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点 A作𝐶𝐷的垂线，垂足为点M，交𝐵𝐷于点 N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，过 A作𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶于点 E，并交对角线𝐵𝐷于点 F，作𝐴𝑀 ⊥ 𝐶𝐷于点 3 M，交对角线𝐵𝐷于点 N．求证：𝐴𝐹 = 𝐴𝑁 证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形 ∴ 𝐴𝐵 =① ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐵 ∵ 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶，𝐴𝑀 ⊥ 𝐶𝐷 ∴ ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝑀𝐷 = 90° ∵ ∠𝐴𝐸𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐸 = 180° ∠𝐴𝑀𝐷 + ∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐷𝐴𝑀 = 180° ∴② ∴△ 𝐴𝐵𝐹≌③ ∴ 𝐴𝐹 = 𝐴𝑁 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 ④ ． 21．为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防 护”知识的测试，现从中各随机选出 20 名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和 分析，（测试成绩用 x表示，共分为四个等级：A：𝑥 < 70，B：70 ≤ 𝑥 < 80，C：80 ≤ 𝑥 < 90，D： 90 ≤ 𝑥 ≤ 100），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94， 94，96，96． 八年级等级 C 的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：𝑎 =______，𝑏 =______，𝑚 =______． (2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即 可） (3)若该校七年级有 1200 名学生参加测试，八年级有 1500 名学生参加测试，请估计两个年级参加测试 学生中成绩优秀（大于或等于 90 分）的学生共有多少人？ 22．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区 首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活 动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队 早 40 分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前 30 分钟内，平均每分钟消耗热量 10 卡路里，超过 30 分钟后，每多登山 2 分钟，平均每分钟消耗的热 量就增加 1 卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗 1050 卡路里热量，小明从山路登山直至山 顶共用多少分钟．．？ 4 23．如图 1，在△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 4cm．点𝑃从点𝐴出发，以2cm/s的速度沿折线𝐴 → 𝐵 → 𝐶运动，同时点𝑄从点𝐵出发，以1cm/s的速度沿线段 BC运动．当点𝑃到达点𝐶时，P，Q停止运 动．设点𝑃运动的时间为𝑥(s),△ 𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦1(cm 2)． (1)请直接写出𝑦1与𝑥的函数关系式，并注明自变量𝑥的取值范围； (2)在图 2 平面直角坐标系中，画出𝑦1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若𝑦1与𝑥的函数图象与直线𝑦2 = −𝑥 + 𝑛有两个交点，则𝑛的取值范围是_____________． 24．如图，笔直的海岸线 l上有 A、B两个观测站，A在 B的正东方向．有一艘渔船在点 P处，从 A处 测得渔船在北偏西60°的方向，从 B处测得渔船在其东北方向，且测得 B、P两点之间的距离为 20 海 里． (1)求观测站 A、B之间的距离（结果保留根号）； (2)渔船从点 P处沿射线𝐴𝑃的方向航行一段时间后，到点 C处等待补给，此时，从 B测得渔船在北偏西 15°的方向．在渔船到达 C处的同时，一艘补给船从点 B出发，以每小时 20 海里的速度前往 C处，请 问补给船能否在 83 分钟之内到达 C处？（参考数据：√3 ≈ 1.73） 25．如图，抛物线𝑦 = − 1 2 𝑥⬚⬚2 + 𝑏𝑥 + 𝑐过点 A（−3，2），且与直线𝑦 = 𝑥 + 7 2 交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（−4，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点 D 作 DE⊥x轴交直线 BC 于点 E，点 P 为对称轴 上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y轴上是否存在点 Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． 26．△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 60°，D为𝐵𝐶边的中点，连接𝐴𝐷． (1)如图 1，若∠𝐵 = 45°，𝐵𝐶 = 3 + √3，求△ 𝐴𝐵𝐷的面积； (2)如图 2，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，𝐹为𝐴𝐵上一点，将𝐷𝐹绕点 D顺时针旋转60°得线段𝐷𝐺，作𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺交𝐵𝐺的 延长线于点𝐸，如果𝐷𝐺 = 𝐸𝐺，求证：𝐶𝐺 = √2𝐷𝐹； (3)如图 3，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，𝐹为𝐴𝐵上一点，将𝐷𝐹绕点𝐷顺时针旋转60°得线段𝐷𝐺，当𝐴𝐺最小时，𝐾为平 面内一点，将△ 𝐾𝐹𝐶沿𝐶𝐾翻折得△ 𝐾𝐹′𝐶，当𝐹𝐹′最大时，直接写出 𝑆△𝐷𝐶𝐹′ 𝑆△𝐴𝐹𝐺 的值． 重庆市育才中学教育集团2024—2025学年九年级(上）中秋假期 数学试题 （全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别；根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图象图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意； B、，方程没有实数解，所以B选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意； D、，方程有两个相等的实数解，所以D选项符合题意． 故选：D． 3．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程”． 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一个多项式，不是方程，故不符合题意； B、含有2个未知数，是一个二元一次方程，故不符合题意； C、是一个一元二次方程，符合题意； D、方程里含有分式，故不符合题意， 故选：C． 4．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 5．用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：原方程变形为 即， ∴， 即． 故选C． 6．如图，圆内接四边形为的直径，延长交延长线于点E，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的相关性质是解答的关键．先利用圆周角定理得到，再利用直角三角形斜边中线性质可推导出为等边三角形，则，然后利用直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 7．直线y=ax+c与抛物线y=ax2+c的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两图象与y轴的交点相同,故排除了B、D,若a>0,选A,C中两个函数中的a符号相反. 8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（    ） A． B．当时，的值随着的增大而减小 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象和性质．根据题意可得，故A选项不正确，时，的值随着的增大而减小，故B选项不正确，，即：，，故C选项不正确，时，，即． 【详解】解：∵二次函数图象如下所示： ∴开口向下，即，故A选项不正确， ∵对称轴是直线， ∴时，的值随着的增大而减小，故B选项不正确， ∴，即：，，故C选项不正确， ∵二次函数的图象与轴相交于，两点， ∴， ∴当时，，即， 故选：D． 9．如图，在等边中，，点在外部，且，连接交于点，，则的长为（    ）    A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】取的中点，连接交于点，连接，则是的重心，根据已知可得，则，，，进而解，得出则，得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接交于点，连接， ∴是的重心，， ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵，则， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴是等边三角形 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的重心，相似三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．按顺序排列的若干个数：，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即：，，……，下列说法正确的个数有（    ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④当时，代数式的值恒为负 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①将代入式子依次计算即可；②从开始依次计算出，即可找到周期性规律；然后利用规律计算即可；③利用规律找到之间的规律，将分别用表示，解方程即可；④利用规律将化简得二次函数，利用二次函数求最值即可． 【详解】解：将代入得：， 然后依次求得：故①正确； 当时，则， ， ， ……， ∴这一列数每3个数为一个循环，三个数交替出现，且每个周期的和为， ∵中共有个数据， ∴周期个数为：个， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ……， ∴这一列数每3个数为一个循环，三个数交替出现， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴ ， 对于二次函数，其函数图象开口向下，最大值为， 对于二次函数的对称轴为，且开口向上， ， ∴当或时，有最大值0（取不到） ， ， 的值恒为负，故④正确 故选B. 【点睛】本题主要考查了分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算，数字类的规律探索等，找到这一列数的规律是解题的关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．计算： ． 【答案】10 【分析】本题考查了零指数幂和乘方，解题的关键是掌握零指数幂的公式，． 先计算零指数幂和乘方，再相加． 【详解】解： 故答案为：10． 12．如图，在菱形中，，依次连接各边中点，得到四边形，则 °． 【答案】35 【分析】本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 连接，先根据菱形的性质得出，再根据三角形中位线性质得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：连接 四边形为菱形， F、G分别为和的中点 故答案为：． 13．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司2022年全年投入的研发资金为10亿元，2024年全年投入的研发资金为25亿元，设每年平均增加率为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列方程即可，解题关键是正确寻找等量关系，列出方程． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 14．已知m为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将m代入方程得，再将代入变形后的式子进行化简求值即可． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：9． 15．如图，在菱形中，，．以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】首先根据菱形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形，可求得AB、BD、AC的长，再根据，即可求得． 【详解】解：四边形ABCD是菱形 ，， 是等边三角形， 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形及扇形的面积公式，求出AB、BD、AC的长是解决本题的关键． 16．若关于的不等式组，有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次不等式及解分式方程，先求出不等式组的解集，根据题意得，解分式方程得，根据题意得或1，符合，则再将符合条件的数相加即可求解，熟练掌握不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：化简得：， 解不等式组得：， 不等式组至多有两个偶数解， ， ， 方程， 解得：， 分式方程的解为正整数， 或1， 结合得：符合条件的整数的值的和为：， 故答案为：6． 17．如图，点O为的外接圆圆心，点为圆上一点，互相平分，于，链接，若，，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】先利用垂径定理得OE⊥BC，，再利用正弦函数和直角三角形的性质以及圆周角定理求得∠AGF=∠ACF=∠GAC=60°，进而得到△AGC是等边三角形，过C作CH⊥AB于H，则AH=GH，CH=GH，利用等边三角形的性质和三角形的中位线性质求得AC=AG，BG=2DF=2，AH=GH，CH=GH，然后利用勾股定理求解GH即可求解． 【详解】解：连接OB，延长CF交AB于G， ∵BC、OE互相平分， ∴BD=CD，OD=DE=， ∴OE⊥BC，， ∴sin∠OBD=， ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°，BD=OD=3，即BC=6， ∴∠BAE=∠CAE=∠BOD=30°， ∵CF⊥AE，   ∴∠AFG=∠AFC=90°， ∵AF=AF， ∴， ∴∠AGF=∠ACF=∠GAC=60°， ∴△AGC是等边三角形， ∴GF=CF，AC=AG，   ∴BG=2DF=2， 过C作CH⊥AB，则AH=GH，CH=GH， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴AC=AG=2GH=，AB=AG+BG= ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=+6+（）=， 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理、解直角三角形，等边三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理以及解一元二次方程等知识，综合性比较强，难度较大，解答关键是熟练掌握各个知识点之间的联系与运用，注意数形结合思想的运用． 18．对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“优胜数”．则符合条件的A的最大数与最小数的差为 ，， ，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式得应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，当时，A的最小数为，即可求出符合条件的A的最大数与最小数的差，根据题意求出，则或或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和． 【详解】解：∵四位正整数是“优胜数”． ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴，， 可得到A为，     当时，A的最大数为， 当时，A的最小数为， ∴最大值与最小值的差为； ， ∵，， ∴，， ∴，， ∵能被7整除， ∴，则或或， 解得，，， ，，， 或，，， 或，，， ∴所有满足条件的四位正整数A为, ∴所有满足条件的四位正整数A的和为， 故答案为：， 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20－26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的运算，分式的运算，掌握整式的运算法则和分式的运算法则是解题的关键． （）利用完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则展开运算，再合并同类项即可； （）先通分，进行括号里面的运算，再进行除法运算即可解答； 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ， ． 20．学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 21．为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______． (2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)88，87，35 (2)八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分 (3)共有960人 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图中的项目，求中位数与众数． （1）由抽取的七年级学生成绩可得众数，即得a的值；根据八年级抽取的学生成绩可分别求得A、B两个等级的人数，从而可确定中位数，即得b的值；由C等级的人数及抽取的总人数即可求得C等级的占比，从而确定m的值； （2）两班平均成绩相同，根据中位数即可判断； （3）利用样本估计总体的思想，分别计算两个年级D等级的人数的和，即可求解． 【详解】（1）解：由抽取的七年级学生成绩知，88出现的次数最多，故众数为88，即； 八年级抽取的学生成绩中，A等级的人数为（人），B等级的人数为（人），八年级等级C的学生有7个，按高低排列为： 81，82， 83，86，87，87， 89，则中位数； 而，故； 故答案为：88；87；35； （2）解：八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分． （3）解：两个年级D等级人数为：（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有960人． 22．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 23．如图1，在中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段BC运动．当点到达点时，P，Q停止运动．设点运动的时间为的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是_____________． 【答案】(1) (2)当时，为最大值（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移，找到与的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）函数图象如下： 根据函数图象可得，当时，为最大值（答案不唯一）； （3）平移，如图所示： 当过时，有两个交点，此时函数解析式为，， 当过时，有一个交点，此时函数解析式为，， ∴若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是， 故答案为：． 24．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里． (1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； (2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：） 【答案】(1)观测站A、B之间的距离为海里． (2)补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解析． 【分析】（1）过点P作于D点，可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）过点B作，垂足为F，根据题意得：，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点P作于D点， ∴， 在中，，海里， ∴（海里）， （海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴海里， ∴观测站A，B之间的距离为海里； （2）补给船能在82分钟之内到达C处， 理由：过点B作，垂足为F， ∴， 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； （3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）PD+PA的最小值为；（3）Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【分析】（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，，B的坐标为（-4，），将A（-3，2），B（-4，）代入y=x2+bx+c，解得b=-1，c=，因此抛物线的解析式y=−x2-x+； （2）设D（m，m2-m+），则E（m，m+），DE=（m2-m+）-（m+）=m2-2m=（m+2）2+2，当m=-2时，DE有最大值为2，此时D（-2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小； （3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，由M（-1，4），A（-3，2），可得AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM=∠AHM，可知△AQM外接圆的圆心为H，于是QH=HA=HM=2设Q（0，t），则，t=2+或2-，求得符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【详解】解：（1）将点B的坐标为（-4，m）代入，得m=-4+=-， ∴B的坐标为（-4，-）， 将A（-3，2），B（-4，-）代入y=-x2+bx+c， 解得b=-1，c=， ∴抛物线的解析式y=−x2-x+； （2）设D（m，−m2-m+），则E（m，m+）， DE=（−m2-m+）-（m+）=−m2-2m=-（m+2）2+2， ∴当m=-2时，DE有最大值为2， 此时D（-2，）， 作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P． PD+PA=PD+PA'=A'D，此时PD+PA最小， ∵A（-3，2）， ∴A'（1，2）， A'D=， 即PD+PA的最小值为； （3）作AH⊥对称轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵抛物线的解析式， ∴M（-1，4）， ∵A（-3，2）， ∴AH=MH=2，H（-1，2） ∵∠AQM=45°，∠AHM=90°， ∴∠AQM=∠AHM， 可知△AQM外接圆的圆心为H， ∴QH=HA=HM=2 设Q（0，t）， 则， 解得，t=2+或2- ∴符合题意的点Q的坐标：Q1（0，2-）、Q2（0，2+）． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键． 26．中，，D为边的中点，连接． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； (3)如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）作于点，由得到，利用比例关系设设，，用含的式子表达出长度求解即可； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到，推出，利用，，，四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）寻找出点的运动轨迹后，推导出最大时候的位置，再利用中线平分面积和三角形的面积公式进行比较即可． 【详解】（1）解：作于点， 解：∵， ∴， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵D为边的中点， ∴； （2）解：连接，，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由三线合一可得：为的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）同理可得：， ∴， ∴点在直线上运动，如图所示： ∴当时取最小值，此时为的中点， ∴，为的中点， 由翻折的性质可得，即点的运动轨迹为， ∴当弦为直径的时候，最大，此时为中点， 过做于的延长线于点，于点，连接，如图所示： ∵为为中点， ∴， ∵和分别是，的中点， ∴，且， ∴． 【点睛】本题为几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 重庆市育才中学教育集团 2024—2025 学年九年级(上）中秋假期 数学试题 （全卷共四个答题，满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括辅助线）请一律用黑色 2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确 答案所对应的方框涂黑． 1．下列图标中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别；根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项 A、B、C 的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项 D 的图象图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形． 故选：D． 2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．𝑥2 − 3𝑥 = 0 B．𝑥2 + 2𝑥 + 4 = 0 C．𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 D．𝑥2 + 𝑥 + 1 4 = 0 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0(𝑎 ≠ 0)的根与Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐有如下关 系：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方 程无实数根．分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：A、Δ = 32 − 4 × 1 × 0 = 9 > 0，方程有两个不相等的实数解，所以 A 选项不符合题 意； B、Δ = 22 − 4 × 1 × 4 = −12 < 0，方程没有实数解，所以 B 选项不符合题意； C、Δ = (−2)2 − 4 × 1 × (−3) = 16 > 0，方程有两个不相等的实数解，所以 C 选项不符合题意； D、Δ = 12 − 4 × 1 × 1 4 = 0，方程有两个相等的实数解，所以 D 选项符合题意． 故选：D． 3．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．𝑥2 + 𝑥 − 1 B．𝑥 − 𝑦 = 1 C．𝑥2 − 1 = 0 D． 1 𝑥 + 𝑥 = 2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含 有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程”． 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由 这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一个多项式，不是方程，故不符合题意； B、含有 2 个未知数，是一个二元一次方程，故不符合题意； C、是一个一元二次方程，符合题意； D、方程里含有分式，故不符合题意， 故选：C． 4．抛物线𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1的顶点坐标是（ ） A．(−2,1) B．(−2, −1) C．(2,1) D．(2, −1) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根 2 据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘的顶点坐标是(ℎ, 𝑘)， ∴抛物线𝑦 = (𝑥 − 2)2 − 1的顶点坐标是(2, −1)， 故选：D． 5．用配方法解方程2𝑥2 + 4𝑥 − 1 = 0，则配方结果正确的是（ ） A．(𝑥 + 1)2 = 1 2 B．(𝑥 + 1)2 = 1 C．(𝑥 + 1)2 = 3 2 D．(𝑥 − 1)2 = 3 2 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，首先把方程的二次项系数化为 1，移项，然后在方程的左右两边同时加 上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：原方程变形为2𝑥2 + 4𝑥 = 1 即𝑥2 + 2𝑥 = 1 2 ， ∴𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 1 + 1 2 ， 即(𝑥 + 1)2 = 3 2 ． 故选 C． 6．如图，圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐵为⊙ 𝑂的直径，延长𝐷𝐶交𝐴𝐵延长线于点 E，且𝐶𝐷 = 𝐶𝐸，若 ∠𝐷𝐴𝐵 = 45°，则∠𝐸 =（ ） A．25° B．30° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、直角三角 形两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的相关性质是解答的关键．先利用圆周角定理得到∠𝐷𝑂𝐵 = 2∠𝐷𝐴𝐵 = 90°，再利用直角三角形斜边中线性质可推导出△ 𝑂𝐶𝐷为等边三角形，则∠𝑂𝐷𝐶 = 60°，然后 利用直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接𝑂𝐷，𝑂𝐶， ∵∠𝐷𝐴𝐵 = 45°， ∴∠𝐷𝑂𝐵 = 2∠𝐷𝐴𝐵 = 90°， ∵𝐶𝐷 = 𝐶𝐸， ∴𝑂𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸，又𝑂𝐶 = 𝑂𝐷， ∴𝑂𝐷 = 𝑂𝐶 = 𝐶𝐷， ∴△ 𝑂𝐶𝐷为等边三角形， ∴∠𝑂𝐷𝐶 = 60°， ∴∠𝐸 = 90° − ∠𝑂𝐷𝐶 = 30°， 故选：B． 7．直线 y=ax+c 与抛物线 y=ax2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两图象与 y 轴的交点相同,故排除了 B、D,若 a>0,选 A,C 中两个函数中的 a 符号相反. 8．如图，二次函数𝑦 = 𝑎𝑥⬚2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的图像与𝑥轴相交于𝐴(−1,0)，𝐵两点，对称轴是直线𝑥 = 1，下列说法正确的是（ ） 3 A．𝑎 > 0 B．当𝑥 > 0时，𝑦的值随着𝑥的增大而减小 C．𝑏 − 2𝑎 = 0 D．4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象和性质．根据题意可得𝑎 < 0，故 A 选项不正确，𝑥 > 1时，𝑦的值随着 𝑥的增大而减小，故 B 选项不正确，− 𝑏 2𝑎 = 1，即：𝑏 = −2𝑎，𝑏 + 2𝑎 = 0，故 C 选项不正确，𝑥 = 2 时，𝑦 > 0，即4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0． 【详解】解：∵二次函数图象如下所示： ∴开口向下，即𝑎 < 0，故 A 选项不正确， ∵对称轴是直线𝑥 = 1， ∴𝑥 > 1时，𝑦的值随着𝑥的增大而减小，故 B 选项不正确， ∴− 𝑏 2𝑎 = 1，即：𝑏 = −2𝑎，𝑏 + 2𝑎 = 0，故 C 选项不正确， ∵二次函数𝑦 = 𝑎𝑥⬚2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的图象与𝑥轴相交于𝐴(−1,0)，𝐵两点， ∴𝐵(3,0)， ∴当𝑥 = 2时，𝑦 > 0，即4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 > 0， 故选：D． 9．如图，在等边△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 4，点𝐷在△ 𝐴𝐵𝐶外部，且∠𝐴𝐷𝐶 = 90°，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝐸，𝐵𝐸 = 2𝐸𝐷，则𝐶𝐷的长为（ ） A．2√3 B．2√2 C．3 D．2 【答案】D 【分析】取𝐴𝐶, 𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐺, 𝐵𝐹交于点𝑂，连接𝑂𝐸, 𝐹𝐷，则𝑂是△ 𝐴𝐵𝐶的重心，根据已知可得△ 𝑂𝐵𝐸 ∽△ 𝐹𝐵𝐷，则 𝑂𝐸 𝐹𝐷 = 𝐵𝑂 𝐵𝐹 = 2 3 ，∠𝐵𝐸𝑂 = ∠𝐵𝐷𝐹，𝑂𝐸∥𝐹𝐷，进而解Rt △ 𝐴𝑂𝐹，Rt △ 𝑂𝐸𝐹得出∠𝐹𝐸𝑂 = 60°则𝐹𝐷∥𝐵𝐶，得出△ 𝐹𝐶𝐷是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，取𝐴𝐶, 𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝐺, 𝐵𝐹交于点𝑂，连接𝑂𝐸, 𝐹𝐷， ∴𝑂是△ 𝐴𝐵𝐶的重心，𝐴𝐺 ⊥ 𝐵𝐶，𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶 ∴ 𝑂𝐵 𝑂𝐹 = 2 又∵𝐵𝐸 = 2𝐸𝐷， ∴ 𝐵𝐸 𝐸𝐷 = 𝐵𝑂 𝑂𝐹 ∴ 𝐵𝑂 𝐵𝐹 = 𝐵𝐸 𝐵𝐷 又∵∠𝑂𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐵𝐷 ∴△ 𝑂𝐵𝐸 ∽△ 𝐹𝐵𝐷 4 ∴ 𝑂𝐸 𝐹𝐷 = 𝐵𝑂 𝐵𝐹 = 2 3 ，∠𝐵𝐸𝑂 = ∠𝐵𝐷𝐹 ∴𝑂𝐸∥𝐹𝐷 ∵∠𝐴𝐷𝐶 = 90°，𝐹是𝐴𝐶的中点， ∴𝐹𝐷 = 1 2 𝐴𝐶 = 2 ∴𝑂𝐸 = 4 3 ∵𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，则𝐴𝐹 = 1 2 𝐴𝐶 = 2，∠𝑂𝐴𝐹 = 30° 在Rt △ 𝐴𝑂𝐹中，𝑂𝐹 = tan∠𝑂𝐴𝐹 ⋅ 𝐴𝐹 = 2√3 3 ， 在Rt △ 𝑂𝐸𝐹中，𝐸𝐹 = √𝑂𝐸2 − 𝑂𝐹2 = √( 4 3 ) 2 − ( 2√3 3 ) 2 = 2√3 3 ∴sin∠𝐹𝐸𝑂 = 𝑂𝐹 𝑂𝐸 = 2√3 3 4 3 = √3 2 ∴∠𝐹𝐸𝑂 = 60° ∴∠𝐹𝐸𝑂 = ∠𝐴𝐶𝐵 ∴𝑂𝐸∥𝐵𝐶 ∴𝐹𝐷∥𝐵𝐶 ∴∠𝐷𝐹𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐵 = 60° 又𝐹𝐷 = 𝐹𝐶 ∴△ 𝐹𝐶𝐷是等边三角形 ∴𝐶𝐷 = 𝐹𝐶 = 2 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的重心，相似三角形的性质与判定、解直角三 角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10．按顺序排列的若干个数：𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. . . , 𝑥𝑛，（𝑛是正整数），从第二个数𝑥2开始，每一个数都等于1 与它前面的那个数的差的倒数，即：𝑥2 = 1 1−𝑥1 ，𝑥3 = 1 1−𝑥2 ，……，下列说法正确的个数有（ ） ①若𝑥2 = 5，则𝑥7 = 4 5 ②若𝑥1 = 2，则𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥2022 = 2021 2 ③若(𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1)𝑥9 = −1，则𝑥1 = √2 ④当−1 < 𝑚 < 3时，代数式𝑥1 ⋅ 𝑥9 + 𝑥1⋅𝑥10 𝑥2⋅𝑥19 − (𝑚 + 1)𝑥1的值恒为负 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】①将𝑥2 = 5代入式子依次计算即可；②从𝑥1 = 2开始依次计算出𝑥2, 𝑥3, 𝑥4，即可找到周期性 规律；然后利用规律计算𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥2022即可；③利用规律找到𝑥1, 𝑥2, 𝑥9之间的规律，将𝑥2, 𝑥9 分别用𝑥1表示，解方程即可；④利用规律将𝑥1 ⋅ 𝑥9 + 𝑥1⋅𝑥10 𝑥2⋅𝑥19 − (𝑚 + 1)𝑥1化简得二次函数，利用二次函数 求最值即可． 【详解】解：将𝑥2 = 5代入𝑥3 = 1 1−𝑥2 得：𝑥3 = − 1 4 ， 然后依次求得：𝑥4 = 4 5 ，𝑥5 = 5，𝑥6 = − 1 4 ，𝑥7 = 4 5 故①正确； 当𝑥1 = 2时，则𝑥2 = 1 1−2 = −1， 𝑥3 = 1 1−(−1) = 1 2 ， 𝑥4 = 1 1− 1 2 = 2， ……， ∴𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. . . , 𝑥𝑛这一列数每 3 个数为一个循环，2， − 1， 1 2 三个数交替出现，且每个周期的和为𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2 + (−1) + 1 2 = 3 2 ， ∵𝑥1，𝑥2，𝑥3， ⋅⋅⋅ ，𝑥2022中共有2022个数据， ∴周期个数为： 2022 3 = 674个， ∴𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋅⋅⋅ +𝑥2022 = 674 × 3 2 = 1011，故②错误； ∵𝑥2 = 1 1−𝑥1 ， ∴𝑥3 = 1 1− 1 1−𝑥1 = 1 1−𝑥1−1 1−𝑥1 = 𝑥1−1 𝑥1 ， 5 ∴𝑥4 = 1 1−𝑥3 = 1 1− 𝑥1−1 𝑥1 = 1 𝑥1−𝑥1+1 𝑥1 = 𝑥1， ……， ∴𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. . . , 𝑥𝑛这一列数每 3 个数为一个循环，𝑥1， 1 1−𝑥1 ， 𝑥1−1 𝑥1 三个数交替出现， ∵9 ÷ 3 = 3， ∴𝑥9 = 𝑥1−1 𝑥1 ， ∵(𝑥1 + 1)(𝑥2 + 1)𝑥9 = −1， ∴(𝑥1 + 1) ( 1 1−𝑥1 + 1) 𝑥1−1 𝑥1 = −1， ∴(𝑥1 + 1) ⋅ 2−𝑥1 1−𝑥1 ⋅ 𝑥1−1 𝑥1 = −1， ∴ (𝑥1+1)(𝑥1−2) 𝑥1 = −1， ∴𝑥1 2 − 𝑥1 − 2 = −𝑥1， 经检验，𝑥1 = ±√2是原方程的解， ∴𝑥1 = ±√2，故③错误； ∵10 ÷ 3 = 3 … 1，19 ÷ 3 = 6 … 1， ∴𝑥10 = 𝑥19 = 𝑥1， ∴𝑥1 ⋅ 𝑥9 + 𝑥1⋅𝑥10 𝑥2⋅𝑥19 − (𝑚 + 1)𝑥1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥1 − 1 𝑥1 + 𝑥1 ⋅ 𝑥1 1 1 − 𝑥1 ⋅ 𝑥1 − (𝑚 + 1)𝑥1 = 𝑥1 − 1 + 𝑥1(1 − 𝑥1) − (𝑚 + 1)𝑥1 = −𝑥1 2 + (1 − 𝑚)𝑥1 − 1， 对于二次函数𝑦 = −𝑥1 2 + (1 − 𝑚)𝑥1 − 1，其函数图象开口向下，最大值为 (1−𝑚)2−4 4 ， 对于二次函数𝑤 = (1−𝑚)2−4 4 的对称轴为𝑚 = 1，且开口向上， ∵ −1 < 𝑚 < 3， ∴当𝑚 = 3或−1时，𝑤有最大值 0（取不到） ∴ (1−𝑚)2−4 4 < 0， ∴ −𝑥1 2 + (1 − 𝑚)𝑥1 − 1 < 0， ∴ 𝑥1 ⋅ 𝑥9 + 𝑥1⋅𝑥10 𝑥2⋅𝑥19 − (𝑚 + 1)𝑥1的值恒为负，故④正确 故选 B. 【点睛】本题主要考查了分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有理数的运算，数字类的 规律探索等，找到𝑥1, 𝑥2, 𝑥3. . . , 𝑥𝑛这一列数的规律是解题的关键． 二、填空题（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上． 11．计算：(π − 3.14)0 + (−3)2 = ． 【答案】10 【分析】本题考查了零指数幂和乘方，解题的关键是掌握零指数幂的公式，𝑎0 = 1(𝑎 ≠ 0)． 先计算零指数幂和乘方，再相加． 【详解】解：(π − 3.14)0 + (−3)2 = 1 + 9 = 10 故答案为：10． 12．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵 = 70°，依次连接各边中点，得到四边形𝐸𝐹𝐺𝐻，则∠𝐶𝐹𝐺 = °． 【答案】35 【分析】本题考查了菱形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 连接𝐵𝐷，先根据菱形的性质得出∠𝐷𝐵𝐶 = 35°，再根据三角形中位线性质得出𝐹𝐺 ∥ 𝐵𝐷，最后根据平行 线的性质即可得出答案． 6 【详解】解：连接𝐵𝐷 ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐴𝐵𝐶 = 70° ∴ ∠𝐷𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 35° ∵F、G分别为𝐵𝐶和𝐶𝐷的中点 ∴ 𝐹𝐺 ∥ 𝐵𝐷 ∴ ∠𝐶𝐹𝐺 = ∠𝐷𝐵𝐶 = 35° 故答案为：35． 13．某新能源公司计划逐年增加研发资金投入，已知该公司 2022 年全年投入的研发资金为 10 亿元， 2024 年全年投入的研发资金为 25 亿元，设每年平均增加率为𝑥，可列出方程为 ． 【答案】10(𝑥 + 1)2 = 25 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列方程即可，解题关键是正确寻找等 量关系，列出方程． 【详解】解：由题意可得10(𝑥 + 1)2 = 25， 故答案为：10(𝑥 + 1)2 = 25． 14．已知 m为方程𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0的一个根，则代数式𝑚3 + 2𝑚2 − 2𝑚 + 6的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题．先将 m 代入方程得𝑚2 + 𝑚 = 3，再将𝑚2 + 𝑚 = 3代入𝑚2(𝑚 + 2) − 2(𝑚 − 3)变形后的式子进行化简求值即 可． 【详解】解：根据题意得：𝑚2 + 𝑚 = 3， ∵ 𝑚3 + 2𝑚2 − 2𝑚 + 6 = 𝑚3 + 𝑚2 + 𝑚2 − 2𝑚 + 6 = 𝑚(𝑚2 + 𝑚) + 𝑚2 − 2𝑚 + 6 = 3𝑚 + 𝑚2 − 2𝑚 + 6 = 𝑚2 + 𝑚 + 6 = 3 + 6 = 9． 故答案为：9． 15．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐴𝐷 = 60°，𝐵𝐷 = 2．以点𝐴为圆心，𝐴𝐵的长为半径画弧𝐵𝐷⌢ ，则图中阴 影部分的面积为 ． 【答案】2√3 − 2 3 𝜋 【分析】首先根据菱形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形，可求得 AB、BD、AC的长，再根 据𝑆阴影=𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆扇形，即可求得． 【详解】解：∵四边形 ABCD是菱形 ∴ 𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐶=2𝐴𝑂，𝐷𝑂= 1 2 𝐵𝐷=1 ∵ ∠𝐵𝐴𝐷 = 60° ∴ △𝐴𝐵𝐷是等边三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=2 ∴ 𝐴𝑂=√𝐴𝐷2 − 𝐷𝑂2=√22 − 12=√3 ∴ 𝐴𝐶=2𝐴𝑂=2√3 ∴ 𝑆阴影=𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆扇形 = 1 2 𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 − 60𝜋⋅𝐴𝐵2 360 = 1 2 × 2√3 × 2 − 60𝜋×22 360 7 =2√3 − 2 3 𝜋 故答案为：2√3 − 2 3 𝜋 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形及扇形的面积公式，求 出 AB、BD、AC的长是解决本题的关键． 16．若关于𝑥的不等式组{ 𝑥+3 2 > 2 2𝑥 − 𝑚 ≤ 2 ，有解且至多有两个偶数解，且关于𝑥的分式方程 𝑚𝑥−3 2−𝑥 + 1 𝑥−2 = 1 的解为正整数，则符合条件的整数𝑚的值的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次不等式及解分式方程，先求出不等式组的解集1 < 𝑥 ≤ 2+𝑚 2 ，根据题意 得0 < 𝑚 < 10，解分式方程得𝑥 = 5 𝑚 ，根据题意得𝑚 = 5或 1，符合0 < 𝑚 < 10，则再将符合条件的数 相加即可求解，熟练掌握不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：化简得：{ 𝑥 + 3 > 4 2𝑥 − 𝑚 ≤ 2 ， 解不等式组得：1 < 𝑥 ≤ 2+𝑚 2 ， ∵不等式组至多有两个偶数解， ∴ 1 < 2+𝑚 2 < 6， ∴ 0 < 𝑚 < 10， 方程 𝑚𝑥−3 2−𝑥 + 1 𝑥−2 = 1， 解得：𝑥 = 5 𝑚 ， ∵分式方程的解为正整数， ∴ 𝑚 = 5或 1， 结合0 < 𝑚 < 10得：符合条件的整数𝑚的值的和为：5 + 1 = 6， 故答案为：6． 17．如图，点 O为△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆圆心，点𝐸为圆上一点，𝐵𝐶、𝑂𝐸互相平分，𝐶𝐹 ⊥ 𝐴𝐸于𝐹，链接 𝐷𝐹，若𝑂𝐸 = 2√3，𝐷𝐹 = 1，则△ 𝐴𝐵𝐶的周长为 ． 【答案】6 + 2√33/2√33 + 6 【分析】先利用垂径定理得 OE⊥BC，𝐵𝐸⌢ = 𝐶𝐸⌢，再利用正弦函数和直角三角形的性质以及圆周角定理 求得∠AGF=∠ACF=∠GAC=60°，进而得到△AGC是等边三角形，过 C作 CH⊥AB于 H，则 AH=GH， CH=√3GH，利用等边三角形的性质和三角形的中位线性质求得 AC=AG，BG=2DF=2，AH=GH， CH=√3GH，然后利用勾股定理求解 GH即可求解． 【详解】解：连接 OB，延长 CF交 AB于 G， ∵BC、OE互相平分，𝑂𝐸 = 2√3 ∴BD=CD，OD=DE=√3，𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 = 2√3 ∴OE⊥BC，𝐵𝐸⌢ = 𝐶𝐸⌢， ∴sin∠OBD= 𝑂𝐷 𝑂𝐵 = 1 2 ， 8 ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°，BD=√3OD=3，即 BC=6， ∴∠BAE=∠CAE= 1 2 ∠BOD=30°， ∵CF⊥AE， ∴∠AFG=∠AFC=90°， ∵AF=AF， ∴∆𝐴𝐹𝐺 ≅ ∆𝐴𝐹𝐶， ∴∠AGF=∠ACF=∠GAC=60°， ∴△AGC是等边三角形， ∴GF=CF，AC=AG， ∴BG=2DF=2， 过 C作 CH⊥AB，则 AH=GH，CH=√3GH， 在 Rt△BCH中，由勾股定理得：𝐶𝐻2 + 𝐵𝐻2 = 𝐵𝐶2， ∴(√3𝐺𝐻) 2 + (2 + 𝐺𝐻)2 = 62， 解得：𝐺𝐻 = −1+√33 2 或𝐺𝐻 = −1−√33 2 （负值舍去）， ∴AC=AG=2GH=−1 + √33，AB=AG+BG=1 + √33 ∴△ABC的周长为 AB+BC+AC=1 + √33+6+（−1 + √33）=6 + 2√33， 故答案为：6 + 2√33． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理、解直角三角形，等边三角形的判定与 性质、三角形的中位线性质、勾股定理以及解一元二次方程等知识，综合性比较强，难度较大，解答 关键是熟练掌握各个知识点之间的联系与运用，注意数形结合思想的运用． 18．对于一个四位正整数𝐴 = 𝑎𝑏𝑐𝑑，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之 和为 9，十位数字比百位数字大 2，则称这个四位正整数 A是“优胜数”．则符合条件的 A的最大数与最 小数的差为 ，𝑄(𝐴) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑， 𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2|，若 𝑄(𝐴) 𝑅(𝐴) 能被 7 整除，则所有满足条件 的四位正整数 A的和为 【答案】 7653 15743 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式得应用等知识，根据题意求出当𝑏 = 7, 𝑑 = 1时，A的最大数为110𝑏 − 999𝑑 + 9020 = 8791，当𝑏 = 1, 𝑑 = 8时，A的最小数为110𝑏 − 999𝑑 + 9020 = 1138，即可求出符合条件的 A的最大数与最小数的差，根据题意求出𝑄(𝐴) = 9 + 2𝑏 = 21，则𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 1或𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 2或𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 3，进一步求出所有满足条件的四 位正整数 A，即可求出所有满足条件的四位正整数 A的和． 【详解】解：∵四位正整数𝐴 = 𝑎𝑏𝑐𝑑是“优胜数”． ∴𝑎 + 𝑑 = 9, 𝑐 − 𝑏 = 2， ∴𝑎 = 9 − 𝑑, 𝑐 = 𝑏 + 2， ∵1 ≤ 𝑎 ≤ 9,1 ≤ 𝑐 ≤ 9 ∴3 ≤ 𝑏 + 2 ≤ 9，1 ≤ 𝑑 ≤ 8，1 ≤ 𝑎 ≤ 8， ∴1 ≤ 𝑏 ≤ 7，1 ≤ 𝑑 ≤ 8， 可得到 A为1000(9 − 𝑑) + 100𝑏 + 10(𝑏 + 2) + 𝑑 = 110𝑏 − 999𝑑 + 9020， 当𝑏 = 7, 𝑑 = 1时，A的最大数为110𝑏 − 999𝑑 + 9020 = 8791， 当𝑏 = 1, 𝑑 = 8时，A的最小数为110𝑏 − 999𝑑 + 9020 = 1138， ∴最大值与最小值的差为8791 − 1138 = 7653； 𝑄(𝐴) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 9 − 𝑑 + 𝑏 + 𝑏 + 2 + 𝑑 = 9 + 2𝑏， 𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = |7 − 𝑑| ∵1 ≤ 𝑏 ≤ 7，1 ≤ 𝑑 ≤ 8， ∴11 ≤ 9 + 2𝑏 ≤ 23，−1 ≤ 7 − 𝑑 ≤ 6， ∴11 ≤ 𝑄(𝐴) ≤ 23，0 ≤ 𝑅(𝐴) ≤ 6， ∵ 𝑄(𝐴) 𝑅(𝐴) 能被 7 整除， ∴𝑄(𝐴) = 9 + 2𝑏 = 21，则𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 1或𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 2或𝑅(𝐴) = |𝑎 − 2| = 3， 解得𝑎 = 1，𝑏 = 6，𝑐 = 8, 𝑑 = 8， 𝑎 = 3，𝑏 = 6，𝑐 = 8, 𝑑 = 6， 或𝑎 = 4，𝑏 = 6，𝑐 = 8, 𝑑 = 5， 9 或𝑎 = 5，𝑏 = 6，𝑐 = 8, 𝑑 = 4， ∴所有满足条件的四位正整数 A为1688,3686,4685,5684, ∴所有满足条件的四位正整数 A的和为1688 + 3686 + 4685 + 5684 = 15743， 故答案为：7653，15743 三、解答题：（本大题共 8小题，19题 8分，20－26题各 10分，共 78分）解答时每小 题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡中对应的位置上． 19．计算： (1)(𝑥 − 2𝑦)2 − 2𝑦(𝑦 − 2𝑥) (2)(𝑚 + 1 + 2𝑚+3 𝑚+1 ) ÷ 𝑚2−4 𝑚+1 【答案】(1)𝑥2 + 2𝑦2； (2) 𝑚+2 𝑚−2 ． 【分析】本题考查了整式的运算，分式的运算，掌握整式的运算法则和分式的运算法则是解题的关 键． （1）利用完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则展开运算，再合并同类项即可； （2）先通分，进行括号里面的运算，再进行除法运算即可解答； 【详解】（1）解：原式= 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 − (2𝑦2 − 4𝑥𝑦)， = 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 − 2𝑦2 + 4𝑥𝑦， = 𝑥2 + 2𝑦2； （2）解：原式= [ (𝑚+1)2 𝑚+1 + 2𝑚+3 𝑚+1 ] × 𝑚+1 (𝑚+2)(𝑚−2) ， = [ 𝑚2+2𝑚+1 𝑚+1 + 2𝑚+3 𝑚+1 ] × 𝑚+1 (𝑚+2)(𝑚−2) ， = 𝑚2+4𝑚+4 𝑚+1 × 𝑚+1 (𝑚+2)(𝑚−2) ， = (𝑚+2)2 𝑚+1 × 𝑚+1 (𝑚+2)(𝑚−2) ， = 𝑚+2 𝑚−2 ． 20．学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂 线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线 段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点 A作𝐶𝐷的垂线，垂足为点M，交𝐵𝐷于点 N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，过 A作𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶于点 E，并交对角线𝐵𝐷于点 F，作𝐴𝑀 ⊥ 𝐶𝐷于点 M，交对角线𝐵𝐷于点 N．求证：𝐴𝐹 = 𝐴𝑁 证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形 ∴ 𝐴𝐵 =① ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 ∠𝐴𝐵𝐷 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐵 ∵ 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶，𝐴𝑀 ⊥ 𝐶𝐷 ∴ ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝑀𝐷 = 90° ∵ ∠𝐴𝐸𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐸 = 180° ∠𝐴𝑀𝐷 + ∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐷𝐴𝑀 = 180° ∴② ∴△ 𝐴𝐵𝐹≌③ ∴ 𝐴𝐹 = 𝐴𝑁 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 ④ ． 【答案】作图见解析；①𝐴𝐷；②∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝑁；③△ 𝐴𝐷𝑁；④两交点到顶点的距离相等 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是 解题的关键．用尺规作图作出过 A与𝐶𝐷垂直的垂线；由菱形的性质易证△ 𝐴𝐵𝐹≌ △ 𝐴𝐷𝑁，则可得 10 𝐴𝐹 = 𝐴𝑁；由此可归纳出结论． 【详解】解：作图如下： 证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐵𝐷 = 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐵； ∵ 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐶，𝐴𝑀 ⊥ 𝐶𝐷， ∴ ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝑀𝐷 = 90°； ∵ ∠𝐴𝐸𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐸 = 180°， ∠𝐴𝑀𝐷 + ∠𝐴𝐷𝐶 + ∠𝐷𝐴𝑀 = 180° ∴ ∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝑁， ∴△ 𝐴𝐵𝐹≌ △ 𝐴𝐷𝑁， ∴ 𝐴𝐹 = 𝐴𝑁； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离 相等． 故答案为：①𝐴𝐷；②∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝑁；③△ 𝐴𝐷𝑁；④两交点到顶点的距离相等． 21．为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防 护”知识的测试，现从中各随机选出 20 名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和 分析，（测试成绩用 x表示，共分为四个等级：A：𝑥 < 70，B：70 ≤ 𝑥 < 80，C：80 ≤ 𝑥 < 90，D： 90 ≤ 𝑥 ≤ 100），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94， 94，96，96． 八年级等级 C 的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：𝑎 =______，𝑏 =______，𝑚 =______． (2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即 可） (3)若该校七年级有 1200 名学生参加测试，八年级有 1500 名学生参加测试，请估计两个年级参加测试 学生中成绩优秀（大于或等于 90 分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)88，87，35 (2)八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数 87 分大于七年级中位数 85.5 分 (3)共有 960 人 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图中的项目，求中位数与众数． （1）由抽取的七年级学生成绩可得众数，即得 a的值；根据八年级抽取的学生成绩可分别求得 A、B 两个等级的人数，从而可确定中位数，即得 b的值；由 C 等级的人数及抽取的总人数即可求得 C 等级 的占比，从而确定 m的值； （2）两班平均成绩相同，根据中位数即可判断； （3）利用样本估计总体的思想，分别计算两个年级 D 等级的人数的和，即可求解． 【详解】（1）解：由抽取的七年级学生成绩知，88 出现的次数最多，故众数为 88，即𝑎 = 88； 11 八年级抽取的学生成绩中，A 等级的人数为20 × 10% = 2（人），B 等级的人数为20 × 15% = 3 （人），八年级等级 C 的学生有 7 个，按高低排列为： 81，82， 83，86，87，87， 89，则中位数 𝑏 = 87+87 2 = 87； 而𝑚% = 7 20 × 00% = 35%，故𝑚 = 35； 故答案为：88；87；35； （2）解：八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数 87 分大于七年级中位数 85.5 分． （3）解：两个年级 D 等级人数为：1200 × 6 20 + 1500 × (1 − 10% − 15% − 35%) = 960（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于 90 分）的学生共有 960 人． 22．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区 首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活 动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队 早 40 分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前 30 分钟内，平均每分钟消耗热量 10 卡路里，超过 30 分钟后，每多登山 2 分钟，平均每分钟消耗的热 量就增加 1 卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗 1050 卡路里热量，小明从山路登山直至山 顶共用多少分钟．．？ 【答案】(1)第一队的登山速度为 3 千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时 (2)60 分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为 x千米/小时，则第一队的登山速度为1.2𝑥千米/小时，根据第一队比第二 队早 40 分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用 m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗 1050 卡的热量”列 出关于 m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为 x千米/小时，则第一队的登山速度为1.2𝑥千米/小时， 由题意得， 10 𝑥 − 10 1.2𝑥 = 40 60 ， 解得𝑥 = 2.5， 经检验，𝑥 = 2.5是原方程的解，且符合题意， ∴1.2𝑥 = 3， ∴第一队的登山速度为 3 千米/小时， 第二队的登山速度为2.5千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用 m分钟， 由题意得，30 × 10 + (10 + 𝑚−30 2 ) (𝑚 − 30) = 1050， 解得𝑚 = 60或𝑚 = −20（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用 60 分钟． 23．如图 1，在△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 4cm．点𝑃从点𝐴出发，以2cm/s的速度沿折线𝐴 → 𝐵 → 𝐶运动，同时点𝑄从点𝐵出发，以1cm/s的速度沿线段 BC运动．当点𝑃到达点𝐶时，P，Q停止运 动．设点𝑃运动的时间为𝑥(s),△ 𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦1(cm 2)． (1)请直接写出𝑦1与𝑥的函数关系式，并注明自变量𝑥的取值范围； (2)在图 2 平面直角坐标系中，画出𝑦1的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若𝑦1与𝑥的函数图象与直线𝑦2 = −𝑥 + 𝑛有两个交点，则𝑛的取值范围是_____________． 【答案】(1)𝑦1 = { 𝑥2(0 ≤ 𝑥 ≤ 2) 8 − 2𝑥(2 < 𝑥 ≤ 4) (2)当𝑥 = 2时，𝑦1 = 4为最大值（答案不唯一） (3)4 ≤ 𝑛 < 6 12 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合． （1）分两种情况分别计算即可； （2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质； （3）平移𝑦2 = −𝑥 + 𝑛，找到与𝑦1的函数图象有两个交点的范围即可． 【详解】（1）当点𝑃在线段𝐴𝐵上时，0 ≤ 𝑥 ≤ 2， 此时𝐴𝑃 = 2𝑥，𝐵𝑄 = 𝑥， ∴𝑦1 = 𝑆△𝐴𝑃𝑄 = 1 2 𝐴𝑃 ⋅ 𝐵𝑄 = 1 2 × 2𝑥 ⋅ 𝑥 = 𝑥2； 当点𝑃在线段𝐵𝐶上时，2 < 𝑥 ≤ 4， 此时𝐵𝑃 = 2𝑥 − 4，𝐵𝑄 = 𝑥， ∴𝑃𝑄 = 𝐵𝑄 − 𝐵𝑃 = 4 − 𝑥， ∴𝑦1 = 𝑆△𝐴𝑃𝑄 = 1 2 𝐴𝐵 ⋅ 𝑃𝑄 = 1 2 × 4(4 − 𝑥) = 8 − 2𝑥； 综上所述，𝑦1 = { 𝑥2(0 ≤ 𝑥 ≤ 2) 8 − 2𝑥(2 < 𝑥 ≤ 4) （2）函数图象如下： 根据函数图象可得，当𝑥 = 2时，𝑦1 = 4为最大值（答案不唯一）； （3）平移𝑦2 = −𝑥 + 𝑛，如图所示： 当𝑦2 = −𝑥 + 𝑛过(4,0)时，有两个交点，此时函数解析式为𝑦2 = −𝑥 + 4，𝑛 = 4， 当𝑦2 = −𝑥 + 𝑛过(2,4)时，有一个交点，此时函数解析式为𝑦2 = −𝑥 + 6，𝑛 = 6， ∴若𝑦1与𝑥的函数图象与直线𝑦2 = −𝑥 + 𝑛有两个交点，则𝑛的取值范围是4 ≤ 𝑛 < 6， 故答案为：4 ≤ 𝑛 < 6． 24．如图，笔直的海岸线 l上有 A、B两个观测站，A在 B的正东方向．有一艘渔船在点 P处，从 A处 测得渔船在北偏西60°的方向，从 B处测得渔船在其东北方向，且测得 B、P两点之间的距离为 20 海 里． (1)求观测站 A、B之间的距离（结果保留根号）； (2)渔船从点 P处沿射线𝐴𝑃的方向航行一段时间后，到点 C处等待补给，此时，从 B测得渔船在北偏西 15°的方向．在渔船到达 C处的同时，一艘补给船从点 B出发，以每小时 20 海里的速度前往 C处，请 问补给船能否在 83 分钟之内到达 C处？（参考数据：√3 ≈ 1.73） 13 【答案】(1)观测站 A、B之间的距离为(10√2 + 10√6)海里． (2)补给船能在 83 分钟之内到达 C处，理由见解析． 【分析】（1）过点 P作𝑃𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于 D点，可得∠𝐵𝐷𝑃 = ∠𝐴𝐷𝑃 = 90°，然后在Rt △ 𝑃𝐵𝐷中，利用锐角 三角函数的定义求出𝐵𝐷，𝐷𝑃的长，再在Rt △ 𝑃𝐴𝐷中，利用锐角三角函数的定义求出𝐴𝐷的长，进行计 算即可解答； （2）过点 B作𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，垂足为 F，根据题意得：∠𝐴𝐵𝐶 = 105°，∠𝑃𝐴𝐷 = 30°，从而求出∠𝐶 = 45°， 然后在Rt △ 𝐴𝐵𝐹中，利用锐角三角函数的定义求出𝐵𝐹的长，再在Rt △ 𝐵𝐶𝐹中，利用锐角三角函数的定 义求出𝐵𝐶的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点 P作𝑃𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于 D点， ∴∠𝐵𝐷𝑃 = ∠𝐴𝐷𝑃 = 90°， 在Rt △ 𝑃𝐵𝐷中，∠𝑃𝐵𝐷 = 90° − 45° = 45°，𝐵𝑃 = 20海里， ∴𝐷𝑃 = 𝐵𝑃 · sin45° = 10√2（海里）， 𝐵𝐷 = 𝐵𝑃 · cos45° = 10√2（海里）， 在Rt △ 𝑃𝐴𝐷中，∠𝑃𝐴𝐷 = 90° − 60° = 30°， ∴𝐴𝐷 = 𝐷𝑃 tan30° = 10√6（海里）， ∴𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 + 𝐴𝐷 = (10√2 + 10√6)海里， ∴观测站 A，B之间的距离为(10√2 + 10√6)海里； （2）补给船能在 82 分钟之内到达 C处， 理由：过点 B作𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，垂足为 F， ∴∠𝐴𝐹𝐵 = ∠𝐶𝐹𝐵 = 90°， 由题意得：∠𝐴𝐵𝐶 = 90° + 15° = 105°，∠𝑃𝐴𝐷 = 90° − 60° = 30°， ∴∠𝐶 = 180° − ∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝑃𝐴𝐷 = 45°， 在Rt △ 𝐴𝐵𝐹中，∠𝐵𝐴𝐹 = 30°， ∴𝐵𝐹 = 1 2 𝐴𝐵 = (5√2 + 5√6)海里， 在Rt △ 𝐵𝐶𝐹中，∠𝐶 = 45°， ∴𝐵𝐶 = 𝐵𝐹 sin45° = √2(5√2 + 5√6) = (10 + 10√3)海里， ∴补给船从 B到 C处的航行时间= 10+10√3 20 × 60 = 30 + 30√3 ≈ 81.9（分钟）< 83分钟， ∴补给船能在 83 分钟之内到达 C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅 助线是解题的关键． 25．如图，抛物线𝑦 = − 1 2 𝑥⬚⬚2 + 𝑏𝑥 + 𝑐过点 A（−3，2），且与直线𝑦 = 𝑥 + 7 2 交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（−4，m）． 14 （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点 D 作 DE⊥x轴交直线 BC 于点 E，点 P 为对称轴 上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y轴上是否存在点 Q，使得∠AQM=45°？若存在，求点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）𝑦 = − 1 2 𝑥2 − 𝑥 + 7 2 ；（2）PD+PA 的最小值为 3√5 2 ；（3）Q1（0，2-√3）、Q2（0， 2+√3）． 【分析】（1）将点 B 的坐标为（-4，m）代入𝑦 = 𝑥 + 7 2 ，𝑚 = −4 + 7 2 = − 1 2 ，B 的坐标为（-4， − 1 2 ），将 A（-3，2），B（-4，− 1 2 ）代入 y=− 1 2 x2+bx+c，解得 b=-1，c= 7 2 ，因此抛物线的解析式 y=−− 1 2 x2-x+ 7 2 ； （2）设 D（m，− 1 2 m2-m+ 7 2 ），则 E（m，m+ 7 2 ），DE=（− 1 2 m2-m+ 7 2 ）-（m+ 7 2 ）=− 1 2 m2-2m=− 1 2 （m+2）2+2，当 m=-2 时，DE 有最大值为 2，此时 D（-2， 7 2 ），作点 A 关于对称轴的对称点 A'，连 接 A'D，与对称轴交于点 P．PD+PA=PD+PA'=A'D，此时 PD+PA 最小； （3）作 AH⊥对称轴于点 H，连接 AM、AQ、MQ、HA、HQ，由 M（-1，4），A（-3，2），可得 AH=MH=2，H（-1，2）因为∠AQM=45°，∠AHM=90°，所以∠AQM= 1 2 ∠AHM，可知△AQM 外接圆的 圆心为 H，于是 QH=HA=HM=2 设 Q（0，t），则√(0+1)2 + (𝑡 − 2)2 = 2，t=2+√3或 2-√3，求得符 合题意的点 Q 的坐标：Q1（0，2-√3）、Q2（0，2+√3）． 【详解】解：（1）将点 B 的坐标为（-4，m）代入𝑦 = 𝑥 + 7 2 ，得 m=-4+ 7 2 =- 1 2 ， ∴B 的坐标为（-4，- 1 2 ）， 将 A（-3，2），B（-4，- 1 2 ）代入 y=- 1 2 x2+bx+c， { − 1 2 × 32 − 3𝑏 + 𝑐 = 2 − 1 2 × (−4)2 − 4𝑏 + 𝑐 = − 1 2 解得 b=-1，c= 7 2 ， ∴抛物线的解析式 y=− 1 2 x2-x+ 7 2 ； （2）设 D（m，− 1 2 m2-m+ 7 2 ），则 E（m，m+ 7 2 ）， DE=（− 1 2 m2-m+ 7 2 ）-（m+ 7 2 ）=− 1 2 m2-2m=- 1 2 （m+2）2+2， ∴当 m=-2 时，DE 有最大值为 2， 此时 D（-2， 7 2 ）， 作点 A 关于对称轴的对称点 A'，连接 A'D，与对称轴交于点 P． PD+PA=PD+PA'=A'D，此时 PD+PA 最小， ∵A（-3，2）， ∴A'（1，2）， A'D=√(−2 − 1)2 + ( 7 2 − 2) 2 = 3 2 √5， 15 即 PD+PA 的最小值为 3 2 √5； （3）作 AH⊥对称轴于点 H，连接 AM、AQ、MQ、HA、HQ， ∵抛物线的解析式𝑦 = − 1 2 𝑥2 − 𝑥 + 7 2 ， ∴M（-1，4）， ∵A（-3，2）， ∴AH=MH=2，H（-1，2） ∵∠AQM=45°，∠AHM=90°， ∴∠AQM= 1 2 ∠AHM， 可知△AQM 外接圆的圆心为 H， ∴QH=HA=HM=2 设 Q（0，t）， 则√(0+1)2 + (𝑡 − 2)2 = 2， 解得，t=2+√3或 2-√3 ∴符合题意的点 Q 的坐标：Q1（0，2-√3）、Q2（0，2+√3）． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是 解题的关键． 26．△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 60°，D为𝐵𝐶边的中点，连接𝐴𝐷． (1)如图 1，若∠𝐵 = 45°，𝐵𝐶 = 3 + √3，求△ 𝐴𝐵𝐷的面积； (2)如图 2，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，𝐹为𝐴𝐵上一点，将𝐷𝐹绕点 D顺时针旋转60°得线段𝐷𝐺，作𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺交𝐵𝐺的 延长线于点𝐸，如果𝐷𝐺 = 𝐸𝐺，求证：𝐶𝐺 = √2𝐷𝐹； (3)如图 3，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，𝐹为𝐴𝐵上一点，将𝐷𝐹绕点𝐷顺时针旋转60°得线段𝐷𝐺，当𝐴𝐺最小时，𝐾为平 面内一点，将△ 𝐾𝐹𝐶沿𝐶𝐾翻折得△ 𝐾𝐹′𝐶，当𝐹𝐹′最大时，直接写出 𝑆△𝐷𝐶𝐹′ 𝑆△𝐴𝐹𝐺 的值． 【答案】(1) 9+3√3 4 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）作𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐻，由∠𝐴𝐶𝐵 = 60°得到∠𝐻𝐴𝐶 = 90° − 60° = 30°，利用比例关系设设 𝐻𝐶 = 𝑥，𝐴𝐶 = 2𝑥，用含𝑥的式子表达出𝐵𝐶长度求解即可； （2）连接𝐴𝐺，𝐴𝐸，利用等边三角形的判断方法判定出△ 𝐴𝐷𝐶为等边三角形，借助等边三角形的性质 证出△ 𝐹𝐷𝐴 ≌△ 𝐺𝐷𝐶，由全等的性质得到∠𝐴𝐶𝐺 = ∠𝐷𝐶𝐺，推出𝐴𝐺 = 𝐷𝐺，利用𝐴，𝐵，𝐶，𝐸四点共 圆，证出△ 𝐴𝐸𝐺为等边三角形，借助等边三角形的性质证出△ 𝐴𝐺𝐷 ≌△ 𝐴𝐸𝐶，由全等的性质得到△ 𝐶𝐸𝐺为等腰直角三角形后即可解答； 16 （3）寻找出𝐺点的运动轨迹后，推导出𝐹𝐹′最大时候的位置，再利用中线平分面积和三角形的面积公 式进行比较即可． 【详解】（1）解：作𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐻， 解：∵∠𝐴𝐶𝐵 = 60°， ∴∠𝐻𝐴𝐶 = 90° − 60° = 30°， ∴𝐻𝐶 = 1 2 𝐴𝐶， ∴设𝐻𝐶 = 𝑥，𝐴𝐶 = 2𝑥，则𝐴𝐻 = √𝐴𝐶2 − 𝐻𝐶2 = √(2𝑥)2 − (𝑥)2 = √3𝑥， ∵∠𝐵 = 45°， ∴∠𝐵𝐴𝐻 = 90° − 45° = 45° = ∠𝐵， ∴𝐵𝐻 = 𝐴𝐻 = √3𝑥， ∴𝐵𝐶 = 𝐵𝐻 + 𝐻𝐶 = √3𝑥 + 𝑥 = 3 + √3， 解得：𝑥 = √3， ∴𝐴𝐻 = 3， ∵D 为𝐵𝐶边的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷 = 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 × 1 2 𝐵𝐶 × 𝐴𝐻 = 1 2 × 1 2 × (3 + √3) × √3 = 9+3√3 4 ； （2）解：连接𝐴𝐺，𝐴𝐸，如图所示： ∵∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，D为𝐵𝐶的中点， ∴𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 = 1 2 𝐵𝐶， ∵∠𝐴𝐶𝐵 = 60°， ∴△ 𝐴𝐷𝐶为等边三角形， ∴∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐷𝐴𝐶 = 60°， ∵𝐷𝐹绕点 D顺时针旋转60°得线段𝐷𝐺， ∴𝐷𝐹 = 𝐷𝐺，∠𝐹𝐷𝐺 = 60° = ∠𝐴𝐷𝐶， ∴∠𝐹𝐷𝐺 − ∠𝐴𝐷𝐺 = ∠𝐴𝐷𝐶 − ∠𝐴𝐷𝐺， ∴∠𝐹𝐷𝐴 = ∠𝐺𝐷𝐶， ∴在△ 𝐹𝐷𝐴和△ 𝐺𝐷𝐶中， { 𝐷𝐹 = 𝐷𝐺 ∠𝐹𝐷𝐴 = ∠𝐺𝐷𝐶 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 ， ∴△ 𝐹𝐷𝐴 ≌△ 𝐺𝐷𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐷 = ∠𝐷𝐶𝐺， ∵∠𝐹𝐴𝐷 = 90° − ∠𝐷𝐴𝐶 = 90° − 60° = 30°， ∴∠𝐷𝐶𝐺 = ∠𝐹𝐴𝐷 = 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐺 = 60° − 30° = ∠𝐷𝐶𝐺， ∴由三线合一可得：𝐶𝐺为𝐴𝐷的中垂线， ∴𝐴𝐺 = 𝐷𝐺， ∵𝐷𝐺 = 𝐺𝐸， ∴𝐴𝐺 = 𝐺𝐸， ∵𝐶𝐸 ⊥ 𝐵𝐺， ∴∠𝐵𝐸𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶 = 90°， ∴𝐴，𝐵，𝐶，𝐸四点共圆， ∴∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 60°， ∴△ 𝐴𝐸𝐺为等边三角形， ∴𝐴𝐸 = 𝐴𝐺，∠𝐺𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝐶 = 60°， 17 ∴∠𝐺𝐴𝐸 − ∠𝐺𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐶 − ∠𝐺𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐺 = ∠𝐶𝐴𝐸， ∴在△ 𝐴𝐺𝐷和△ 𝐴𝐸𝐶中， { 𝐴𝐺 = 𝐴𝐸 ∠𝐷𝐴𝐺 = ∠𝐶𝐴𝐸 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶 ， ∴△ 𝐴𝐺𝐷 ≌△ 𝐴𝐸𝐶， ∴𝐸𝐶 = 𝐷𝐺 = 𝐺𝐸， ∴△ 𝐶𝐸𝐺为等腰直角三角形， ∴𝐶𝐺2 = 𝐺𝐸2 + 𝐶𝐸2 = 2𝐶𝐸2， ∴𝐶𝐺 = √2𝐶𝐸， ∴𝐶𝐺 = √2𝐷𝐹； （3）解：由（2）同理可得：△ 𝐹𝐷𝐴 ≌△ 𝐺𝐷𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐷 = ∠𝐺𝐶𝐷 = 30° = ∠𝐴𝐶𝐺， ∴点𝐺在直线𝐶𝑀上运动，如图所示： ∴当𝐴𝐺 ⊥ 𝐶𝑀时取最小值，此时𝐺为𝐴𝐷的中点， ∴∠𝐷𝐺𝐶 = 90° = ∠𝐷𝐹𝐴，𝐹为𝐴𝐵的中点， 由翻折的性质可得𝐹𝐶 = 𝐹′𝐶，即点𝐹的运动轨迹为⊙ 𝐶， ∴当弦𝐹𝐹′为直径的时候，𝐹𝐹′最大，此时𝐶为𝐹𝐹′中点， 过𝐴做𝐴𝐻 ⊥ 𝐹𝐻于𝐹𝐺的延长线于点𝐻，𝐹𝑆 ⊥ 𝐵𝐶于点𝑆，连接𝐷𝐹′，如图所示： ∵为𝐶为𝐹𝐹′中点， ∴𝑆△𝐷𝐶𝐹 = 𝑆△𝐷𝐶𝐹′， ∵𝐹和𝐺分别是𝐴𝐵，𝐴𝐷的中点， ∴𝐹𝐺 = 1 2 𝐵𝐷 = 1 2 𝐶𝐷，且𝐴𝐻 = 𝐹𝑆， ∴ 𝑆△𝐷𝐶𝐹′ 𝑆△𝐴𝐹𝐺 = 1 2 𝐷𝐶×𝐹𝑆 1 2 𝐹𝐺×𝐴𝐻 = 2． 【点睛】本题为几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定 理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．