第01讲 直线的方程（九大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第01讲 直线的方程 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）直线的倾斜角与斜率 （2）直线的方程 2008年江苏卷第9题，5分 2006年上海卷第11题，4分 高考对直线方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等，特别要重视直线方程的求法. 复习目标： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. （2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l_____ 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 . x轴正向 向上 0°≤α<180° 8 知识梳理·基础回归 知识点1：直线的倾斜角和斜率 2.直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°) (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ . 正切值 tan α 9 知识梳理·基础回归 知识点2：直线的方程 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 10 【典例1-1】直线的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】由题意可将原直线方程变形， 则直线的斜率为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为． 故答案为：． 题型一：倾斜角与斜率的计算 题型突破·考法探究 【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【解析】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为．  【方法技巧】 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 题型一：倾斜角与斜率的计算 题型突破·考法探究 【变式1-1】（2024·河南信阳·二模）已知直线的倾斜角为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由直线方程，得直线斜率， 所以． 故答案为： 题型一：倾斜角与斜率的计算 题型突破·考法探究 【典例2-1】若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴． 故答案为：． 题型二：三点共线问题 题型突破·考法探究 【典例2-2】若三点，， （其中）共线，则 ． 【答案】 【解析】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以．   【方法技巧】 斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 题型二：三点共线问题 题型突破·考法探究 【变式2-1】若三点共线，则的值为 ． 【答案】 【解析】依题意有， 即， 解得． 题型二：三点共线问题 题型突破·考法探究 【典例3-1】已知，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是，， 故答案为：， 题型三：过定点的直线与线段相交问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足， 因，，故． 故答案为：．  【方法技巧】 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 题型三：过定点的直线与线段相交问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 题型三：过定点的直线与线段相交问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为中线CE所在直线方程为，所以可设， 由AC中点为，可得， 所以， 为等腰直角三角形，CE为中线，， ， ①， 又是的中点，， ，， 化简得： ②， 由①②解得，所以点，又因为， 所以直线方程为，即所求方程为． 题型四：直线的方程 题型突破·考法探究 【典例4-2】已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线经过原点时，直线方程为：． 当直线不经过原点时，设直线方程为：， 把点代入，解得． 直线方程为． 综上可得直线方程为：或， 故答案是：或．  【方法技巧】 要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式． 题型四：直线的方程 题型突破·考法探究 【变式4-1】已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是 ． 【答案】 【解析】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为． 故答案为： 题型四：直线的方程 题型突破·考法探究 【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． （1）当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； （2）求面积的最小值． 【解析】（1）由题意可设、，且、． 当AB的中点为P时，则，解得，，所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． （1）当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； （2）求面积的最小值． 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得．由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或，， 当，即，时，， 即，则， 此时、符合题意．综上，． 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】已知直线过点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线分别与轴的正半轴，轴的正半轴交于、两点，为原点．若的面积为，求直线的方程． 【解析】（1）与直线垂直的直线的方程可设为， 将点的坐标代入直线的方程得， 解得， 所以直线的方程为． （2）设直线的方程为， 由题意可的，解的， 所以直线的方程为，即．  题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 题型突破·考法探究 【变式5-1】过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或， 所以或， 设，则或，则或 解得或，即或， 即或， 所以这样的直线有条．故选：D 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 ． 【答案】 【解析】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为． ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴ 题型六：两直线的夹角问题 题型突破·考法探究 【典例6-2】（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】 【解析】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为  【方法技巧】 若直线与直线的夹角为，则． 题型六：两直线的夹角问题 题型突破·考法探究 【变式6-1】当 时，直线与直线的夹角为60°． 【答案】0或 【解析】由的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或， 故或． 故答案为：0或 题型六：两直线的夹角问题 题型突破·考法探究 【典例7-1】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是． 题型七：直线过定点问题 题型突破·考法探究 【典例7-2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 ． 【答案】 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点． 【方法技巧】 合并参数 题型七：直线过定点问题 题型突破·考法探究 【变式7-1】直线恒过定点为 ． 【答案】 【解析】直线， 化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 题型七：直线过定点问题 题型突破·考法探究 【典例8-1】若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即． 故答案为： 题型八：中点公式 题型突破·考法探究 【典例8-2】过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设中点为， 因为，所以在直线上， 由在直线上， 联立可得，解得，即中点为， 所以直线的斜率，所以的方程为，即． 【方法技巧】 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则 题型八：中点公式 题型突破·考法探究 【变式8-1】已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故答案为：． 题型八：中点公式 题型突破·考法探究 【典例9-1】（2024·高三·全国·课后作业）若过点且互相垂直的两条直线分别与轴、轴交于、两点，则中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，则，连接， ，， 即， 化简即得． 故答案为： 题型九：轨迹方程 题型突破·考法探究 【典例9-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，若点满足（，且），则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】点满足（，且）， ， ，， 由共线向量定理可知，三点共线，点的轨迹为直线， 又，直线的方程为：， 整理得：，故点的轨迹方程为， 【方法技巧】 （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 题型九：轨迹方程 题型突破·考法探究 【变式9-1】已知，点在直线上运动，，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，，， 则， 故，点在直线，故， 整理得到． 故答案为：． 题型九：轨迹方程 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 02 A D D A 1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 2．（2002年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 4．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（浙江卷））直线与直线的夹角是（    ） A． B． C． D． 40 05 课本典例·高考素材 1．判断，，三点是否共线，并说明理由． 【解析】因为，，， 所以， 因为， 所以A，B，C三点共线． 42 2．菱形的两条对角线分别位于x轴和y轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程． 【解析】由题意作出菱形图形，如图， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即， 直线的方程：，即 43 3．求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程． 【解析】（1）当截距为0时：直线为． （2）当截距不为0时， 设截距为，则直线为，将代入解得， 所以直线为． 综上所述：直线为或． 44 4．画出直线，并在直线l外取若干点，将这些点的坐标代入，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来． 【解析】画出直线的图象，如图： 取点， 把点代入直线方程， 代入分别为与； 将代入分别为与； 可得如下规律： 在直线的左上方的点，坐标代入，值小于； 在直线的右下方的点，坐标代入，值大于； 在直线上的点，坐标代入，值等于； 45 06 易错分析·答题模板 02 易错点：错误理解斜率与倾斜角间的关系 易错分析：斜率与倾斜角是直线在平面几何中的两个重要属性，它们之间存在紧密的关系，但也容易被误解．斜率表示直线的倾斜程度，是纵坐标差与横坐标差之商；而倾斜角则是直线与x轴正方向之间的夹角．误解常在于将斜率与倾斜角的正弦值混淆，或忽视了斜率不存在（即直线垂直于x轴）时倾斜角为90度这一特殊情况． 【易错题1】若经过两点A（4，2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角是直线 4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为 ． 【易错题2】直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． C 02 答题模板：求斜率的取值范围 1、模板解决思路 求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界值存在．接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧．简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧． 2、模板解决步骤 第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点． 第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率． 第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围． 【经典例题1】已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． A C 感谢观看 THANK YOU   $$