重难点07 椭圆中焦点三角形问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点07 椭圆中焦点三角形问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 4．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．4 9．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C． D．3 10．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为    ） A．4 B． C．8 D． 11．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·四川成都·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 16．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 17．（23-24高二上·江苏无锡·期中）过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 18．（23-24高二上·陕西西安·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 19．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 20．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 21．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，过点的直线与C交于A，B两点．若，，则（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．为等边三角形 D．为直角三角形 22．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 23．（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 24．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 三、填空题 25．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 26．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则 . 27．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 28．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则 . 29．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 30．（23-24高二上·福建泉州·期中）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 四、解答题 31．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 32．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 33．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 34．（23-24高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 椭圆中焦点三角形问题 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，为左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】对于椭圆，， 由题意可知，的周长为 . 故选：A. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）设椭圆的焦点分别为与.若此椭圆上存在点使得为正三角形，则（    ） A． B． C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据已知推得，焦点位于轴上，点位于短轴的顶点，结合椭圆的定义即可得出，进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知可得椭圆的焦点位于轴上且， 所以点位于短轴的端点，且，解得. 又，所以， 所以，. 故选：C. 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）设是椭圆上一点，、是椭圆的焦点，则三角形的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可知三角形的周长为，再由椭圆的方程可得. 【详解】   由得，， 所以，， 三角形的周长为， 故选：B 4．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案. 【详解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则， 则椭圆的标准方程为． 故选：D． 5．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆，点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，由已知条件得出，从而三点共线，且，则，再利用，即可求出离心率. 【详解】不妨设点在轴上方，设点的纵坐标为，设点的纵坐标为， 的内切圆半径为，取线段的中点，设点的纵坐标为， 因为，所以， 所以，即，所以三点共线，且， 则， ， ， ，所以， ，则椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定，求出的值，利用公式直接求解．（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求的关系式，再与组成方程组，消去得只含的方程，再化成关于的方程求解．（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的． 6．（23-24高二上·黑龙江·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线交椭圆C于M，N两点，且，若四边形的面积为16，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由椭圆的对称性以及得四边形是矩形，然后利用勾股定理和椭圆的定义进而求解结论． 【详解】因为直线过原点，根据椭圆的对称性得M，N两点关于原点对称， 又，且被点O平分，所以四边形为矩形， 对角线长为2c，即，且， 所以， 即， 而矩形的面积为，得， 故选：B. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可求出，再根据求出，即可得解. 【详解】由的周长为， 得， 又椭圆的焦距，则， 所以， 所以椭圆标准方程为. 故选：D.    8．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用向量的数量积和面积公式，即可得到，再根据数量积的公式得到，又因为，则可利用基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示： 不妨设，，（，），， 则可知，， 两式相除可得，所以， 又，所以， 可得（，）， 由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以． 故选：B． 9．（23-24高二上·山东日照·期中）如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】设椭圆方程，作出辅助线，由椭圆定义得到，，设，表达出其他边长，利用勾股定理得到方程，求出，，联立椭圆方程和圆的方程，求出，得到斜率. 【详解】设椭圆方程为，连接，    由题意得，，，⊥， 因为，设，则， 故，， 由勾股定理得，，即，解得， 又，即， 将代入中，解得， 又， 故椭圆方程为，又以为直径的圆的方程为， 联立与，解得， 故，故点， 所以直线的斜率为. 故选：A 10．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】直线恒过椭圆的左焦点，利用椭圆的定义求得的周长. 【详解】直线恒过定点为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义知的周长. 故选：C 11．（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以． 故选：A． 12．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 13．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 14．（23-24高三上·四川成都·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义及内切圆的性质得出的坐标关系，再利用正切的差角公式及基本不等式计算即可. 【详解】   设，， 设内切圆分别与轴相切于点， 则，， ， ， 又 ∴， 易知， ，， 设，， 当且仅当时等号成立， 故选：A 二、多选题 15．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 16．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，若，则， 即，故，故，故C正确； 对D，由余弦定理 ，即，解得，故，故D正确； 故选：ACD 17．（23-24高二上·江苏无锡·期中）过椭圆的右焦点作一条直线，交椭圆于、两点，则的内切圆面积可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AB 【分析】利用等面积法可求的内切圆半径的取值范围进而得到内切圆面积的范围，从而可得正确的选项. 【详解】设，，根据椭圆的定义可得，，，， ，，而， 所以， 设内切圆半径为， 因为， ， 设过的直线为， 由，消去并整理得，， ，，， ， 令，则， ，单调递增， 当时，取得最小值10，即. ，则. 所以的内切圆面积的范围为.（） 故选：AB. 18．（23-24高二上·陕西西安·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 【答案】AB 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D． 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B正确； 面积，而， ∴面积最大值为，故C错误； ∵， ∴以线段为直径的圆的方程，其圆心为，半径为1， 又直线方程为，∴圆心到直线的距离为， ∴以线段为直径的圆与直线相离，故D错误． 故选：AB． 19．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 【答案】BCD 【分析】A：先判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B：利用椭圆的定义以及的范围求解出周长的最小值； C：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果； D：将点设为，然后表示出的周长，结合三角形函数确定出周长最小时的值，从而可求面积. 【详解】对于A：因为点平分，所以四边形是平行四边形， 又因为，且，所以， 所以，所以有可能成立，故A不正确； 对于B：因为四边形是平行四边形，所以， 所以周长为，故B正确； 对于C：因为，设，所以， 所以，故C正确； 对于D：由题意可知，设，， 所以， 所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解. 20．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 【答案】AB 【分析】根据椭圆方程，求得，然后逐项判断. 【详解】解：∵椭圆方程为：， ， 的周长为，∴A正确； 面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 设在椭圆上，且异于，则， 所以，∴C错误； 椭圆的焦距为，∴D错误． 故选：AB 21．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，过点的直线与C交于A，B两点．若，，则（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．为等边三角形 D．为直角三角形 【答案】BD 【分析】设，根据比例关系得出，，，通过勾股定理可得，易判断CD，通过余弦定理得出可判断AB. 【详解】如图所示，设，则， 故，， 又因为，所以， 所以，即，即为直角三角形， 故C错误，D正确； 因为，由余弦定理得，得， 所以，即，故A错误； 所以椭圆的离心率为，故B正确； 故选：BD.    22．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】利用代入法，结合椭圆的定义、椭圆的性质、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 所以，解得，所以，故A正确； 的周长为， 故B错误； 设的内切圆的半径为， ， 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值，所以 的内切圆的半径的最大值， 所以的内切圆的面积的最大值为，故C正确； ， 因为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义和焦点三角形面积的性质. 23．（23-24高二上·山东淄博·期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，直线过且交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为定值8 B．的最大值4 C．|AB|的最小值为 D．若面积为1，则 【答案】AB 【分析】对于选项A,根据椭圆的几何性质可得答案.对于选项B,问题等价于以为直径的圆与椭圆是否有交点,求出圆的方程与椭圆方程联立,对于选项C,通过弦长公式得答案.对于选项D,分析面积表达式可得答案. 【详解】对于选项A：因为椭圆的方程,所以,即, 由椭圆的定义可得 两式相加得,所以得, 所以的周长为8，故A正确； 对于B选项：，，当且仅当时相等，此时，故B选项正确. 对于选项C:设直线方程为, 与椭圆方程联立得,消去,, 设又,则,. 故, 当时,即垂直于时, 最小为3,故C错误. 对于选项D: ,设， 将代入椭圆方程，，.故D错误. 故选：AB 24．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为2 C． D．的周长为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的短轴长以及离心率求得，即可求得椭圆方程，判断A；求出焦距判断B；求出椭圆的通径长判断C；结合的周长为4a，判断D. 【详解】对于A，设椭圆的方程为，则由题意得， 离心率为，即， 即椭圆的方程为，A错误； 对于B，由，可得椭圆的焦距为2，B正确； 对于C，不设椭圆的焦点，将代入中，    可得，故，C正确； 对于D，的周长为，D错误； 故选：BC 三、填空题 25．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，延长交椭圆于点，且为等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义可得，则，求得，结合余弦定理计算可得，即可求解. 【详解】由椭圆的定义知，的周长为 ， 因为为等边三角形，所以， 所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，，所以． 故答案为： 26．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则 . 【答案】1 【分析】利用椭圆定义以及余弦定理推出，根据，平方后结合数量积的运算律可得出答案. 【详解】由题意得椭圆的长轴长为，焦距为， 故，且， 即，得， 则； 由O为的中点，得， 故 ， 故，即， 故答案为：1 27．（23-24高二上·河北石家庄·期中）设点P为椭圆上一点，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】   设, 根据椭圆的定义可得，， 在中，设， 由余弦定理可得， ， 所以， 所以，所以， 所以， 故答案为: . 28．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和得到，再由求解. 【详解】解：由题意椭圆为两个焦点， 所以， 则①，即， 由余弦定理得， 又， 所以，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即. 故答案为： 29．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合． （1）当时， ． （2）椭圆上有 个点，使得为直角三角形 【答案】 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，设，根据已知列出关系式，求解得出的值，设，求出满足的点的个数，即可判断为直角三角形的个数. 【详解】由已知可得，，，， 所以，. 由椭圆的定义可得，，又， 如图1，设，由椭圆的定义可知，， 又， 所以， 即，解得，即； 设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如图，当点位于短轴顶点时有， 所以，满足的点有个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有个交点， 即满足以及的点各有个. 综上所述，椭圆上有且仅有个点，使得为直角三角形. 故答案为：； 30．（23-24高二上·福建泉州·期中）定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则 ，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则 ． 【答案】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解. 四、解答题 31．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为. （2）因为， 所以，所以， 所以. 32．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解的周长； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0求出切线方程，利用两平行线间的距离求解范围即可. 【详解】（1）已知椭圆方程为，所以， 的周长为，其中， 所以的周长为； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切， 则得，即 令，解得，所以， 当时，与之间的距离， 当时，与之间的距离为， 即椭圆上的点到直线距离的范围为. 33．（23-24高二上·江西宜春·期中）已知是椭圆的两个焦点，，为上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求； （2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以， 则，， 由椭圆的定义可得，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为， 所以，所以， 所以.    34．（23-24高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； （2）根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 试卷第30页，共30页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$