重难点09 椭圆中最值范围问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点09 椭圆中最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 6．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12 B．椭圆上存在点，使得 C．若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为 D．若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9 10．（23-24高二上·广东广州·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．记点A到直线的距离为，则的最小值为0 C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为 D．的面积的最大值为 11．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．的最小值为9 B．四边形的周长为8 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为 12．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 13．（23-24高二上·广东深圳·期中）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 14．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 16．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 17．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 19．（23-24高二上·河南安阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为 三、填空题 20．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 21．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 22．（23-24高二上·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 23．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知A，B两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A，B两点的距离之和为8km．当甲到A，B两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为 km． 24．（23-24高三上·河南·开学考试）已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ． 25．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，.若椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ；若在轴上方的上存在两个不同的点，满足，则椭圆离心率的取值范围是 . 26．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 四、解答题 27．（23-24高二上·安徽·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值. 28．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程. 29．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 30．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 32．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 33．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 34．（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆：的离心率为，左焦点与原点的距离为1.正方形的边，与轴平行，边，与轴平行，，.过的直线与椭圆交于，两点，线段的中垂线为.已知直线的斜率为，且. (1)若直线过点，求的值； (2)若直线与正方形的交点在边，上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围. 35．（23-24高二上·辽宁·期中）已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为，，短轴长为，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求证：直线恒过定点； (2)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 试卷第6页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点09 椭圆中最值范围问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求出最小值，进而可列方程求出. 【详解】椭圆，即， 则， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 解得. 故选：D. 3．（23-24高二上·河南·期中）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 5．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值. 【详解】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B 6．（23-24高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解. 【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是 故选：B. 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆上的点到右焦点与右准线距离之比为求出，再求出最小值即可. 【详解】如图所示， , 易知，则，则， 所以，所以， 所以， 所以当且仅当与重合的时候，此时， 此时， 故选：C 二、多选题 8．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆上一点，求得，求得和，进而可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率为，所以A不正确，B正确； 又由圆，可得圆心，半径为， 设椭圆上任意一点， 则， 令，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 9．（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，则以下说法正确的是（    ） A．若过的直线与椭圆交于两点，则的周长为12 B．椭圆上存在点，使得 C．若为椭圆上一点，且与的夹角为，则的面积为 D．若为椭圆上一点，为圆上一点，则点之间的最大距离是9 【答案】BC 【分析】根据的周长为即可判断A；设，根据求出点的坐标即可判断B；根据椭圆的定义结合余弦定理求出即可判断C；求出的最大值，再根据即可判断D. 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以， 对于A，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为，故A错误； 对于B，可取，设， 则，所以， 则， 所以， 解得， 所以椭圆上存在点，使得，故B正确； 对于C，由题意可得， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D，设， 则，所以， 则， 因为，所以，所以， 所以，故D错误. 故选：BC.    10．（23-24高二上·广东广州·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．记点A到直线的距离为，则的最小值为0 C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为 D．的面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A：当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；对于B：利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可运算求解；对于C：根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式运算求解；对于D：推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，换元结合二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】由题意可知：，    对于选项A：当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则； 当直线斜率均存在时，设，切线方程为：， 联立方程得：， 由， 整理可得：，则， 又因为，则，即，整理得， 所以点轨迹为； 且也满足， 所以蒙日圆的方程为，故A正确； 对于选项B，因为为椭圆上的点，则，即 可得， 因为的最小值为点到直线的距离，且， 可知， 所以，故B正确； 对于选项C：因为矩形四条边均与相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形， 设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以此矩形面积最大值为8，故C错误； 对于选项D：设位于椭圆上，下证：在A处的切线方程为， 由，即，可知在直线上， 联立方程，消去y得， 即，解得，即直线与椭圆相切， 所以在点A处的切线方程为， 同理可知：在点处的切线方程为； 设，则，可知坐标满足方程， 即切点弦所在直线方程为：； 当时，，此时所在直线方程为：， 可得，； 当时，由得：， 由A知：，可得， 设，则，， ， 又原点到直线的距离， ， 令，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 综上所述：的面积的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项. 11．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．的最小值为9 B．四边形的周长为8 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】先根据椭圆定义得到椭圆，再由均值不等式进行不等式判断，同时应用椭圆定义求解四边形的周长和最小值求解，最后应用对称点特点求解斜率之积即可. 【详解】由题意知对于椭圆，，，， 如图所示， ， 对于A，与椭圆交于，两点， 所以关于原点对称，而也关于原点对称， 所以，， 所以 ， 当且仅当即，时等号成立，A错误； 对于B， ，， 故四边形的周长为，B正确； 对于C，设，则，而， 故， 又因为在椭圆上，即， 化简可得，所以，C正确； 对于D，由于点为椭圆上的一个动点，所以， 所以，所以， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 又因为，所以， 所以的最小值为，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：圆锥曲线的解决很多时候关键在于善于应用圆锥曲线的定义，借助定义解决不等式或者焦点三角形的相关问题会更加直接和简洁. 12．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（     ） A．的周长为 B．面积的最大值为 C．直线的斜率之积为 D．椭圆的焦距为 【答案】AB 【分析】根据椭圆方程，求得，然后逐项判断. 【详解】解：∵椭圆方程为：， ， 的周长为，∴A正确； 面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 设在椭圆上，且异于，则， 所以，∴C错误； 椭圆的焦距为，∴D错误． 故选：AB 13．（23-24高二上·广东深圳·期中）设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A．P到最小的距离是 B． C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对于A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，A错误； 对于B：根据椭圆的定义可得，B正确； 对于C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对于D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：BD.    14．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆，长轴长为8，短半轴长为，分别为椭圆左右焦点，点，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若直线l交椭圆于A，B两点，且为AB中点，则直线l的方程为 C．内切圆面积的最大值为 D．的最小值为7 【答案】BCD 【分析】对于A：根据向量运算可得，结合的取值范围运算求解；对于B：利用点差法求直线AB的斜率，即可得方程；对于C：利用等面积可得，结合椭圆性质分析求解；对于D：根据椭圆定义转化可得，结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：，椭圆方程为， 对于选项A：因为， 且，所以，故A错误； 对于选项B：设，若为AB中点，则， 可得， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理得，即， 所以直线l的方程为，即，故B正确； 对于选项C：由题意可知： 设的内切圆半径为， 则，可得， 当点为短轴顶点时，的面积取到最大值， 可得的内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最小值为7，故D正确； 故选：BCD. 15．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 【答案】AC 【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解. 【详解】对于A，由，得，则， 设，则由椭圆的定义， 在中，，则余弦定理得， ，所以，，得， 所以的面积为，所以A正确， 对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个， 设椭圆的上顶点为，则，在中， ， 所以为锐角，所以在中不可能为是直角， 综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误， 对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形， 当时，，得， 所以时，， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为16，所以D错误， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用椭圆的定义结合其性质求解，考查计算能力，属于较难题. 16．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 17．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断在椭圆外部，在求出，即可求出，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，根据椭圆的定义判断D. 【详解】椭圆，则，所以， 圆的圆心为，半径， 所以，所以点在椭圆外部， 又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立， 所以，解得， 所以，解得（负值舍去），故A正确； ， 又，所以，所以， 即的最大值为，当且仅当在上、下顶点时取最大值，故B正确； 设为椭圆的上顶点，则，，所以， 所以，所以，则存在点使得，故C正确； 因为 ， 当且仅当、、、四点共线（且、在之间）时取等号，故D错误. 故选：ABC 18．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 【答案】ABD 【分析】由椭圆离心率的计算公式即可判断A，由椭圆的定义以及基本不等式即可判断B，由椭圆的标准方程代入计算即可判断C，由椭圆的定义以及三角形的周长公式即可判断D. 【详解】 由椭圆的方程可得，则， 则椭圆离心率为，故A正确； 由椭圆的定义可知，，又， 所以，即，当且仅当时， 等号成立，所以最大值为25，故B正确； 设，，则，所以， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，故C错误； 由椭圆的定义可知，， 且的周长为，故D正确； 故选：ABD 19．（23-24高二上·河南安阳·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．当时，的最大值为 C．存在点，使得 D．点到椭圆的上顶点的距离最大值为 【答案】AB 【分析】根据点在椭圆内得到，计算离心率得到A正确，确定焦点坐标，变换，计算得到B正确，确定轨迹方程，根据得到C错误，根据距离公式消元结合二次函数性质得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：点在椭圆内部，则，且，解得， ，正确； 对选项B：，故，椭圆方程为，，， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立，正确； 对选项C：设，则， 即，，，故， 椭圆与圆没有交点，错误； 对选项D：设，上顶点， ， 二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减， ，故，错误； 故选：AB 三、填空题 20．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设椭圆的右焦点，利用椭圆的定义将转化成，根据三点共线以及点点距离公式进行求解即可． 【详解】不妨设椭圆的右焦点， 因为点是椭圆上的动点， 所以， 则， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 又， 则的最小值为． 故答案为：． 21．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可. 【详解】椭圆，则，，所以， 设，，则， 所以， 又， 所以当时，，当时，， 即的取值范围是. 故答案为：. 22．（23-24高二上·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设, 所以, 由于，故当，取最小值， 故答案为： 23．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知A，B两点之间的距离为2km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A，B两点的距离之和为8km．当甲到A，B两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为 km． 【答案】 【分析】根据椭圆定义可判断跑步路线是以A，为焦点的椭圆，进而可得椭圆方程，进而根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解最值. 【详解】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 可知甲、乙两人的跑步线路是以A，为焦点的椭圆， 则，即，可得， 故椭圆的方程为. 因为甲到A，两点的距离相等，所以甲在上（下）顶点处， 根据对称性，不妨设甲所在点为，乙所在位置为点， 则. 由得， 则， 因为对称轴为，且， 所以当时，取得最大值，且最大值为60， 故当甲到A，两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为. 故答案为：. 24．（23-24高三上·河南·开学考试）已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，得到，得到离心率. 【详解】连接，由题意得，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，， 故，即，故， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，使得，故， 所以，即，所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是.    故答案为： 【点睛】方法点睛：离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 25．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，.若椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ；若在轴上方的上存在两个不同的点，满足，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由短轴一个端点到右焦点的距离为可得的值，结合离心率计算即可得第一空；在轴上方的上存在两个不同的点，满足，即上顶点与两焦点组成的三角形中，上顶点所在的角需大于，结合余弦定理计算即可得. 【详解】由，短轴一个端点到右焦点的距离为4，即，故， ，即椭圆方程为； 在轴上方的上存在两个不同的点，满足， 则有，即，解得， 故，即离心率的取值范围为. 故答案为：；. 26．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 四、解答题 27．（23-24高二上·安徽·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值. 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题意可得，从而可得点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆，进而可求出其方程； （2）设，则，再结合的取值范围可求得结果. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为， 将圆的方程分别配方得：圆，圆， 当动圆与圆外切时，， 当动圆与圆内切时，， 所以， 所以点的轨迹是焦点为，且长轴长等于12的椭圆. 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 所以，所以，所以， 所以动圆圆心轨迹方程为. （2）由（1）得，，设， 所以. 因为点在椭圆上，所以， 所以， 所以当时，， 故的最小值为45. 28．（23-24高二上·天津·期中）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出离心率； （2）由（1）可得椭圆方程为，设直线为，联立直线与椭圆方程，由得到、的关系，再求出，由利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的，从而求出，即可得解. 【详解】（1）依题意，即， 所以离心率. （2）由（1）可得椭圆方程为，即， 直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线为， 由，消去整理得， 所以，即， 又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时，解得， 所以椭圆方程为，即. 29．（22-23高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)为定值，证明见解析 (3) 【分析】（1）由，，及可求得，； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为 （2）证明如下： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以， 即，故得证． （3）由知， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 得，即时，， 此时取得最大值为． 30．（23-24高二上·北京海淀·期中）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【答案】(1)椭圆C的方程为，焦距2 (2) 【分析】 （1）根据给定条件，求出，写出椭圆的方程并计算焦距作答. （2）设出坐标，求线段中垂线方程得点，求圆在点处的切线方程得点，再借助均值不等式求解作答. 【详解】（1） 由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． （2） 由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为．    31．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程及弦的长； (2)椭圆上有一动点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解. （2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的方程为， 设， 而过点且斜率为1的直线的方程为，即， 将其与椭圆方程联立得，消去并整理得， 所以， 所以弦的长为 . （2） 由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为， 由题意动点在椭圆上，不妨设点， 所以点到直线的距离 ， 而， 所以， 所以， 所以点到直线的距离有最大值， 所以， 即的最大值为. 32．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为，一个顶点为H. (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于y轴上的点，椭圆E上存在点M，使得，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆长短半轴长、半焦距即得. （2）设出点坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围求解即得. 【详解】（1）依题意，椭圆E的长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆E的标准方程为. （2）设，显然，由（1）知，即， 由，得，由，得， 于是，即有，整理得 ， 而，则，又，因此， 故实数t的取值范围为． 33．（23-24高二上·广东珠海·期中）已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值． (1)求曲线C的方程； (2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C上任意一点，利用该点与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值，列式求得，结合c的值，即可求得的值，即得答案. （2）设直线l方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，进而求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）由题意知椭圆C：焦距为6，即， 设椭圆C上任意一点（异于长轴端点），则， 长轴的两顶点坐标为，由题意得， 即，则， 即，结合，解得， 故曲线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率不为0，，设直线l方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 则，， 故 ， 当且仅当，即时取等号， 故S的最大值为. 34．（23-24高二上·全国·期中）已知椭圆：的离心率为，左焦点与原点的距离为1.正方形的边，与轴平行，边，与轴平行，，.过的直线与椭圆交于，两点，线段的中垂线为.已知直线的斜率为，且. (1)若直线过点，求的值； (2)若直线与正方形的交点在边，上，在正方形内的线段长度为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过离心率求出椭圆方程，再与直线联立结合韦达定理表示出，，代入直线方程即可求解. （2）利用弦长公式表示出和，转化为关于的表达式，再利用函数的单调性求最值即可. 【详解】（1）由已知得，解得，，所以， 故椭圆：. 直线：，设，，的中点为. 联立，得， 所以，. 于是，. 得：，即， 代入，化简得，解得. （2）当，直线：，恰好都经过，. 对：，令，得， 要使与正方形的交点在边上，则，所以， 所以即，所以， 令，得，要使与正方形的交点在边上，则， 所以，所以即，所以， 所以，， ， 故， 令，则，， 因为，根据对勾函数的单调性知，当时等号成立， 从而，且， 所以. 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 35．（23-24高二上·辽宁·期中）已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为，，短轴长为，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求证：直线恒过定点； (2)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得椭圆方程，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及，可得，即可得证； （2）设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理可得弦长，再根据点到直线距离可得，再根据点在椭圆上，可得，进而可得，再利用二次函数的性质求得最值. 【详解】（1）由已知两个顶点坐标为，，短轴长为， 得，， 则椭圆方程， 设直线方程为，，， 由，消去得，， ， 则，，，， 又点在椭圆上，则，即 则， 即， 则， 即， 解得，此时， 即直线的方程为， 所以直线恒过定点； （2）设直线的方程为，，， 由，得，，即， 则，， 所以， 点到直线的距离， 所以， 又，， 所以， 所以， 则当即时，取最大值为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 试卷第36页，共42页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$