重难点08 椭圆中的定点定值问题-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点08 椭圆中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 4．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点（    ） A．若的面积为，则的最大值为9 B．若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为 C．若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则 D．若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（    ） A．的周长为20 B．若，则的面积为9 C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值 7．（23-24高二上·河南新乡·期中）已知曲线为上异于的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ） A．到点的距离的取值范围是 B．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值 C．直线与直线的斜率之积为 D．当直线的斜率等于时，等于 8．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．的最小值为9 B．四边形的周长为8 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 四、解答题 11．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 12．（23-24高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标． 13．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 14．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点． 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 16．（23-24高二上·辽宁·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为． (1)求椭圆M的标准方程； (2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点． 17．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 18．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 19．（23-24高二上·山东·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：    步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 20．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点． 21．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 22．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标. 23．（23-24高二上·河北·期中）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程． (2)若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线过定点． 24．（23-24高二上·安徽黄山·期中）椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、． 若四边形为正方形，且．    (1)求椭圆标准方程； (2)若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）； (3)在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由． 25．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知椭圆C：过点，且焦距为． (1)求C的方程； (2)已知点，，E为线段上一点，且直线交C于G，H两点．证明：． 26．（23-24高二上·浙江湖州·期中）椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，己知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 27．（23-24高二上·陕西渭南·期中）设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值． 28．（23-24高二上·河南·期中）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于点，两点，证明：为定值． 29．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 30．（23-24高二上·河北石家庄·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，右上顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上 (1)求椭圆的标准方程； (2)若，在椭圆上，且．记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 试卷第6页，共7页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 椭圆中的定点定值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知椭圆：，A，B是左右顶点，P，Q在椭圆E上，满足，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合椭圆方程推出，结合得出，设直线方程为，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，代入中化简求值，即可求得答案. 【详解】设，则，， 则，故， 同理，而， 故； 由题意可知直线的斜率不为0，设方程为， 代入椭圆方程得：， 需满足， 设，则， 又，，即， 即，即， 得， 即， 整理得，解得，或， 当时，，直线过A点，不符合题意； 当时，，直线恒过点， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据题意结合椭圆方程得出，再结合得出，然后设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，化简求值，即可求解。 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点P的参数形式，再结合直线的斜率公式，以及椭圆的性质，即可求解. 【详解】点P为椭圆C上的动点，则可设， 又， 则. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．离心率 B．最大值为25 C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 D．过点的直线与椭圆交于M，N两点，则的周长为20 【答案】ABD 【分析】由椭圆离心率的计算公式即可判断A，由椭圆的定义以及基本不等式即可判断B，由椭圆的标准方程代入计算即可判断C，由椭圆的定义以及三角形的周长公式即可判断D. 【详解】 由椭圆的方程可得，则， 则椭圆离心率为，故A正确； 由椭圆的定义可知，，又， 所以，即，当且仅当时， 等号成立，所以最大值为25，故B正确； 设，，则，所以， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，故C错误； 由椭圆的定义可知，， 且的周长为，故D正确； 故选：ABD 4．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C的右顶点为A，点P、Q都在椭圆C上且P、Q关于原点对称，直线与椭圆C相交于点M、N，则下列说法正确的是（    ） A．四边形不可能是矩形 B．周长的最小值为6 C．直线PA，QA的斜率之积为定值 D．当的周长最大时，的面积是 【答案】BCD 【分析】A：先判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线长度的关系判断即可； B：利用椭圆的定义以及的范围求解出周长的最小值； C：利用坐标表示出斜率关系，然后根据点在椭圆上化简运算，从而求得结果； D：将点设为，然后表示出的周长，结合三角形函数确定出周长最小时的值，从而可求面积. 【详解】对于A：因为点平分，所以四边形是平行四边形， 又因为，且，所以， 所以，所以有可能成立，故A不正确； 对于B：因为四边形是平行四边形，所以， 所以周长为，故B正确； 对于C：因为，设，所以， 所以，故C正确； 对于D：由题意可知，设，， 所以， 所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆性质的综合运用，其中涉及到焦点三角形、定值等问题，着重考查学生的转化与计算能力，难度较大.C项的解答关键在于表示完斜率乘积后利用点所满足的椭圆方程进行化简计算，D项的解答关键在于将点的坐标设为三角函数形式，利用三角形函数的取值范围进行分析求解. 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点（    ） A．若的面积为，则的最大值为9 B．若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为 C．若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则 D．若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为 【答案】BD 【分析】A：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；B：设切线方程，与椭圆方程联立，结合运算求解；C：利用点差法分析运算；D：利用点差法的结论分析得，运算求解. 【详解】由椭圆方程知：，设点， A：，当且仅当点为短轴上的顶点时等号成立，错； B：显然过处切线的斜率存在，设切线方程为， 联立，消去y得， 则，整理得， 解得，故过处切线方程为，即，对；    C：设，则，，则， 两式相减得，则，即，错； D：当不与重合时，由C知：， 由，，则，所以， 设，则，，可得， 整理得； 当与重合时，满足题意，符合上式； 综上：的方程为，对.    故选：BD. 【点睛】方法点睛：求点的轨迹常用方法， 1.直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理； 2.定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程； 3.相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理； 4.参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（    ） A．的周长为20 B．若，则的面积为9 C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值 【答案】BCD 【分析】由椭圆的性质，结合平面向量数量积的运算求解. 【详解】已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点， 则 对于选项 的周长为即选项 A 错误； 对于选项 B， 若 ，则 , 又 ，则 ， 则 ，则 的面积为 9 ，即选项 B 正确; 对于选项 C， 设 , 则 即选项 C 正确； 对于选项 D，设 ，则 , 即 ，则，故D正确； 故选：BCD. 7．（23-24高二上·河南新乡·期中）已知曲线为上异于的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（    ） A．到点的距离的取值范围是 B．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值 C．直线与直线的斜率之积为 D．当直线的斜率等于时，等于 【答案】ABD 【分析】利用P到焦点的距离的取值范围可判断A,利用椭圆的定义可判断B,利用两点斜率公式以及椭圆方程可判断C,设，设出直线的方程并求出的坐标，设出直线的方程并求出的坐标，计算出，将代入即可可判断D. 【详解】由，得，则表示椭圆的上半部分，根据椭圆的定义，可得B正确； 点是椭圆的右焦点，则，A正确； 设，则C错误； 设，则，直线的方程为，则的坐标为． 直线的方程为，则的坐标为， 所以，当时，，D正确． 故选：ABD 8．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ） A．的最小值为9 B．四边形的周长为8 C．直线，的斜率之积为 D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】先根据椭圆定义得到椭圆，再由均值不等式进行不等式判断，同时应用椭圆定义求解四边形的周长和最小值求解，最后应用对称点特点求解斜率之积即可. 【详解】由题意知对于椭圆，，，， 如图所示， ， 对于A，与椭圆交于，两点， 所以关于原点对称，而也关于原点对称， 所以，， 所以 ， 当且仅当即，时等号成立，A错误； 对于B， ，， 故四边形的周长为，B正确； 对于C，设，则，而， 故， 又因为在椭圆上，即， 化简可得，所以，C正确； 对于D，由于点为椭圆上的一个动点，所以， 所以，所以， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 又因为，所以， 所以的最小值为，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：圆锥曲线的解决很多时候关键在于善于应用圆锥曲线的定义，借助定义解决不等式或者焦点三角形的相关问题会更加直接和简洁. 三、填空题 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，C，D是椭圆上异于A，B的两点，若直线AC，BD的斜率，满足，则直线CD过定点，定点坐标为 【答案】 【分析】 设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系求出C，D点坐标，得出直线方程，即可求出直线所过定点 【详解】 因为，，， 则：，：． 设，． 联立椭圆方程与得： 得， ∴， 因为， ∴，∴， 联立椭圆方程与得：， 得， ∴，∴， 因为，， 所以：，即， 当时，即时方程恒成立，故直线过定点． 故答案为： 10．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知O为坐标原点，设分别是椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任一点，过点作的外角平分线的垂线，垂足为H，则 【答案】 【分析】作出图形，结合平面几何的知识推得是的中点，从而利用中位线定理与椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程为，所以，， 如图，延长交于， 因为是的外角平分线，， 所以由平面几何的知识易得， 则，即是的中点，且， 又是的中点， 所以. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    【点睛】思路点睛：过圆锥曲线上的动点的直线过定点问题，借助圆锥曲线方程设出动点坐标，求出相关的直线方程，并与圆锥曲线方程联立，求出另一交点坐标，再与已知结合推理求解即可. 12．（23-24高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点作直线交椭圆于两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）分类讨论直线斜率是否存在，若存在，设直线斜率，由得弦中点为，结合中点坐标公式，利用韦达定理得到关系，再求出直线方程探究定点即可. 【详解】（1）由已知得 由解方程组得        所以椭圆的标准方程为. （2）当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为， 联立，消得， ， 由题意，. 设，则. 因为，所以是的中点． 即 ，得， ①， 又，的斜率为， 直线的方程为②， 把①代入②可得：，     所以直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线为轴，也过. 综上所述，直线恒过点.    【点睛】解答圆锥曲线的定点问题的常用策略： （1）参数法：参数法解决定点问题的关键思路在于以下两个环节. ①引进动点的坐标或动直线中的参数（如引入动直线的斜率，截距，动点的横或纵坐标等等）表示变化量，即确定题目中核心参数； ②利用条件找到参数与过定点的曲线之间的关系，得到关于参数与的等式，再研究曲线不受参数影响时的定点坐标. （2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 13．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，已知椭圆，长轴长为6，离心率为，过椭圆右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于、，过作垂直于直线，连接. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）利用椭圆的几何性质求得，从而得解； （2）根据题意得到，再联立直线与椭圆的方程得到，从而推得直线必过定点. 【详解】（1）由题意知，，则，，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，，则，， 由椭圆对称性可知，若存在定点，则定点必在轴上， 由题意，设， 联立，得，易知， 所以，，则 对于， 令，化简得 ， 所以直线必过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 14．（23-24高二上·河北保定·期中）已知，分别是椭圆：的左，右顶点，为椭圆上的点，直线，的斜率之积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，且直线与相交于点，若点在直线上，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得出，，由两点斜率公式结合直线，的斜率之积为列式解出，再将点代入椭圆方程在代入解出，即可得出椭圆方程； （2）由题意设点，根据（1）得出的方程得出，，根据直线的两点式方程得出直线，直线，设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点，将直线，直线与椭圆方程分别联立求出与，即可根据直线点斜式方程得出直线的方程，化简得出，即可根据直线点斜式证明直线过定点. 【详解】（1）   由题意得，， 直线，的斜率之积为， ，解得：， 为椭圆上的点， ，解得：， 椭圆的方程为：； （2）   直线与相交于点，若点在直线上， 设点， ，， 则直线：，即， 直线：，即， 设直线与椭圆的交点，直线与椭圆的交点， 联立，消去，得， 解得或，则，则， 联立，消去，得， 解得或，则，则， 即，， 则直线即直线的斜率为， ， ， ， 直线的方程为：， ， ， ， ， ， ， ， 即， 则直线过定点. 15．（23-24高二上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及过的点，列出方程，求得，即得答案； （2）设直线方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，求得的纵坐标的表达式，结合化简可得之间的关系，代入中，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，且过点， 故，且， 解得， 故椭圆C的方程为. （2）由于，可知在x的同侧，则l的斜率不为0， 故设，联立， 得，设， 需满足，即有解； 则， 直线的方程为，令，得， 同理可得， 则，即， 整理得， 即， 即，即， 即得或，均满足有解， 当时，直线l为，此时直线过定点，不合题意； 当时，直线l为，此时直线过定点. 【点睛】方法点睛：本题考差了椭圆方程的球法以及直线和椭圆位置关系中的直线过定点问题，解答时要设直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，结合题设化简；解答的难点在计算过程复杂，计算量较大. 16．（23-24高二上·辽宁·期中）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为． (1)求椭圆M的标准方程； (2)若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，由此结合离心率、平方关系列出方程，即可求解. （2）由题意共线，所以，设直线的方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入即可得证. 【详解】（1）    由题意知，，，解得，，． 所以椭圆的标准方程是． （2）    设，，，直线：． 将，代入得． 则， ，． 因为共线，所以，即． 整理得， 所以， 即， 即，解得． 所以直线：，与轴交于定点． 【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是当且仅当点与椭圆短轴端点重合时，面积最大，第二问的关键是由共线，得出，由此即可顺利得解. 17．（23-24高二上·四川达州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点是椭圆上不同于左右顶点的一动点，点关于x轴的对称点为点.当直线过左焦点时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于另外一点（点和点不重合），证明直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意易知，利用通径长可得，即可知椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立并利用对称性和韦达定理，由三点共线可得，即可得直线恒过定点. 【详解】（1）由已知得直线过左焦点时，即为通径，可得； 又，且，解得； 所以椭圆C的方程为 （2）由题意得直线AP的斜率一定存在， 如下图所示： 设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，消去可得， 所以可得 因为三点共线，可得， 所以，即， 即 所以， 也即,可得， 所以直线的方程为 即直线恒过定点. 18．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，求得，结合离心率及的关系求得，即得答案； （2）考虑直线斜率是否存在，是否为0．当直线的斜率存在且不为0时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，写出的方程，联立化简整理即可证明结论. 【详解】（1）圆与圆的圆心分别为，半径分别为1和3， 由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上， 可知：，得， 又，，解得，， 所以椭圆的方程为：． （2）设与轴交于点，则， 当的斜率为0时，显然不适合题意； 当的斜率不存在时，直线为， 四边形为矩形，，交于线段的中点， 当直线的斜率存在且不为0时， 设，，直线为， 联立，得， ， ，， 设，， 则，， 联立，的方程，得， 将，代入整理得． 将代入的方程，得 ， 综上，直线、交于定点． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．（23-24高二上·山东·期中）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：    步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、. （i）求证：为定值； （ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为 【分析】（1）由折纸的对称性，可知，从而确定点的轨迹； （2）（i）设点，，，根据斜率公式分别求出、，结合椭圆方程证明； （ii）设直线的方程为，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出，根据直线方程即可求出定点. 【详解】（1）由题意可知，， 故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆， 焦距，所以， 因此轨迹方程为. （2）证明：（i）设，，， 由题可知，如下图所示： 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值. （ii）设直线的方程为，，， 由，得， 所以. 由（i）可知，， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程可得. 20．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点． 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点， 画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， 而，所以直线的方程为，令，解得， 同理可求得， 则 ， 所以线段的中点为定点.    21．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线的方程，求出点横坐标表达式即可得. 【详解】（1）由离心率可得， 将点代入椭圆方程可得，又； 解得， 所以椭圆C的方程为 （2）设点，，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立，消去，得，        则可得，， 易知，得 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点 22．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知点是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)经这点的动直线交椭圆于，两点，若与的斜率之和为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，设点，坐标代入关系化简整理可得； （2）由点为定点，设的斜率为，动直线，利用与椭圆相交解得的坐标，并代入直线的方程，构造关于都满足的一元二次方程，从而由斜率和为定值，得到的关系，从而求得点. 【详解】（1）由点是椭圆的上、下顶点， 则，由得， ， 化简整理得，，即， 且点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. 故所求点的轨迹方程为； （2）由（1）知，设的斜率为， 设动直线，由题意知， 直线，直线， 联立得，， 因为直线与椭圆交于两点， 所以， 因为点在直线上， 则， 化简得，， 同理可得，， 所以，是方程的两根， 由韦达定理知，， 由题意知与的斜率之和为定值，设（为常数）， 则，代入直线方程得， 令，解得，代入直线方程得， 故直线过定点，又点在圆上， 则有，解得，即点的坐标为. 【点睛】在解析几何中，常常涉及到一些轮换对称性质的式子（如两根，如两斜率等等），由于式子中的量（如与，与）满足同样的代数关系，因此常用同构的代数方法来解决，其中最重要的同构手段则是构造二次方程，可以通过韦达定理得到题设或结论中的和、积、平方和等轮换对称式，从而找到关系解决问题. 23．（23-24高二上·河北·期中）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程． (2)若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率为及焦点计算可得，椭圆方程可解. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，可得，结合韦达定理可求m与k的关系，再代入直线方程求解. 【详解】（1）依题意可得 则， 故的方程为． （2） 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得， 设，的坐标分别为， 则， 且，． 设直线，的倾斜角分别为， 因为，且，两点的纵坐标的乘积大于0， 所以，所以 则，则 即， 所以 所以， 化简可得 则直线的方程为， 故直线过定点 24．（23-24高二上·安徽黄山·期中）椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、． 若四边形为正方形，且．    (1)求椭圆标准方程； (2)若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）； (3)在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）依题可得且，即可求出、、，从而得解； （2）设方程为，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由，可得、、三点共线，即可得到点坐标，由，可得，即，从而求出点坐标，即可求出的值. （3）设，表示出，，根据斜率之积为求出即可. 【详解】（1）依题可得且，又，，， 故椭圆方程为. （2）依题意的斜率存在，设方程为， 联立方程组可得， 解得、， 即，， ，、、三点共线． ， 又由，，即， 所以，所以， ∴联立方程组解得，所以， 所以，， 所以（为定值）.   . （3）设， 则，， ，得，故， 即存在一点满足条件．   . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由推得、、三点共线，由推得，从而得解. 25．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知椭圆C：过点，且焦距为． (1)求C的方程； (2)已知点，，E为线段上一点，且直线交C于G，H两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题得出焦点坐标，再由椭圆定义可求得，由，，关系可求得结果； （2）当直线与x轴重合时，易证；当直线与x轴不重合时，设：，与椭圆联立可得根与系数关系，要证明，即证，根与系数关系代入可得证. 【详解】（1）由已知得焦点坐标为，， 由椭圆定义知 ，， 则，所以C的方程为． （2）①当直线与x轴重合时，不妨设，， 易得，，，满足． ②当直线与x轴不重合时，设：，，， 由，得， ，，， 要证明，等价于证明， 即证（*），又， 又， 所以（*）式成立，即． 26．（23-24高二上·浙江湖州·期中）椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，己知的周长为8，且椭圆过点． (1)求椭圆C中的值； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义，得到，再由点在椭圆上，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设，直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意得到，代入化简，即可求解. 【详解】（1）解：因为的周长为，由椭圆的定义，可得，解得， 又由椭圆过点，可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设点， 由题意知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 因为点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 可得， 又因为，且， 可得， 所以， 所以. 27．（23-24高二上·陕西渭南·期中）设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率得，由得椭圆过点，代入椭圆方程结合求得得椭圆方程； （2）设，，由斜率之积得这两点坐标关系，两点在椭圆上，代入椭圆方程，由向量的坐标运算可用用表示，然后计算可得． 【详解】（1）由，得， 因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，且， 所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即， 即，解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）设，，则，化简得. 因为，是椭圆上的点，所以，，即有，， 由，得， 所以 . 即为定值． 28．（23-24高二上·河南·期中）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于点，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆离心率和顶点坐标计算得到答案. （2）确定，设出点坐标，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，解得，故椭圆的方程为； （2）要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且大于0， 设，即，，，， 联立，得． 且时，（时，或不存在），， ，， 计算得，， ， 故为定值． 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键. 29．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i）求证：为定值； （ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）直接列出关于的方程组求解； （2）（i）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出与的关系，从而得出是某个一元二次方程的解，利用韦达定理可得； （ii）设，利用及椭圆方程求得，再求得后可得． 【详解】（1）题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：依题意，两条切线方程分别为， 由，化简得， 同理. 所以是方程的两个不相等的实数根， 则. 又因为，所以， 所以. （ii）证明：由（得，，设，则，即， 因为，所以， 得，即， 解得， 所以， 所以为定值. 30．（23-24高二上·河北石家庄·期中）椭圆的左，右焦点分别为，，右上顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上 (1)求椭圆的标准方程； (2)若，在椭圆上，且．记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意，建立方程组，即可求解； （2）由可设直线的方程，直曲联立，得到，，代入计算即可证明. 【详解】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，， 由题意可知，所以，① 又因为点在椭圆上， 所以，② 由①，②，解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由椭圆方程可知，，，设，， 因为， 所以， 设直线的方程为， 由得， ，解得， ，， 所以， ， 所以 ， 故为定值. 试卷第44页，共44页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$