专题07 平面向量与立体几何（2考点）-【中职专用】浙江十年（2015-2024）单独考试招生文化考试数学真题分类汇编

专题07 平面向量与立体几何 考点01平面向量 1. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可知，再根据向量的坐标表示求出，即可得出向量的坐标. 【详解】在中，分别为边的中点， 所以为中以为底边的中位线， 所以， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 则. 故选：B. （2023年浙江）已知点M(4,0),问量 =(0,4),=(-2,2),则点P的坐标为（ ） A.(-6,6) B.(2,-2) C.(-2,-6) D.(2,6) 答案D 2. （2022年浙江）己知点，则（ ） A． B． C． D． 答案D 3. （2022年浙江）己知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 答案 4. （2021年浙江）正三角形ABC的边长为1，E为BC边上动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 答案C 5. （2020年浙江）如图，正方形的边长为1，则（ ） A．0 B． C．2 D． 答案C 6. （2019年浙江）已知平行四边形，则向量（ ） A. B. C. D. 答案C 7. （2018年浙江）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则 （ ） A. B. C. D. 0 答案C 8. （2017年浙江）在中，向量表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 答案C 9. （2017年浙江）已知、、，若，则为______. 答案 10. （2016年浙江）如图，是边长为1的正方形，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,正方形边长为1，；所以答案选B。 11. （2015年浙江）已知，则__________． 答案28 【解析】∵，∴． 考点02立体几何 1. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设底面三角形面积为，高为，求出三棱柱与三棱锥的体积，体积相减为四棱锥体积，然后求比值即可. 【详解】设底面三角形面积为， 因为侧棱垂直于底面，所以底面，所以设高， 则三棱柱“壍（qiàn）堵”体积； 则三棱锥“鳖臑（biē nào）”的体积； 则四棱锥“阳马”的体积； 则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为； 故选：C. （2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，然后根据球的表面积公式和圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】由题意得，圆锥底面的半径，高，半球的半径， 则圆锥的母线长， 则该几何体的表面积. 故答案为：. （2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出底面积，利用棱锥体积公式求解； （2）根据题意找出二面角的平面角为，求出正切值即可. 【小问1详解】 底面ABCD为菱形，边长为，， 对角线，且相互平分， ， . 面ABCD， . 【小问2详解】 如图，作于，连接， ， 面、面ABCD， ，， 平面，， 平面，又平面， ， 为二面角的平面角， 又， ， 即二面角的平面角的正切值为. （2023年浙江）如图所示,在三棱柱ABC- 中,点D是AC上的动点，则直线BD与的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.异面 D.异面或平行 答案D 2. （2023年浙江）圆锥的母线为4，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的高为_______. 答案 3. （2023年浙江）如图所示，在长方体ABCD- 中，AB=5, =4，AD=3，点E在上，点F，G在AB上，FG=2.求 （1） 求四棱锥E-CDFG的体积；（4分） （2） 求二面角E-FG-C的平面角的正切值.（5分） 解:（1） （2）连接C1B，由图形可知 E-FG-C的平面角 4. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案C 5. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A．1 B． C． D． 答案D 6. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为的圆柱将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． 答案3 7. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的儿何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V；（4分） （2）二面角的平面角的余弦值．（5分） 答案 解：（1）， ， 所以，所求几何体的体积． （2）在正方体中，取AC中点E，连接DE，， 则， 所以即为二面角的平面角 在中，． 所以． 即二面角的平面角的余弦值为． 8. （2021年浙江）已知l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 答案C 9. （2021年浙江）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为 . 答案 10. （2021年浙江）如图，正四棱柱，，. （1）求二面角的平面角的正切值；（4分） （2）求四棱锥的体积.（5分） 答案（1）2；（2） 11. （2020年浙江）下列叙述中，错误的是（ ） A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 答案A 12. （2020年浙江）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则_________． 答案 13. （2020年浙江）如图所示，正方体的棱长为6，点M在棱上，且．联结． （1）求直线与平面所成角的正切值；（4分） （2）求三棱锥的体积．（5分） 答案（1）∵正方体棱长为6，， ∴． 联结． ∵平面， ∴就是直线与平面所成的角． 在中，， ∴． （2）平面， 三棱锥的体积 ． 14. （2019年浙江）已知两直线、分别平行于平面，则两直线、的位置关系为（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上情况都有可能 答案D 15. （2019年浙江）圆柱的轴截面是边长为3的正方形，则圆柱的体积等于________. 答案 16. （2019年浙江）如图，正三棱锥的侧棱长为，底面边长为4. （1）求正三棱锥的全面积； （2）线段、、的中点分别为、、，求二面角的余弦值. 答案（1）由已知得， 即中点，联结，则斜高， ，所以，. （2）联结，，联结， 由已知得，， 所以是二面角的平面角. 由已知得，故. 在中，易知，，， 由余弦定理得. 所以，. 17. （2018年浙江）点P(1，-1)关于原点的对称点的坐标为（ ） A. (-1，-1) B. (1，-1) C. (-1，1) D. (1，1) 答案C 18. （2018年浙江）下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一平面的两个平面垂直 B. 垂直于同一平面的两条直线垂直 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 答案D 19. （2018年浙江）如图所示，相传这个图形表达了古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱内切一个球，球的直径与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比等于圆柱的全面积与球的全面积之比，这个比值为__________. 答案3:2 20. （2018年浙江）如图所示，圆锥SO的母线SA=SC=cm，底面半径为2cm，△OAC为正三角形，求： （1）圆锥SO的侧面积与体积；（4分） （2）二面角S-AC-O的大小.（5分） 答案（1），； （2）60° 21. （2017年浙江）已知圆锥底面半径为4，侧面面积为60，则母线长为（ ） A. B. 2 C. D. 答案D 22. （2017年浙江）如图在正方体中，下列结论错误的是（ ） A.平面 B.平面平面 C. D.平面平面 答案C 23. （2017年浙江）点关于点为中心的对称点坐标是______. 答案 24. （2017年浙江）如图平面，，，. （1）求二面角的大小；（5分） （2）求椎体的体积.（4分） 答案（1）取的中点，连结、 ，是中点，所以. 又面，所以. 所以，是二面角的平面角. 由已知得，又在中，， 所以， 在中，，， 所以，， （2）在中，可求得 ，所以， 所以， 所以， 25. （2016年浙江）下列结论正确的是 A. 直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线 B.过直线外一点可以作无数条直线与异面 C.若直线、与平面所成角相等，则平行于 D.两条不平行直线确定一个平面 【答案】B 【解析】过直线外一点有无数条直线与其异面；所以答案选B。 26. （2016年浙江）圆柱的底面面积为，体积为，球的直径和圆柱的高相等，则球的体积 . 【答案】 【解析】由题意知，圆柱的高为4cm，球的半径为2cm，体积 27. （2016年浙江）如图所示, 已知菱形,，把菱形沿对角线折为的二面角，连接，如图所示， 求:(1)折叠后的距离; (2)二面角的平面角的余弦值. 图(1) 图(2) 【解析】（1）取BD中点E，连接AE，CE，△ABD，△BCD均为等边三角形， 所以AE⊥BD，CE⊥BD， 所以∠AEC是二面角A-BD-C的一个平面角，即∠AEC=60°， 又因为AE=CE， 所以△AEC是正三角形，AC=AE， 在△ABD中，已知AD=AB=BD=2,则AE=, 所以AC=. （2）取AC中点F，连接DF,BF,因为AD=DC=BC=AB， 所以DF⊥AC,BF⊥AC,DF=BF, 所以∠DFB为二面角D-AC-B的一个平面角， 因为BD=2,AF=， 所以， 所以在△BDF中，. 28. （2015年浙江）在下列命题中，真命题的个数是（ ） ①， ②， ③， ④， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案C 【解析】②a，b有可能相交，④a有可能在内，①③正确．答案选C． 29. （2015年浙江）下列各点中与点关于点H（2，3）中心对称的是（ ） A．（0，1） B．（5，6） C． D． 答案B 【解析】设P（x，y）与点关于点H（2，3）中心对称，则，．∴， ．答案选B． 30. （2015年浙江）体对角线为3cm的正方体，其体积__________． 答案 【解析】设正方体的边长为a，∵体对角线为3cm，∴，得，∴体积． 31. （2015年浙江）如图所示，在棱长为a的正方体中，平面把正方体分成两部分．求： （1）直线与平面所成的角；（2分） （2）平面与平面所成二面角的平面角的余弦值；（3分） （3）两部分中体积大的部分的体积．（2分） 答案（1）因为直线， 且平面，推知直线平面（1分） 所以直线与平面所成的角为0°（1分） （2）连接，交于E，连接AE，因为E是对角线交点，三角形是等边三角形，所以，， 所以是平面与平面所成二面角的平面角（1分） 在三角形ADE中，， 所以．（2分） （3）设两部分中体积大的部分体积为，体积小的部分的体积为，正方体体积为V，则有，（1分） 所以所求部分的体积（1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量与立体几何 考点01平面向量 1. （2024年浙江）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （2023年浙江）已知点M(4,0),问量 =(0,4),=(-2,2),则点P的坐标为（ ） A.(-6,6) B.(2,-2) C.(-2,-6) D.(2,6) 2. （2022年浙江）己知点，则（ ） A． B． C． D． 3. （2022年浙江）己知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 4. （2021年浙江）正三角形ABC的边长为1，E为BC边上动点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. （2020年浙江）如图，正方形的边长为1，则（ ） A．0 B． C．2 D． 6. （2019年浙江）已知平行四边形，则向量（ ） A. B. C. D. 7. （2018年浙江）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则 （ ） A. B. C. D. 0 8. （2017年浙江）在中，向量表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. （2017年浙江）已知、、，若，则为______. 10. （2016年浙江）如图，是边长为1的正方形，则 A. B. C. D. 11. （2015年浙江）已知，则__________． 考点02立体几何 1. （2024年浙江）刘徽注《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“壍（qiàn）堵”；将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑（biē nào）”.如图所示，壍堵可斜解为“阳马”和“鳖臑”两部分，则“阳马”与“鳖臑”的体积之比为（ ） A. B. C. D. （2024年浙江）如图所示，某几何体是一个圆锥与一个半球的组合体，若圆锥的高为，圆锥底面的直径与半球的直径皆为6，则该几何体的表面积____________. （2024年浙江）如图所示，菱形ABCD的边长为3，，点是平面ABCD外一点，平面ABCD，且.求： （1）四棱锥的体积； （2）二面角的平面角的正切值. （2023年浙江）如图所示,在三棱柱ABC- 中,点D是AC上的动点，则直线BD与的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.异面 D.异面或平行 2. （2023年浙江）圆锥的母线为4，侧面积是底面积的2倍，则圆锥的高为_______. 3. （2023年浙江）如图所示，在长方体ABCD- 中，AB=5, =4，AD=3，点E在上，点F，G在AB上，FG=2.求 （1） 求四棱锥E-CDFG的体积；（4分） （2） 求二面角E-FG-C的平面角的正切值.（5分） 4. （2022年浙江）点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5. （2022年浙江）如图所示，在正方体中，异面直线和CD所成角的正弦值为（ ） A．1 B． C． D． 6. （2022年浙江）一个玻璃容器盛有一部分水，其内部形状是底面半径为的圆柱将一个实心玻璃球放入该容器中，球完全沉没在水里，此时玻璃容器中的水位上升了（水没有外溢），则球的半径为__________． 7. （2022年浙江）如图（1）所示，在棱长为1的正方体中，分别沿相邻三个面的对角线截去三个三棱锥和，得到如图（2）所示的儿何体． 求： （1）图（2）所示几何体的体积V；（4分） （2）二面角的平面角的余弦值．（5分） 8. （2021年浙江）已知l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. （2021年浙江）直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边为旋转轴，旋转一周所得几何体的体积为 . 10. （2021年浙江）如图，正四棱柱，，. （1）求二面角的平面角的正切值；（4分） （2）求四棱锥的体积.（5分） 11. （2020年浙江）下列叙述中，错误的是（ ） A．平行于同一个平面的两条直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂直于同一条直线的两个平面平行 D．垂直于同一个平面的两条直线平行 12. （2020年浙江）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则_________． 13. （2020年浙江）如图所示，正方体的棱长为6，点M在棱上，且．联结． （1）求直线与平面所成角的正切值；（4分） （2）求三棱锥的体积．（5分） 14. （2019年浙江）已知两直线、分别平行于平面，则两直线、的位置关系为（ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上情况都有可能 15. （2019年浙江）圆柱的轴截面是边长为3的正方形，则圆柱的体积等于________. 16. （2019年浙江）如图，正三棱锥的侧棱长为，底面边长为4. （1）求正三棱锥的全面积； （2）线段、、的中点分别为、、，求二面角的余弦值. 17. （2018年浙江）点P(1，-1)关于原点的对称点的坐标为（ ） A. (-1，-1) B. (1，-1) C. (-1，1) D. (1，1) 18. （2018年浙江）下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一平面的两个平面垂直 B. 垂直于同一平面的两条直线垂直 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 19. （2018年浙江）如图所示，相传这个图形表达了古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱内切一个球，球的直径与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比等于圆柱的全面积与球的全面积之比，这个比值为__________. 20. （2018年浙江）如图所示，圆锥SO的母线SA=SC=cm，底面半径为2cm，△OAC为正三角形，求： （1）圆锥SO的侧面积与体积；（4分） （2）二面角S-AC-O的大小.（5分） 21. （2017年浙江）已知圆锥底面半径为4，侧面面积为60，则母线长为（ ） A. B. 2 C. D. 22. （2017年浙江）如图在正方体中，下列结论错误的是（ ） A.平面 B.平面平面 C. D.平面平面 23. （2017年浙江）点关于点为中心的对称点坐标是______. 24. （2017年浙江）如图平面，，，. （1）求二面角的大小；（5分） （2）求椎体的体积.（4分） 25. （2016年浙江）下列结论正确的是 A. 直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线 B.过直线外一点可以作无数条直线与异面 C.若直线、与平面所成角相等，则平行于 D.两条不平行直线确定一个平面 26. （2016年浙江）圆柱的底面面积为，体积为，球的直径和圆柱的高相等，则球的体积 . 27. （2016年浙江）如图所示, 已知菱形,，把菱形沿对角线折为的二面角，连接，如图所示， 求:(1)折叠后的距离; (2)二面角的平面角的余弦值. 图(1) 图(2) 28. （2015年浙江）在下列命题中，真命题的个数是（ ） ①， ②， ③， ④， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29. （2015年浙江）下列各点中与点关于点H（2，3）中心对称的是（ ） A．（0，1） B．（5，6） C． D． 30. （2015年浙江）体对角线为3cm的正方体，其体积__________． 31. （2015年浙江）如图所示，在棱长为a的正方体中，平面把正方体分成两部分．求： （1）直线与平面所成的角；（2分） （2）平面与平面所成二面角的平面角的余弦值；（3分） （3）两部分中体积大的部分的体积．（2分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$