专题06 圆锥曲线（3考点）-【中职专用】浙江十年（2015-2024）单独考试招生文化考试数学真题分类汇编

专题06 圆锥曲线 考点01椭圆 1. （2024年浙江）如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. （2023年浙江） 中国刺绣作为一项传统手工技艺,是中国传统文化的重要组成部分.某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示,则这个椭圆的离心率是 () 2. （2023年浙江）椭圆的标准方程为 ，焦点在x轴上，焦距为，则n=____. 3. （2022年浙江）椭圆的焦距为，离心率，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为． 求： （1）椭圆的标准方程；（4分） （2）的值．（6分） 4. （2021年浙江）若椭圆的一个焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. （2021年浙江）如图，为椭圆的右焦点，M是椭圆上的点，若△OMF 是正三角形，则椭圆长轴长为 . 6. （2020年浙江）若椭圆的焦距为2，离心率为．斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的标准方程；（5分） （2）求的值．（5分） 7. （2019年浙江）椭圆标准方程为，一个焦点为，则的值为（ ） A. B.0 C.1 D.3 8. （2019年浙江）已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它与双曲线有且仅有两个公共点，它们的离心率之积为1，则椭圆标准方程为________. 9. （2018年浙江）方程所表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10. （2018年浙江）如图所示，椭圆的两个焦点坐标为，，两个顶点和两个焦点构成一个正方形，求： （1）椭圆的标准方程和离心率；（4分） （2）以点A(a，0)为顶点，且关于x轴对称 的内接等腰直角三角形的周长.（6分） 11. （2017年浙江）已知椭圆方程：，下列说法错误的是（ ） A.焦点为， B.离心率 C.长轴在轴上 D.短轴长为 12. （2016年浙江）椭圆 的离心率，则的值为 A. B C. 或 D. 或 13. （2015年浙江）若，则方程所表示的曲线是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．椭圆或圆 考点02双曲线 1. （2024年浙江） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2024年浙江）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. （2023年浙江）如图所示，双曲线的标准方程为，为双曲线的两个焦点，实轴长为，且双曲线经过点； （1）求双曲线的标准方程；（3分） （2）若点M在双曲线的渐近线上，的面积为，求点M的坐标；（4分） （3）点P（m,n）在双曲线右支上，点N的坐标为（1，n），求的值.（3分） 2.（2022年浙江）己知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A． B． C．12 D．24 3.（2021年浙江）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4.（2020年浙江）双曲线与直线交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 5.（2020年浙江）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________． 6.（2019年浙江）双曲线的实轴长为10，焦距为26，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7.（2018年浙江）双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 8.（2018年浙江）双曲线的离心率，则实半轴长a =_____. 9.（2017年浙江）设动点到的距离减去它到的距离等于4，则动点的轨迹方程为（ ） A.（） B.（） C.（） D.（） 10.（2017年浙江）双曲线的两条渐近线方程为______. 11.（2016年浙江）已知双曲线的离心率，实轴长为，直线过双曲线的左焦点且与双曲线交于两点，. （1）求双曲线的方程；（2）求直线的方程. 12.（2015年浙江）焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率．则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 考点03抛物线 1．（2024年浙江）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 （2023年浙江）截至2023年2月,被誉为“中国天眼”的500米口径的射电望远镜(FAST)，已经发现超740颗脉冲星,为世界各国探索宇宙星空,提供了中国智慧和中国力量.如图所示,这个射电望远镜的轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分.当抛物线口径AB为300米时，抛物线的深度OC为56.25米,则这个抛物线的标准方程为（ ） A. = 400y B. = 200y C. = 400x D. = 200x 2．（2022年浙江）己知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2021年浙江）已知抛物线顶点为原点，准线l：. （1）求抛物线的标准方程；（4分） （2）过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，求直线AB的方 程. 4．（2020年浙江）若直线经过抛物线的焦点，则b的值是（ ） A． B． C．1 D．2 5．（2019年浙江）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 6．（2018年浙江）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A. B. C. D. 1 7．（2017年浙江）1992年巴塞罗那奥运会开幕式中，运动员安东尼奥·雷波洛以射箭方式点燃主会场的圣火成为历史经典.如图所示，如果发射点离主火炬塔水平距离，塔高.已知箭的运动轨迹是抛物线，且离火炬塔水平距离处达到最高点. （1）若以为原点，水平方向为轴，为单位长度建立直角坐标系。求该抛物线的标准方程；（5分） （2）求射箭方向（即与抛物线相切于点的切线方向）与水平方向夹角的正切值.（4分） 8．（2016年浙江）抛物线的焦点坐标为，则其标准方程为 A. B. C. D. 9．（2015年浙江）己知抛物线，斜率为k的直线L，过其焦点F且与抛物线相交于点，． （1）求直线L的一般式方程；（3分） （2）求的面积S；（4分） （3）由（2）判断，当直线斜率k为何值时的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时的面积S有最小值．（3分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆锥曲线 考点01椭圆 1. （2024年浙江）如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件确定的值，即可得焦点坐标； （2）由求得，从而得的方程，与椭圆的方程联立即可求出点的坐标； （3）令直线与轴交于点M，求得，然后由四边形的面积求得结果． 【小问1详解】 由题知为椭圆上顶点，即，又， ∴， ∴焦点坐标为，． 【小问2详解】 ∵，， ∵，，∴，∴， 则的方程为：， 与椭圆方程联立得：， 消去，得：， 设，则由韦达定理得：， 又，∴， 又，即，则， 所以． 【小问3详解】 不妨令直线与轴交于点M， ∵直线的方程：， ∴令得，解得，则， 又，，则，， 则四边形的面积 ． （2023年浙江） 中国刺绣作为一项传统手工技艺,是中国传统文化的重要组成部分.某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示,则这个椭圆的离心率是 () 答案 A 2. （2023年浙江）椭圆的标准方程为 ，焦点在x轴上，焦距为，则n=___. 答案_16_ 3. （2022年浙江）椭圆的焦距为，离心率，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为． 求： （1）椭圆的标准方程；（4分） （2）的值．（6分） 答案（1）由已知得， ． ∴所求椭圆的标准方程为． （2）由题意，可设直线AB的方程为， 由消去y，并化简整理得 设A，B两点的坐标分别为，则是方程①的两个根， 所以， 又线段AB的中点坐标为， ， ， 解得． 当时，， 当时， 4. （2021年浙江）若椭圆的一个焦点为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案D 5. （2021年浙江）如图，为椭圆的右焦点，M是椭圆上的点，若△OMF 是正三角形，则椭圆长轴长为 . 答案 6. （2020年浙江）若椭圆的焦距为2，离心率为．斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的标准方程；（5分） （2）求的值．（5分） 7. （2019年浙江）椭圆标准方程为，一个焦点为，则的值为（ ） A. B.0 C.1 D.3 答案D 8. （2019年浙江）已知椭圆中心在原点且对称轴为坐标轴，它与双曲线有且仅有两个公共点，它们的离心率之积为1，则椭圆标准方程为________. 答案或 9. （2018年浙江）方程所表示的曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 答案B 10. （2018年浙江）如图所示，椭圆的两个焦点坐标为，，两个顶点和两个焦点构成一个正方形，求： （1）椭圆的标准方程和离心率；（4分） （2）以点A(a，0)为顶点，且关于x轴对称 的内接等腰直角三角形的周长.（6分） 答案（1），；（2） 11. （2017年浙江）已知椭圆方程：，下列说法错误的是（ ） A.焦点为， B.离心率 C.长轴在轴上 D.短轴长为 答案C 12. （2016年浙江）椭圆 的离心率，则的值为 A. B C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】若焦点在x轴上，,若焦点在y轴上，; 所以答案选D。 13. （2015年浙江）若，则方程所表示的曲线是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．椭圆或圆 答案D 【解析】∵，∴，当时，得它表示圆；当时，由，∴此时它表示的是椭圆．答案选D． 考点02双曲线 1. （2024年浙江） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A. （2024年浙江）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距和离心率求解a和b的值，再代入渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可知，又， 所以， 所以 ， 双曲线焦点x轴， 所以渐近线方程为. 故答案为：. （2023年浙江）如图所示，双曲线的标准方程为，为双曲线的两个焦点，实轴长为，且双曲线经过点； （1）求双曲线的标准方程；（3分） （2）若点M在双曲线的渐近线上，的面积为，求点M的坐标；（4分） （3）点P（m,n）在双曲线右支上，点N的坐标为（1，n），求的值.（3分） 解（1）由题意得a，设标准方程为 （2）由（1）得，设M 带入标准方程得 （1） ， 故 ，，代入原式 2.（2022年浙江）己知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A． B． C．12 D．24 答案C 3.（2021年浙江）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 答案D 4.（2020年浙江）双曲线与直线交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 答案B 5.（2020年浙江）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________． 答案 6.（2019年浙江）双曲线的实轴长为10，焦距为26，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 答案B 7.（2018年浙江）双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 答案C 8.（2018年浙江）双曲线的离心率，则实半轴长a =_____. 答案2 9.（2017年浙江）设动点到的距离减去它到的距离等于4，则动点的轨迹方程为（ ） A.（） B.（） C.（） D.（） 答案B 10.（2017年浙江）双曲线的两条渐近线方程为______. 答案（或） 11.（2016年浙江）已知双曲线的离心率，实轴长为，直线过双曲线的左焦点且与双曲线交于两点，. （1）求双曲线的方程； （2）求直线的方程. 【解析】（1）由题意：， 所以, 则， 所以所求双曲线方程为：. （2）由（1）得双曲线左焦点的坐标为， 当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为， 这时可求得，这种情况不可能， 所以可设所求直线l的斜率为k， 则直线l的方程为：， 联立方程得： （1）代入（2）， 整理得：， ， ， 化简为：2 即， 因为, 所以，即， 所以所求直线方程为：. （也可以由以下方法求得结果） ， ， 代入化简也可求得 12.（2015年浙江）焦点在x轴上，焦距为8的双曲线，其离心率．则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 答案A 【解析】∵双曲线的焦距为8，∴，又离心率为，∴，即得，故双曲线的标准方程为，答案选A． 考点03抛物线 1．（2024年浙江）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，联立直线与抛物线的方程，由弦长公式求解即可. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，且斜率存在， 设直线的方程为， 由，得， 所以， 解得， 所以， 所以. 故选：C. （2023年浙江）截至2023年2月,被誉为“中国天眼”的500米口径的射电望远镜(FAST)，已经发现超740颗脉冲星,为世界各国探索宇宙星空,提供了中国智慧和中国力量.如图所示,这个射电望远镜的轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分.当抛物线口径AB为300米时，抛物线的深度OC为56.25米,则这个抛物线的标准方程为（ ） A. = 400y B. = 200y C. = 400x D. = 200x 答案A 2．（2022年浙江）己知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案C 3．（2021年浙江）已知抛物线顶点为原点，准线l：. （1）求抛物线的标准方程；（4分） （2）过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，求直线AB的方程. 答案（1）；（2）或 4．（2020年浙江）若直线经过抛物线的焦点，则b的值是（ ） A． B． C．1 D．2 答案C 5．（2019年浙江）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 答案（1）因为焦点为，所以，故抛物线标准方程为. （2）设，则， 由已知得，，，. 所以或. 6．（2018年浙江）抛物线的焦点到其准线的距离是（ ） A. B. C. D. 1 答案B 7．（2017年浙江）1992年巴塞罗那奥运会开幕式中，运动员安东尼奥·雷波洛以射箭方式点燃主会场的圣火成为历史经典.如图所示，如果发射点离主火炬塔水平距离，塔高.已知箭的运动轨迹是抛物线，且离火炬塔水平距离处达到最高点. （1）若以为原点，水平方向为轴，为单位长度建立直角坐标系。求该抛物线的标准方程；（5分） （2）求射箭方向（即与抛物线相切于点的切线方向）与水平方向夹角的正切值.（4分） 答案（1）设抛物线方程为（） 令，则，代入（）得： 解得：， 另法：令，则，代入（）得： 解得：， 所以，抛物线标准方程为（不必写范围） （2）不能垂直于轴，即， 设的斜率为，方程为：， 与抛物线联立方程组得： 整理得：，即 由于与抛物线相切，所以，即 解得：，即 所以，与水平方向夹角的正切值为. 8．（2016年浙江）抛物线的焦点坐标为，则其标准方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】焦点位于y轴，p=4，开口方向朝下；; 所以答案选D。 9．（2015年浙江）己知抛物线，斜率为k的直线L，过其焦点F且与抛物线相交于点，． （1）求直线L的一般式方程；（3分） （2）求的面积S；（4分） （3）由（2）判断，当直线斜率k为何值时的面积S有最大值；当直线斜率k为何值时的面积S有最小值．（3分） 答案（1）由题意抛物线的焦点F（0，1），因为直线L的斜率为k，所以直线L的方程为化为一般式即为：（3分） （2）联立方程得：，将②代入①得：，，， （2分） 又因为原点（0，0）到直线的距离为：（1分） 所以的面积（1分） （3）由（2）得，，∴（1分） 因为，所以无论k取何值，面积S无最大值（1分） 时，为最小值（1分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$