清单02 实数（20个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单02 实数（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根 【典例1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】16的平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 【变式1-2】的平方根为（    ） A．5 B． C．25 D．5或 【变式1-3】实数的平方根为（     ） A．3 B． C． D． 【考点题型二】算术平方根 【典例2】4的算术平方根是（        ） A． B．2 C． D．16 【变式2-1】的算术平方根的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】数的算术平方根是(   ) A． B．±5 C． D．5 【考点题型三】非负数的性质:算术平方根 【典例3】若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【变式3-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知x，y为实数，且 则的值为 【变式3-3】若，求的值 ． 【考点题型四】立方根 【典例4】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算：的值是 ． 【变式4-2】已知的立方根是，则 ． 【变式4-3】若，则 ． 【考点题型五】平方根与立方根综合 【典例5】已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【变式5-1】已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【变式5-2】求下列各式中的的值： (1)； (2)； 【考点题型六】无理数 【典例6】实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D．38 【变式6-2】在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6-3】在实数，3，，，，4，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点题型七】实数 【典例7】有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式7-2】下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 【变式7-3】下列说法错误的是（   ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【考点题型八】实数的性质 【典例8】的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【变式8-1】在，，4，中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．4 D． 【变式8-2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【变式8-3】的相反数是 ； ． 【考点题型九】实数与数轴 【典例9】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 【变式9-1】已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】实数大小比较 【典例10】比较大小： ． 【变式10-1】若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．3 B． C． D． 【变式10-3】比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． 【考点题型十一】估算无理数的大小 【典例11】估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式11-1】与最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-2】若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【变式11-3】大于且小于的所有整数的和是 ． 【考点题型十二】实数的运算 【典例12】计算 (1)； (2)． 【变式12-1】（1）     （2） （3）         （4） 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【变式12-3】计算题： (1)； (2)已知，求的值； 【变式12-4】计算： (1) (2) 【考点题型十三】二次根式有意义的条件 【典例13】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式13-1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【考点题型十四】二次根式的性质与化简 【典例14】实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式14-1】若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【变式14-2】已知，则化简的结果为 ． 【变式14-3】把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ． 【考点题型十五】最简二次根式 【典例15】下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十六】同类二次根式． 【典例16】下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 【变式16-2】与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 【变式16-3】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【考点题型十七】二次根式的乘除法 【典例17】计算∶ (1)； (2)． 【变式17-1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】计算：． 【变式17-3】计算：． 【考点题型十八】二次根式的加减法 【典例18】计算 (1) (2) 【变式18-1】计算： (1) (2) 【变式18-2】计算： (1)； (2)． 【变式18-3】计算下列各题． (1)； (2)． 【考点题型十九】二次根式的混合运算 【典例19】计算： (1)； (2) 【变式19-1】计算： (1)； (2)． 【变式19-2】计算 (1) (2) 【考点题型二十】二次根式化简求值 【典例20】已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【变式20-1】先化简，再求值：，其中． 【变式20-2】已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【清单05】二次根式 1. 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 【清单06】 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单07】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单08】 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单09】 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单10】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】平方根 【典例1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算，再计算，解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选C． 【变式1-1】16的平方根是（   ） A．4 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键． 根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 【变式1-2】的平方根为（    ） A．5 B． C．25 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查求绝对值，平方根．熟练掌握会求一个数的绝对值和平方根是解题的关键． 先求出，再求25的平方根即可． 【详解】解：，则的平方根为5或． 故选：D． 【变式1-3】实数的平方根为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，先得到，再求的平方根即可． 【详解】， ∴的平方根为， 故选：D． 【考点题型二】算术平方根 【典例2】4的算术平方根是（        ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 【详解】解：4的算术平方根是2， 故选B． 【变式2-1】的算术平方根的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，倒数，先化简，再求算术平方根，然后根据乘积为1的两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：的算术平方根为，的倒数为； 故选B． 【变式2-2】数的算术平方根是(   ) A． B．±5 C． D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质解答即可. 【详解】解：∵＝5， ∴数的算术平方根是， 故选C． 【点睛】审清题意是解题的关键一步，如本题是求的算术平方根而不是求25的算术平方根. 【考点题型三】非负数的性质:算术平方根 【典例3】若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 【变式3-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，由非负数的性质可得，，即得，，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 【变式3-2】已知x，y为实数，且 则的值为 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及已知字母的值求式子的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：2 【变式3-3】若，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，根据非负数的性质求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【考点题型四】立方根 【典例4】的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．运用立方根的定义进行求解． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A 【变式4-1】计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是求解一个数的立方根，掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义和题意得，进行计算即可得；掌握立方根的定义的定义是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 【考点题型五】平方根与立方根综合 【典例5】已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据算术平方根和立方根的定义即可求出的值； （）根据（）中的结果求出的值，再根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式5-1】已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 【变式5-2】求下列各式中的的值： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）根据立方根的定义，解方程即可； （2）利用平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【考点题型六】无理数 【典例6】实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】是有理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； （相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意； ∴无理数有个， 故选：． 【变式6-1】下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开不尽方的数；以及像等有这样规律的数． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是小数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、38是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个， 故选：C． 【变式6-3】在实数，3，，，，4，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知并运用无理数是无限不循环小数是解答本题的关键．直接利用无理数的定义：无理数是无限不循环小数，分析即可得到答案． 【详解】解∶在实数，3，，，，4，无理数有，，共2个， 故选∶A． 【考点题型七】实数 【典例7】有下列四个论断：①是有理数；②是分数；③…（两个之间依次增加一个）是无理数；④是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，无理数，根据有理数与无理数的定义一一判断即可． 【详解】解：①是有理数， 正确， ②是分数，错误，是无理数． ③…（两个之间依次增加一个）是无理数，正确， ④是无理数，正确， 综上：①③④正确， 故选：B 【变式7-1】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式7-2】下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴的关系，根据实数的分类，实数与数轴的关系，逐项判断即可求解．熟练掌握有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点一一对应是解题的关键． 【详解】解：．无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意； ．有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式7-3】下列说法错误的是（   ） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【分析】本题考查了无理数、实数的分类、相反数的定义，根据无理数、实数的分类、相反数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、无理数的相反数还是无理数，故原说法正确，不符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不符合题意； C、正有理数、0、负有理数统称有理数，故原说法错误，符合题意； D、实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【考点题型八】实数的性质 【典例8】的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 【变式8-1】在，，4，中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数比较大小，绝对值的意义，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求出四个数的绝对值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 【变式8-2】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，绝度值的性质，根据立方根的定义求出是解题的关键．先根据立方根的定义求出，再根据相反数定义，绝对值的性质解答． 【详解】 解：，， 所以，相反数是，的绝对值是． 故答案为：，． 【变式8-3】的相反数是 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查实数的性质，根据相反数与绝对值的定义求解即可． 【详解】的相反数是； ∵， ∴； 故答案为：，． 【考点题型九】实数与数轴 【典例9】如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数． 【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C对应的实数是， 故选：A． 【变式9-1】已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据数轴可得，据此化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-2】如图，正方形的边长为，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出即求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴这个点表示的实数是， 故选：． 【变式9-3】如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、中的，故该数不存在，则此项不符合题意； C、是无理数，且，则此项符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：C． 【考点题型十】实数大小比较 【典例10】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．根据实数的运算及不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 【变式10-1】若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对题目中的二次根式化简，比较大小即可． 本题考查了二次根式的化简及估算，绝对值，比较实数大小． 【详解】解：由题可得，，， 由， 故选A． 【变式10-2】在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、求一个数的绝对值，先估算出，再根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∴， ∴在，，，这四个数中，最小的数是， 故选：D． 【变式10-3】比较下列各数的大小：（填“＞”、“＜”、“＝”） (1)　　； (2) 　　． 【答案】(1)＜ (2)＞ 【分析】本题主要考查实数的大小比较，正确掌握实数丝袜大小的方法是解题的关键． （１）首先得出，进而比较得出答案； （２）直接利用负数比较大小，绝对值大的反而小，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：＜； （2）解：∵， ∴． 故答案为：＞． 【考点题型十一】估算无理数的大小 【典例11】估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．先估算出的范围，再得到的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 估计的值应在5和6之间， 故选：． 【变式11-1】与最接近的整数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 运用算术平方根的知识进行估算求解即可． 【详解】解： ， ， 即与最接近的整数是3， 故选B． 【变式11-2】若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了无理数的估算，估算出，a，b是两个连续的整数且，据此得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 由题意可知，a，b是两个连续的整数且， ∴ ∴ 故答案为：9 【变式11-3】大于且小于的所有整数的和是 ． 【答案】7 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提 根据算术平方根的定义估算无理数，的大小，再求大于且小于的所有整数的和即可． 【详解】解：，， 大于且小于的所有整数有3和4，其和为， 故答案为：7． 【考点题型十二】实数的运算 【典例12】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）利用有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-1】（1）     （2） （3）         （4） 【答案】（1）0；（2）5；（3）；（4） 【分析】本题考查实数的运算及利用平方根、立方根解方程，熟知相关运算方法是正确解决本题的关键． （1）按二次根式性质及立方根定义化简再合并即可； （2）按二次根式性质及立方根定义化简再合并即可； （3）按平方根定义解方程即可； （4）按立方根定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ， ； （4）， ， ． 【变式12-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了实数的运算； （1）先算绝对值、立方和27的立方根，再加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式12-3】计算题： (1)； (2)已知，求的值； 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题主要考查了实数和绝对值的运算、平方根的性质： （1）利用实数和绝对值的法则进行运算即可； （2）利用平方根的性质进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 解得：或． 【变式12-4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根的方法解方程： （1）先计算立方根和算术平方公式，再计算加减法即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【考点题型十三】二次根式有意义的条件 【典例13】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义． 且， 解得：且， 故选：． 【变式13-1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ． 故选：D． 【变式13-2】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 【考点题型十四】二次根式的性质与化简 【典例14】实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式14-1】若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 【变式14-2】已知，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的性质“”及绝对值的定义是解决本题的关键． 利用二次根式的性质先化简，再利用绝对值的定义化简得结论． 【详解】解： ， ， 原式 ． 故答案为：． 【变式14-3】把根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型十五】最简二次根式 【典例15】下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【变式15-1】下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式15-2】下列式子中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数因数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 【考点题型十六】同类二次根式． 【典例16】下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与是同类二次根式，符合题意； 故选：． 【变式16-1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ． 故答案为：4 【变式16-2】与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同得出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴，即：． 故答案为：1． 【变式16-3】若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点题型十七】二次根式的乘除法 【典例17】计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式17-1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B 【变式17-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式17-3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【考点题型十八】二次根式的加减法 【典例18】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式加减法，正确进行二次根式的化简是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并即可； （2）原式先化简二次根式，再去括号，再合并即可 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式18-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可． （2）先利用二次根式的性质化简，化简绝对值，然后计算二次根式的乘法，最后再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： （2） 【变式18-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式18-3】计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简及二次根式的混合运算，涉及到完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各个二次根式，再计算加减即可； （2）先根据完全平方公式和乘法分配律展开，再计算二次根式的加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型十九】二次根式的混合运算 【典例19】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）计算完全平方公式、多项式乘多项式即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式19-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式19-2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，灵活运用乘法公式是解答本题关键． （1）原式根据多项式除以单项式法则进行计算即可得到答案； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点题型二十】二次根式化简求值 【典例20】已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式， （1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可； （2）将转化为，再整体代入计算即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 【变式20-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，先展开，再去括号合并同类项，化简后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式20-2】已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算． 【详解】（1），， ，， ； （2） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$