第一章　第三讲.全等三角形模型热点题型（2）2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第三讲：全等三角形模型热点（2） 手拉手模型 1.图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． （1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论； （2）线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数； （3）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 2.已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接． （1）发现问题：如图①，当点在边上时， ①请写出和之间的数量关系________，位置关系________； ②线段、、之间的关系是_________； （2）尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，则线段 的长为________． 3.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N． （1）求证：BD=CE． （2）求证：AP平分∠BPE． （3）若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 4.已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH． （1）如图1所示，求证： ①； ②OH⊥AD； （2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，判断线段OH与AD的关系，并说明理由． 婆罗摩笈多 5.如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H．求证：（1）AMEG；（2）AH⊥EG. 6.如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE.若M为BC中点，MA延长线交DE于点H，(1) 求证：AH⊥DE.(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面积. 7.婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： （Ⅰ）图1中S△ABC＝S△ADE； （Ⅱ）如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； （Ⅲ）如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你分别进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 共顶点等边长旋转 8.如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MAN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β． （1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由； （2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形并写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　 　．（直接写出答案） （3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　 　（直接写出答案）． 9.在中，，．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图所示． (1)【证明推断】求证：DN=DM；小明给出的思路：若要证明DN=DM，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接AE,BF，如图所示，求证：AE=BF； (3)【迁移应用】延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系． 新定义和阅读理解 10.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”． 特例感知： （1）在图2中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． 如图2，当△ABC为等边三角形时，且BC＝6时，AD的长为 　 　； 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑倍长AD或倍长B'A，……） 拓展应用： （3）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形内部作等边△PCD，连接AP，BP，若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD中AD边的长． 11.定义：在同一平面内，点A，B分别在射线PM，PN上，过点A垂直的直线与过点B垂直PN的直线交于点Q，则我们把∠AQB称为∠APB的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，CD，BE分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的“边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是_______ ； (2)若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是 _________； (3)若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB=AC． ①如图2，已知∠B=∠C，BD交AC于点E，点C关于直线BD对称点为点F，连接AF，EF，且 ∠CAF=，∠BAC=,求证：BE=CF+CE； 对于上述问题，小明有这样的想法：在BD上截取BH=CF，连接AH，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证BE=CF+CE． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 课后作业： 1.（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接AD、BE，点A、D、E 在同一条直线上，则的度数为__________，线段AD、BE之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接AD、BE，点A、D、E 不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线AD和BE的夹角为_______．（请用含的式子表示） 2.已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，∠EDF=90°． （1）【观察发现】如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，则图中全等三角形一共有 对； （2）【类比探究】若将∠EDF绕点D在平面内旋转，当旋转到E、F点分别在AB、CA延长线上时，BE=AF吗？请利用图②说明理由． （3）【解决问题】连结EF，把△EDF把绕点D在平面内旋转，当旋转到DF与△ABC的腰所在的直线垂直时，请直接写出∠BDF的度数. 3.【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，且AE＝BE， 求证：CD＝AD+BC． 【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且AE＝BE，EF＝EG，连接BG交CD于点H．求证：BH＝GH． 【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB十∠DEC＝180°，且AE＝BE，DE＝EC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG． 4.（1）观察发现：如图1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，BC为边，向外作正方形ABDE和正方形BCFG，连接DG．若M是DG的中点，不难发现：BM=AC． 请完善下面证明思路：①先根据 　，证明BM=DG；②再证明　 　，得到DG=AC；所以BM=AC； （2）数学思考：若将上题的条件改为：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中点”，则相应的结论“AN=BC”成立吗？ 小颖通过添加如图2所示的辅助线验证了结论的正确性．请写出小颖所添加的辅助线的作法，并由此证明该结论； （3）拓展延伸：如图3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．连接BE，CD，若P是CD的中点，探索：当∠BAC与∠DAE满足什么条件时，AP=BE，并简要说明证明思路． 5.如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，求的度数 6.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形， 求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中,AB=AC，过点C作，点D是射线CM上一点，以AD为边作，连接BE．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 7.阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积. 解：延长线段到，使得，连接,我们可以证明≌,根据全等三角形的性质得,， 则， 得， 这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积. （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 . （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题. 如图2，已知，，求五边形的面积. 图1 图2 学科网（北京）股份有限公司 $$