专题3.2 基本不等式（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题3.2 基本不等式 一、基本不等式的内容及辨析 五、利用“1”的妙用求最值 二、比较大小 六、等式含和积求最值 三、证明不等式 七、恒成立问题及有解问题 四、直接法、配凑法求最值 八、求解实际问题 知识点1两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 重难点一 理解基本不等式 【例1】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【例2】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【变式1-1】“，”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-2】给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 重难点二 比较大小 【例3】阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【例4】设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 【变式2-1】如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若，，则、、、中最大的一个是 ． 重难点三 证明不等式 【例5】已知a、b是正数，求证：． 【例6】已知，，，求证： (1)； (2). 【变式3-1】已知a、b为正数，求证：，并指出等号的成立条件. 【变式3-2】已知，，且满足. (1)证明：； (2)求的最小值. 【变式3-3】已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 知识点2基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点四 直接法或配凑法求最值 【例7】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例8】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【变式4-1】如图，为的边上一点，，则的最小值为 . 【变式4-2】求的最小值． 【变式4-3】（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 重难点五 利用“1”的妙用求最值 【例9】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【例10】已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式5-1】已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式5-2】已知正实数，满足，则的最小值为 . 【变式5-3】设为正数，且，则的最小值为 重难点六 等式含和积求最值 【例11】若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式6-1】已知，则的最大值为 ． 【变式6-2】若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，且，则的最大值为 . 重难点七 恒成立问题及有解问题 【例13】若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【例14】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式7-1】若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【变式7-2】已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件. 【变式7-3】已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 重难点八 求解实际问题 【例15】由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【例16】用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【变式8-1】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 【变式8-3】某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 一、单选题 1．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 2．若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 4．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 7．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 8．已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 三、填空题 9．已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 10．用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 11．若x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 四、解答题 12．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 13．解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值. 14．已知正数a，b，c满足，，求c的取值范围． 15．某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 基本不等式 一、基本不等式的内容及辨析 五、利用“1”的妙用求最值 二、比较大小 六、等式含和积求最值 三、证明不等式 七、恒成立问题及有解问题 四、直接法、配凑法求最值 八、求解实际问题 知识点1两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 重难点一 理解基本不等式 【例1】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 【例2】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 【变式1-1】“，”是“”的(    ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，，即， 当时，不成立，故充分性不成立； 当时，，可以异号，故，不一定成立，故必要性不成立． 综上，知“，”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 【变式1-2】给出条件①，②，③，，④，，其中能使成立的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由基本不等式可知，要使成立，则，所以，同号， 所以①③④均可以， 故选：C. 【变式1-3】（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD 重难点二 比较大小 【例3】阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 【例4】设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 【答案】 【详解】，且，则，即， 故，，当且仅当时，等号成立， 故，即， ，故， 因为，所以， 由于，所以，即， ， 即， 综上所述：. 【变式2-1】如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 【变式2-2】（多选）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设一楼到五楼的距离为， 由题知，A错误； 因为， 且，所以，所以，所以， 又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确； 对C，因为，所以， 又因为， 所以，即，C正确； 对D，因为， 所以，即，D正确； 故选:BCD. 【变式2-3】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 重难点三 证明不等式 【例5】已知a、b是正数，求证：． 【答案】证明见详解 【详解】因为a、b是正数， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【例6】已知，，，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） ∵，，，∴，， 当且仅当时，等号成立.∴； （2）∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； ∵，，∴，当且仅当时，等号成立； 累加，得，证毕. 【变式3-1】已知a、b为正数，求证：，并指出等号的成立条件. 【答案】证明见解析，当且仅当时等号成立 【详解】因为，所以，即， 当且仅当时等号成立. 【变式3-2】已知，，且满足. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立. ，当且仅当时，等号成立. （2）因为， 所以， 令，则， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以，即的最小值为. 【变式3-3】已知a，b为正实数. (1)若，求证：； (2)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为a，b是正实数，则， 当且仅当时，等号成立， 故. （2） ， 当且仅当时，即，时，取等号. 知识点2基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点四 直接法或配凑法求最值 【例7】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号， 最大值为， 故选：C. 【例8】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 【变式4-1】如图，为的边上一点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】以为轴，以为轴，建立平面直角坐标系， 设 ， 法一：，当时，. 法二：， 当且仅当时等号成立，故. 故答案为：. 【变式4-2】求的最小值． 【答案】4 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是4． 【变式4-3】（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）7；（2） 【详解】（1）时，根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号，故时，函数的最小值是7； （2），故， 根据基本不等式可得：， 当，即时取得等号， 故时，的最大值是. 重难点五 利用“1”的妙用求最值 【例9】若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 【例10】已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 【变式5-1】已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为25. 故选：B 【变式5-2】已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 【变式5-3】设为正数，且，则的最小值为 【答案】/5.8 【详解】由题意，， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 重难点六 等式含和积求最值 【例11】若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 【例12】（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【详解】若，则， 因为为正实数，所以（矛盾），故A错误； 因为， 所以，得， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故C错误，D正确. 故选：BD 【变式6-1】已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式6-2】若正数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知为正数，且， 所以，化简得，解得， 当且仅当时取等号，所以，故A正确. 故选：A. 【变式6-3】已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由，可得，即， 因为，可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 重难点七 恒成立问题及有解问题 【例13】若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 【例14】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 【变式7-1】若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 【变式7-2】已知命题，满足，不等式恒成立，命题，则是的 条件. 【答案】充分不必要 【详解】不等式恒成立，即， 且满足， ， 当且仅当即时，等号成立. 所以，解得， 故命题，命题， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式7-3】已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 故答案为：. 重难点八 求解实际问题 【例15】由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【答案】B 【详解】不妨设两次购买猪肉的价格分别为，， 第一种方案，均价为， 第二种方案，均价为， 其中，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以采用第二种方案划算. 故选：B 【例16】用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【变式8-1】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 【变式8-2】（多选）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（   ） A．若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 B．若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变 C．若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 D．若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 【答案】BC 【详解】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意有，解得， 所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误； 对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故B正确； 对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即, 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故C正确； 对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以, 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了， 故D错误. 故选：BC. 【变式8-3】某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 一、单选题 1．若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】因为，所以当同号时，， ，当且仅当时等号成立； 当异号时，， ，当且仅当时等号成立； 故选：C. 2．若命题“，”是真命题，则可能等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意得， 因为当，，当且仅当时等号成立，则D选项符合题意. 故选：D. 3．若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【详解】∵， 所以，当且仅当时等号成立， ，所以，当且仅当时取等号， 故选：C． 4．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】设，则， 则 由可得， 化简得， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即或时等号成立， 故， 故选：D 6．若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对任意实数，，不等式恒成立， 则对于任意实数，恒成立， 则只需求的最大值即可，， 设，则， 再设，则 ， 当且仅当，即时取得“＝”． 所以，即实数a的最小值为． 故选：D． 二、多选题 7．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 8．已知，设，，则以下四个命题中正确的是（    ） A．若，则有最小值 B．若，则有最大值2 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BC 【详解】由题意知，，，，， 对于A：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B：当 时，，当且仅当时等号成立， 令，则，且，解得，即，解得， 所以，即有最大值，当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C：当时，，当且仅当，即，时等号成立， 所以，得，所以，故C正确； 对于D：当时，得， 所以， 当且仅当，即、时取等号，即有最小值，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 9．已知，均为正实数，且，则的最大值为 . 【答案】1 【详解】， 由，可得 ， 当且仅当，等号成立，则的最大值为1． 故答案为：1． 10．用4米长的铝合金条做一个“日”字形的窗户，要使窗户透过的光线最多，窗户的长与宽之比为 ． 【答案】 【详解】设窗户的长为米，则宽为米，面积为. 则， 当且仅当时，即米时，窗户面积最大，透过的光线最多，此时，宽为； 所以窗户的长与宽之比为. 故答案为： 11．若x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】， 由题意 ，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：9. 四、解答题 12．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【详解】（1）解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以， 可得，解得， 又因为，所以，所以宽的最大值为米. （2）解：记整个的绿化面积为平方米， 由题意可得 （平方米） 当且仅当时，即米时，等号成立， 所以整个绿化面积的最小值为平方米. 13．解答下列各题. (1)若，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值. 【答案】(1)8 (2)9 【详解】（1）因为，则， ， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8； （2）， ，又，， ， 当且仅当，即是等号成立， 结合，知时，有最小值为. 14．已知正数a，b，c满足，，求c的取值范围． 【答案】 【详解】因为a，b，c是正数，所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又因为，可得， 又因为，所以，所以的取值范围是． 15．某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 【答案】(1)采用方案二花费更少，理由见解析 (2)54 【详解】（1）方案一的总费用为，方案二的总费用为， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二花费更少. （2）由（1）可知， 因为， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 令，则， 所以，当时,即，等号成立， 所以差值的最小值为，当且仅当，，，时，等号成立. 故两种方案花费的差值的最小值为54. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$