第10讲 图形的位似变换（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 图形的位似变换（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．位似变换 1．（2024•镜湖区一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点的对应点的坐标是 　　． 2．（2023秋•涡阳县校级月考）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的周长为2，则的周长是　　 A．4 B．8 C．12 D．16 3．（2023秋•界首市校级月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，在轴上方将缩小到原来的，得到△，点，，的对应点分别为，，． （1）画出△，并写出点的坐标； （2）求出△的面积． 题型二．作图-位似变换 4．（埇桥区月考）如图，矩形的两边在坐标轴上，点为平面直角坐标系的原点，以轴上的某一点为位似中心，作位似图形，且点，的坐标分别为，，则位似中心的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2024•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△，请在图中画出△； （2）以点为位似中心在第三象限内画出的位似图形△，使得与△的位似比为； （3）连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 6．（2024•镜湖区校级三模）在如图所示小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不要求写画法）． （1）在图中请以为端点作一条线段，使它与线段平行且相等； （2）以点为位似中心，将线段按缩小为，在图中画出线段，并保留作图痕迹． 题型三、位似图形的识别 7．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 9．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP． (1)求证：△ADP∽△BCP； (2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形； (3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 题型四、求位似图形的对应坐标 10．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把扩大到原来的3倍，则点E的对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C．或 D． 11．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 12．（2024·安徽池州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．相似多边形都是位似多边形 B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似 C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似 D．所有的菱形都相似 2．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 4．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（   ） A． B． C． D． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则的面积是（） A．8 B．18 C．27 D．30 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（　　） ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF周长之比为2：1； ④△ABC与△DEF的面积之比为9：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△，则点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，的边在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个三角形的位似图形，且对应点C和E的坐标分别为．则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到，若点的坐标是，则点的坐标是 ． 12．五边形与五边形是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为，若位似中心到的距离为，则到的距离为 ． 13．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      14．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为 ． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 16．如图，利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，进行位似变换，得到△A'B′C′．度量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长，你有什么发现？任意改变△ABC的位置，得出的结论是否仍然成立？ 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 图形的位似变换（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点2．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型强化 题型一．位似变换 1．（2024•镜湖区一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点的对应点的坐标是 　　． 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：以原点为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，点的坐标为， 点的对应点的坐标是点，即， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 2．（2023秋•涡阳县校级月考）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的周长为2，则的周长是　　 A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，根据，得到，确定位似比计算即可． 【解答】解：与是位似图形，点为位似中心，． ， 根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了位似变换，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（2023秋•界首市校级月考）如图，的三个顶点的坐标分别为，，，以坐标原点为位似中心，在轴上方将缩小到原来的，得到△，点，，的对应点分别为，，． （1）画出△，并写出点的坐标； （2）求出△的面积． 【分析】（1）根据位似图形的性质，画出△，再写出点的坐标即可； （2）分割法求△的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； 由图可知：； （2）△的面积． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 题型二．作图-位似变换 4．（2017秋•埇桥区月考）如图，矩形的两边在坐标轴上，点为平面直角坐标系的原点，以轴上的某一点为位似中心，作位似图形，且点，的坐标分别为，，则位似中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】连接交轴于，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，求出点的坐标． 【解答】解：如图，连接交轴于， 四边形和四边形是矩形，点，的坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ，， 点的坐标为， 故选：． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 5．（2024•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）把向左平移8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到△，请在图中画出△； （2）以点为位似中心在第三象限内画出的位似图形△，使得与△的位似比为； （3）连接，请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，△即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 【点评】本题考查了作图位似变换，作图平移变换，正确地作出图形是解题的关键． 6．（2024•镜湖区校级三模）在如图所示小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不要求写画法）． （1）在图中请以为端点作一条线段，使它与线段平行且相等； （2）以点为位似中心，将线段按缩小为，在图中画出线段，并保留作图痕迹． 【分析】（1）结合平行线的判定画图即可． （2）结合位似的性质，连接，，分别取，的中点，，连接即可． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求． （2）如图，线段即为所求． 【点评】本题考查作图位似变换、平行线的判定，熟练掌握位似的性质、平行线的判定是解答本题的关键． 题型三、位似图形的识别 7．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 8．（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是 ．（选填“小明”或“小亮”）． 【答案】小亮 【分析】根据位似图形的概念画出图形，得到答案． 【详解】解：延长、、、分别到、、、， 则四边形是四边形的位似图形， 所以小亮正确． 故答案为：小亮． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似的两个图形对应点的连线都经过同一点是解题的关键． 9．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP． (1)求证：△ADP∽△BCP； (2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形； (3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 【答案】(1)见解析； (2)不是位似图形； (3)6 【知识点】位似图形的识别、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明； （2）根据位似图形的定义判断，即可； （3）根据△ADP∽△BCP，得到，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB， ∴ △ADP∽△BCP． （2）解：△ADP与△BCP不是位似图形． 理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点， ∴ △ADP与△BCP不是位似图形． （3）解：∵△ADP∽△BCP， ∴， ∵∠APB＝∠DPC， ∴△APB∽△DPC， ∴， ∴， 解得AP＝6． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型四、求位似图形的对应坐标 10．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，把扩大到原来的3倍，则点E的对应点的坐标为（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把扩大到原来的3倍，， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 11．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，， ∴点A的对应点的坐标是点，即， 故答案为：． 12．（2024·安徽池州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)把向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)画出以O点为位似中心的位似图形，使得与的位似比为，并写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析；，， 【知识点】求位似图形的对应坐标、平移(作图)、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了位似作图，轴对称作图，平移作图，根据题意作出对应点的位置，是解题的关键． （1）先作出点、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （3）先根据位似作出点A、B、C的对称点、、，然后顺次连接即可；最后根据图形写出点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，即为所求作的三角形；，，． 分层练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．相似多边形都是位似多边形 B．有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似 C．两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形一定相似 D．所有的菱形都相似 【答案】B 【分析】根据三角形相似的性质及判定可以判断出B、C选项，根据相似多边形以及位似多边形的性质判断A、D即可得出答案． 【详解】A：当多边形对应顶点连线相交于一点，且对应点成比例的两个相似多边形是位似多边形，故A错误； B：因为三角形内角和为，所以有一个角100°的等腰三角形一定是顶角为100°，故两个等腰三角形三个角相等，故两个三角形相似，故B正确； C：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C错误； D：正方形也属于菱形，与普通菱形不相似，故不是所有菱形都相似，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是三角形相似的性质以及多边形位似的判定和多边形相似的判定，熟练掌握三角形相似的性质及判定以及多边形位似的判定是解答本题的关键． 2．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的面积之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心，， ∴与的相似比为， ∴与的面积之比是； 故选D． 【点睛】本题考查位似图形的性质．熟练掌握位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键． 3．如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了求位似图形的坐标，先根据题意可知有两种情况：在原点的同侧或原点的异侧，再根据将图形按照缩小就是对应点的坐标分别乘以即可得出答案． 【详解】解：当位似图形在原点同侧时，和的相似比是，点， ∴点； 当位似图形在原点异侧时，和的相似比是，点， ∴点． 所以点的坐标是或． 故选：B． 4．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 5．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形与四边形的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：四边形与四边形位似， ， ， ， ， ， 同理可得，，，， 四边形与四边形相似， 四边形与四边形的周长比是， 故选：B． 6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则的面积是（） A．8 B．18 C．27 D．30 【答案】C 【分析】与是位似图形，由可得两个图形的位似比，再根据位似图形的性质：面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：与是位似图形，， 与的相似比为2：3， 与的面积比为4：9， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于相似比的平方． 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰与等腰是位似图形，且斜边垂直轴，为位似中心，，，，，，五点共线，若：：，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似的性质得到，∽，则利用相似三角形的性质得到，所以，即，然后求出点坐标，最后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：， 等腰与等腰是位似图形，为位似中心， ，∽， ∽， ， ， ， ， 轴，，，，，五点共线， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 8．如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（　　） ①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形； ③△ABC与△DEF周长之比为2：1； ④△ABC与△DEF的面积之比为9：1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可作出判断． 【详解】根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查位似三角形的性质，解题的关键是熟知位似三角形的定义及性质. 9．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△，则点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，， 点的坐标是，即， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 10．如图，的边在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个三角形的位似图形，且对应点C和E的坐标分别为．则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接CE交y轴于点P，根据题意得到点P为位似中心，利用待定系数法求出直线CE的解析式，根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】 解：CE交y轴于点P， ∵C和E是对应点， ∴点P为位似中心， 设直线CE的解析式为y＝kx＋b， ∵点C和E的坐标分别为， ∴ 解得， ∴， ∴P（0，2）， ∴位似中心的坐标是（0，2）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到，若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，即可得出对应点的坐标应乘以或2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以或2，点的坐标是， ∴点的坐标是或 故答案为：或． 12．五边形与五边形是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为，若位似中心到的距离为，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质得出两图形的位似比，进而得出A到A1的距离． 【详解】∵五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1是位似图形，它们在位似中心的同侧，其面积比为9：16， ∴位似比为：3：4， ∵位似中心O到A的距离为3，O到A1的距离为4， ∴A到A1的距离为：1． 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了位似变换，根据题意得出位似比是解题关键． 13．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      【答案】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 14．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为 ． 【答案】1：4. 【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴AB：DE=OA：OD=1：2， ∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4． 考点：位似变换． 三、解答题 15．如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和是位似三角形，见解析 【分析】（1）运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可； （2）利用位似图形的性质进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵每个最小正方形的边长均为1， ∴，， ，， ∵ ∴ ∴ （2）和是位似三角形，位似中心的位置O如图所示： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的性质，注意位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 16．如图，利用直尺、计算机或图形计算器任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选相似比k，进行位似变换，得到△A'B′C′．度量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长，你有什么发现？任意改变△ABC的位置，得出的结论是否仍然成立？ 【答案】任意改变△ABC的位置，得到△A'B′C′，，△ABC与△A'B′C′的对应边互相平行，任意改变△ABC的位置，得出的结论仍然成立． 【分析】根据测量线段OA，OA′，OB，OB′，OC，OC′的长得出，证明△∽△BOA，推出A′B′∥AB，同理：A′C′∥AC，C′B′∥CB，由此得到位似图形的关系 【详解】解：经测量，OA＝2cm，OA′＝1cm，OB＝3cm，OB′＝1.5cm，OC＝3cm，OC′＝1.5cm， 可以得到，， ∵，, ∴△∽△BOA， ∴， ∴A′B′∥AB， 同理：A′C′∥AC，C′B′∥CB， ∴位似图形的对应边互相平行， 任意改变△ABC的位置，得到△A'B′C′， 仍有，△ABC与△A'B′C′的对应边互相平行， 即随意改变△ABC的位置，得出的结论仍然成立． 【点睛】此题考查了位似图形的作图，对应线段比例计算，相似三角形的判定及性质，正确掌握相似三角形的判定及性质进行证明是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据位似图形的性质，只需要点A、B的横纵坐标分别乘以，即可得出点的坐标，即可求解； （2）用所在的长方形的面积减去周围三个三角形的面积求解即可． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）． 【点睛】本题考查了位似图形的作图，熟练掌握作位似图形的方法是解题的关键． 18．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，； (3)点在中的对应点的坐标为． 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图，点为所作； （2）如图，为所作，点的坐标为； （3）点在中的对应点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $$