第10讲 全等三角形（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 全等三角形（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型强化 题型一．全等图形 1．（2022秋•东至县期末）下列说法中正确的是　　 A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 2．（2022秋•凤阳县校级月考）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为 　　． 3．（巢湖市期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则　　． 题型二．全等三角形的性质 4．（2023秋•亳州月考）如图，，点，，，共线，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•亳州期末）如图，，，，则的长是 　　． 6．（2023秋•淮北期末）如图所示，已知． （1）如果，，求的长； （2）如果，，求的度数． 分层练习 一、单选题 1．如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数是（  ） A． B．40° C． D．45° 3．在和中，已知，，在下面判断中错误的是　　 A．若添加条件，则≌ B．若添加条件，则≌ C．若添加条件，则≌ D．若添加条件，则≌ 4．如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（　　） ①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC≌△ADC，∠ABC＝118°，∠DAC＝40°，则∠BCD 的度数为(   ) A．40° B．44° C．50° D．84° 9．如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、BC上，且CA=CD=CE，下列说法： ①∠EDB=45° ②∠EAD=∠ECD   ③当△CDB是等腰三角形时，△CAD是等边三角形④当∠B=22.5°时，△ACD≌△DCE ，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知△ABC≌△DEF，∠E=30°, ∠F=50°,则∠A= °． 12．如图，≌，则此图中相等的线段有 对． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC的中点为E，BD⊥AC，垂足为D，若∠EAD=20°，则∠ABD= . 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，一条线段PQ＝AB＝5，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP＝ ． 三、解答题 15．已知，如图，△ABC≌△DEF，求证：AC∥DF. 16．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 17．已知：如图，在长方形中，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． (1)请用含t的式子表达的面积； (2)是否存在某个t值，使得和全等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由. 18．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．      (1)画出中边上的高； (2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； (3)画一个格点三角形，使之与全等． 19．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 全等三角形（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型强化 题型一．全等图形 1．（2022秋•东至县期末）下列说法中正确的是　　 A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等． 故选：． 【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键． 2．（2022秋•凤阳县校级月考）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为 　　． 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 3．（巢湖市期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则　6　． 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等则重合的性质有． 【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以． 【点评】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边． 题型二．全等三角形的性质 4．（2023秋•亳州月考）如图，，点，，，共线，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形外角性质得：，由全等三角形的性质得，即可求解． 【解答】解：，， ， 点，，，共线， 是的外角， 又， ， 故选：． 【点评】本题主要考查三角形外角性质，全等三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 5．（2023秋•亳州期末）如图，，，，则的长是 　5　． 【分析】根据全等三角形性质，可得：，得出，从而，即可求解． 【解答】解：，，， ， 即 ． 故答案为：5 【点评】本题考查了全等三角形性质，关键找出对应边和对应角．求线段的大小往往利用全等三角形的性质求解． 6．（2023秋•淮北期末）如图所示，已知． （1）如果，，求的长； （2）如果，，求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质，可得出，根据，，得出，从而得出的长； （2）根据全等三角形的性质可得出，即可得出，计算即得出答案． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ； （2）， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 分层练习 一、单选题 1．如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，左图中a与c的夹角为，右图中a与c的夹角为， ∴， 故选：A． 2．如图，，，，则的度数是（  ） A． B．40° C． D．45° 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可． 【详解】∵△ACB≌△A′CB′， ∴∠ACB=∠A′CB′， ∴∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB， 即∠ACA′=∠BCB′， ∵,∠ACB′=110°， ∴∠ACA′=  (110°−30°)=40°. 故选B 【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于得出∠ACA′=∠BCB′. 3．在和中，已知，，在下面判断中错误的是　　 A．若添加条件，则≌ B．若添加条件，则≌ C．若添加条件，则≌ D．若添加条件，则≌ 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A，正确，符合SAS判定； B，不正确，因为边BC与不是与的一边，不符合全等三角形判定，所以不能推出两三角形全等； C，正确，符合AAS判定； D，正确，符合ASA判定； 故选B． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有：AAS，SAS，SSS，HL等要根据已知与判断方法进行思考． 4．如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形的对应角相等即可求出的大小． 【详解】∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 5．如图，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，再由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 6．下列命题中正确的是（　　） ①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两三角形全等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质和判定对选项进行分析即可得到答案. 【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确； ②三个角对应相等的两个三角形全等，错误； ③有两边和一角对应相等的两三角形全等，错误； ④有两角和一边对应相等的两三角形全等，正确， 故正确的有2个， 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定. 7．如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据判定两个三角形全等，得到的对边是8，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵根据边为7和7.6的夹角为即符合判定两个三角形全等， ∴的对边是8， ∴． 故选：D． 8．如图，△ABC≌△ADC，∠ABC＝118°，∠DAC＝40°，则∠BCD 的度数为(   ) A．40° B．44° C．50° D．84° 【答案】B 【分析】根据全等的性质得出∠DCA=∠BCA=44°根据三角形内角和定理求出∠BCA，，即可求出答案． △ABC≌△ADC，∠ABC＝118°，∠DAC＝40° 【详解】解：∵△ABC≌△ADC， ∴∠DAC=∠BAC，∠BCA=∠DCA, ∵∠ABC＝118°，∠DAC＝40°， ∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-118°-40°=22°， ∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=44°， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠BCA=∠DCA是解题的关键． 9．如图，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质、角的和差、三角形外角的性质等知识点逐个分析即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即①正确,,即③正确，； ∴, ∴，即②正确； ∵， ∴, ∵ ∴，即④正确； ∴正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键． 10．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点D、E分别在AB、BC上，且CA=CD=CE，下列说法： ①∠EDB=45° ②∠EAD=∠ECD   ③当△CDB是等腰三角形时，△CAD是等边三角形④当∠B=22.5°时，△ACD≌△DCE ，其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】设∠CAD=∠CDA=x，得∠ACD =180°-2x，∠DCE=2x-90°根据题意对每个选项进行分析. 【详解】设∠CAD=∠CDA=x,则∠ACD =180°-2x,∠DCE=90°-(180°-2x)=2x-90°, ∠CDE==135°-x,∠EDB =180°-(x+135°-x)=45°, ①正确. ∠EAD =x-45°,∠ECD=2x-90°, 所以∠EAD=∠ECD，②正确. 当△CDB是等腰三角形时，∠B=∠DCB，90°-x=2x-90°，x=60°，∴△CAD是等边三角形，③正确. 当∠B=22.5时，∠ACD=45°，∠DCE =45°,根据SAS，易知△ACD≌△DCE，④正确. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握角的计算及全等三角形的判定. 二、填空题 11．已知△ABC≌△DEF，∠E=30°, ∠F=50°,则∠A= °． 【答案】100 【分析】根据全等三角形的性质得到∠B=∠E=30°，∠C=∠F=50°，再由三角形内角和得到∠A=∠B-∠C，计算即可得到答案. 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠E=30°，∠C=∠F=50°， ∴∠A=∠B-∠C =180°-30°-50°=100°． 故答案为100． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解题的关键是掌握全等三角形的性质和三角形内角和. 12．如图，≌，则此图中相等的线段有 对． 【答案】4； 【分析】根据两个三角形全等，可以得到3对三角形的边相等，根据BC=EF，又可以得到BE=CF可得答案是4对． 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∵BC=EF，即BE+EC=CF+EC， ∴BE=CF， 即有4对相等的线段， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应边相等问题；解题时，结合已知，认真观察图形，得到BE=CF是正确解答本题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC的中点为E，BD⊥AC，垂足为D，若∠EAD=20°，则∠ABD= . 【答案】50º 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得∠BAC的度数，再根据垂直的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可求解. 【详解】解：∵AB=AC，BC的中点为E，∠EAD=20º， ∴∠BAC=40º， ∵BD⊥AC， ∴∠BDA=90º， ∴∠ABD=50º. 故答案为：50º. 【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质. 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，一条线段PQ＝AB＝5，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP＝ ． 【答案】3或4 【分析】根据全等三角形的性质即可判断； 【详解】解：∵∠C=∠PAQ=90°， 又∵以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC全等， ∴PA=BC或PA=AC， ∵BC=3，AC=4， ∴PA=3或4， 故答案为3或4． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 三、解答题 15．已知，如图，△ABC≌△DEF，求证：AC∥DF. 【答案】见解析 【分析】根据两个三角形全等可知∠ACF=∠DFC，再根据平行线判定定理解答即可. 【详解】∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACF=∠DFC ∴AC∥DF. 【点睛】本题考查三角形全等的性质及平行线判定定理，两个三角形全等，对应角相等；在同一平面内，内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键. 16．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【分析】由题意根据作三角形全等于已知三角形的方法利用ASA，在矩形的较短的边上截取线段等于彩旗的短直角边，再作一角等于彩旗的顶角即可． 【详解】解：如图所示： 　 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及应用与设计作图，熟练并正确利用全等三角形的判定进行分析是解题的关键． 17．已知：如图，在长方形中，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． (1)请用含t的式子表达的面积； (2)是否存在某个t值，使得和全等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，满足条件的t值为或． 【分析】本题考查了三角形的面积，求函数解析式和全等三角形的性质等知识． （1）分三种情况，由三角形面积公式即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，根据题意得出和，即可求得． 【详解】（1）解：①当P在上时， 如图，由题意得， ∴； ②当P在上时，， ∴； ③当P在上时，由题意得 ∴； 综上，； （2）解：当P在上时，由题意得， ∴， ∵，为公共边， ∴要使，则需，如图1所示： ∵， ∴， ∴， 即当时，； 当P在上时，由题意得， ∵，， ∴， ∵，为公共边， ∴要使，则需，如图2所示： 即， ∴， 即当时，； 综上所述：当或时，和全等． 18．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．      (1)画出中边上的高； (2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； (3)画一个格点三角形，使之与全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （2）根据三角形中线的性质求解即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求；      （2）如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；      （3）如图所示，      【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键． 19．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$