专题3.1 不等式的基本性质（五个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题3.1 不等式的基本性质 一、作差法比较大小 四、利用不等式的性质证明不等式 二、作商法比较大小 五、利用不等式的性质求取值范围 三、利用不等式的性质判断不等式 知识点一 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 重难点一 作差法比较大小 【例1】已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【例2】已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【变式1-1】已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式1-2】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式1-3】（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 重难点二 作商法比较大小 【例3】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【例4】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式2-1】若，则、、、中最小的是 . 【变式2-2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【变式2-3】设，比较与的大小 知识点二 等式及不等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点三 利用不等式的性质判断不等式 【例5】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例6】下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【变式3-2】（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【变式3-3】已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 重难点四 利用不等式的性质证明不等式 【例7】设，（a、），写出“且”用s、p表示的一个充要条件，并证明． 【例8】已知，．求证：． 【变式4-1】已知，，求证． 【变式4-2】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式4-3】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 重难点五 利用不等式的性质求取值范围 【例9】已知，则的取值范围为 ． 【例10】已知，，求及的取值范围． 【变式5-1】（1）已知，求与的取值范围； （2）已知，试求的取值范围 【变式5-2】（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【变式5-3】已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 一、单选题 1．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 2．设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 6．某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 二、多选题 7．下列四个命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 8．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知为实数，那么 的最小值为 . 10．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 11．若，，则的取值范围用区间表示为 ． 四、解答题 12．已知，求证：． 13．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 14．实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 不等式的基本性质 一、作差法比较大小 四、利用不等式的性质证明不等式 二、作商法比较大小 五、利用不等式的性质求取值范围 三、利用不等式的性质判断不等式 知识点一 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 重难点一 作差法比较大小 【例1】已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:B. 【例2】已知a，，记，，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，且a，， 所以． 故答案为：. 【变式1-1】已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】对于可知，当时满足命题，为真命题，所以为假命题； 易知， 所以，也即为真命题，为假命题； 可得和都是真命题. 故选：A 【变式1-2】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】由作差法得， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 【变式1-3】（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【详解】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 重难点二 作商法比较大小 【例3】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【例4】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式2-1】若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 【变式2-2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 【变式2-3】设，比较与的大小 【答案】 【详解】， ， ， . 知识点二 等式及不等式的基本性质 1．等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点三 利用不等式的性质判断不等式 【例5】下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 【例6】下面有四个说法： ①且且； ②且； ③； ④， 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①，因为且， 根据不等式性质，可得， 取，时，， 所以且可以推出，但不能推出，故①错误； 对于②，， 因为且，所以且， 所以，即， 所以且不能推出，故②错误； 对于③，因为，所以，故③正确； 对于④，， 因为，所以，所以，即， 所以可以推出，故④正确. 故选：B. 【变式3-1】给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【答案】③④ 【详解】对①，当时，结论错误，故①错误； 对②，当时，即，故结论错误； 对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立； 对④因为，所以即；即，所以，故④正确. 故答案为：③④ 【变式3-2】（多选）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，显然，即，则，故B正确； 对于C，若，且，则，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-3】已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【答案】① 【详解】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 重难点四 利用不等式的性质证明不等式 【例7】设，（a、），写出“且”用s、p表示的一个充要条件，并证明． 【答案】且，证明见解析. 【详解】证明：因为且， 所以充要条件为：且. 【例8】已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【变式4-1】已知，，求证． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，，所以， 又因为，，所以， 由不等式传递性，． 【变式4-2】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式4-3】设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 重难点五 利用不等式的性质求取值范围 【例9】已知，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， ，则， 将不等式的两边同时乘以，可得， ， 故答案为：. 【例10】已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 【变式5-1】（1）已知，求与的取值范围； （2）已知，试求的取值范围 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）由于，， ，即； 又， ， 的取值范围是，的取值范围是； (2)， ， ， 又， ，故. 【变式5-2】（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） 由题意得 所以，即 （2）设 所以，解得 由题意得， 两式相乘，得，即 【变式5-3】已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【详解】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 一、单选题 1．已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】D 【详解】对于A：若，，则，则，故A错误； 对于B：若，，例如， 则，故B错误； 对于C：若，可得， 则，无法得出，故C错误； 对于D：若，则， 可得，则， 所以，故D正确． 故选：D． 2．设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，不妨取， 对于A，，所以A错误， 对于C，，可得C错误； 对于B，当时，不成立，即B错误； 对于D，，即可得，即D正确. 故选：D 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由题意， 若，则， 故“”是“”的充分条件； 反之若， 取，满足，但不满足， 故“”不是“”的必要条件． 于是“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为所以, 所以,所以是的充分条件； 当, 不能满足,所以是的不必要条件； 故选：A. 5．若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 6．某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【详解】不妨设商品原价格为， 则方案甲两次降价后的价格为：； 方案乙两次降价后的价格为：； 方案丙两次降价后的价格为：. 所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同； 又（因为，故不能取“”） 所以，方案丙两次降价后的价格最高. 故选：C 二、多选题 7．下列四个命题中，为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，则不成立，故A选项为假命题； 对于B，∵，∴，又，∴，故B选项为真命题； 对于C，由不等式的基本性质可得，C选项为真命题； 对于D，当，时，，则，故D选项为假命题. 故选：BC. 8．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，，所以， 取，则，故A、C错误； ，故B正确； 由， 因为，所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．已知为实数，那么 的最小值为 . 【答案】3 【详解】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 10．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【详解】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 11．若，，则的取值范围用区间表示为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 又，所以，则， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 12．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， 又， ，， 则， . 13．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 14．实数a，b满足，. (1)求实数a，b的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， 因为，所以， 又，所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$