清单01 有理数（知识导图+14个考点清单&题型解读）（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材青岛版

清单01 有理数 （考点梳理+14个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】正负数的实际应用 3 【考点题型二】有理数的分类 5 【考点题型三】带“非”字的有理数 5 【考点题型四】用数轴上的点表示有理数 6 【考点题型五】利用数轴比较有理数的大小 7 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 8 【考点题型七】数轴上的动点问题 10 【考点题型八】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 11 【考点题型九】相反数—化简多重符号 12 【考点题型十】相反数的应用 13 【考点题型十一】化简绝对值 13 【考点题型十二】绝对值得非负性 14 【考点题型十三】绝对值方程及其他应用 16 【考点题型十四】有理数的大小比较 17 期中真题拔高训练15题 18 知识点01：正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02：有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 知识点04：相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 知识点05：绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【考点题型一】正负数的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 【变式1-1】（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)该厂本周星期一生产工艺品的数量为______个； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品? (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【变式1-2】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【考点题型二】有理数的分类 【精讲题】（22-23七年级上·广西桂林·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，0，，， (1)负有理数集合：{__________________} (2)正分数集合：{__________________}． (3)非负整数集合：{__________________}． (4)非负数集合：{__________________}． 【变式2-1】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的集合中： 8，，，，0，，，，． 正数集合{ }； 负数集合{ }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 非负有理数集合{ …}． 【变式2-2】（23-24七年级上·广西崇左·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，． 整数：｛__________________ ｝； 分数：｛__________________ ｝； 负有理数：｛__________________ ｝． 【考点题型三】带“非”字的有理数 【精讲题】（23-24七年级上·福建泉州·期中）请把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，， 正整数集合：{_________}； 负分数集合：{__________}； 自然数集合：{__________}； 非负有理数集合：{__________}． 【变式3-1】（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ } 整数集合：{ } 正分数集合：{ } 非负整数集合：{ } 【变式3-2】（22-23七年级上·四川眉山·期中）把下列各数填在相应的大括号里． ，0.275，，0，，，0.1，，，，． 正整数集合｛                        ｝ 非负整数集合｛                        ｝ 负数集合｛                            ｝ 分数集合｛                            ｝ 非负数集合｛                        ｝ 【考点题型四】用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【变式4-1】（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【变式4-2】（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【考点题型五】利用数轴比较有理数的大小 【精讲题】（20-21七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_____； （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_____； （3）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，，，-（+1.6） 【变式5-1】（18-19七年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子：，，都成立，则原点在　　 A．点A的左侧 B．点A和点B之间 C．点B和点C之间 D．点C的左侧 【变式5-2】（23-24七年级上·湖南永州·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【精讲题】（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【变式6-1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    【变式6-2】（20-21七年级上·福建泉州·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南安阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式7-2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【考点题型八】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（19-20七年级上·北京海淀·期中）已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|    【变式8-1】（2023·北京石景山·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B． C． D． 【变式8-2】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 【考点题型九】相反数—化简多重符号 【精讲题】（19-20七年级上·重庆铜梁·期中）已知，，的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是 ．（请填写序号） 【变式9-1】（15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来． 0，，，， 【考点题型十】相反数的应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【变式10-1】（18-19七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式10-2】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【考点题型十一】化简绝对值 【精讲题】（22-23七年级上·浙江台州·期中），则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【变式11-1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【变式11-2】（15-16七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【考点题型十二】绝对值得非负性 【精讲题】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【变式12-1】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）在数轴上点A、C表示的数分别为a、c，且a、c满足 (1)______，_______； (2)若点A向左运动m个单位长度，此时点A所对应的数为_______．（用含m的式子表示） (3)已知数轴上点B对应的数为，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当x为何值时，的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时的值． 【变式12-2】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【考点题型十三】绝对值方程及其他应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南常德·期中）阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 【变式13-1】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【变式13-2】（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示6与的差的绝对值，也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)若，则 ； (2)利用数轴，若，找出所有符合条件的整数x； (3)由以上探索，对于有理数x，使，写出符合条件的x的值． 【考点题型十四】有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【变式14-1】（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【变式14-2】（21-22七年级上·河北沧州·期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、、用“＜”连接，其中正确的是（    ）    A． B． C． D． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•海沧区期中）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•江北区校级期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是　　 A．2 B． C． D． 3．（2023秋•鲤城区校级期中）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•三元区期中）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 二．填空题 6．（2016秋•郫都区期中）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　　． 7．（2022秋•思明区校级期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 　　． 8．（2019秋•红安县期中）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 　　． 9．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 10．（2023秋•海曙区校级期中）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　　站台”． 三．解答题 11．（2023秋•阿城区期中）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0． （2）化简：． 12．（2018秋•殷都区期中）邮递员从邮局出发，先向西骑行到达村，继续骑行到达村，然后向东行骑行到达村，最后回到邮局． （1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，为1个单位长度的数轴上表示出、、三个村庄的位置； （2）村离村有多远？ （3）邮递员一共行驶了多少千米？ 13．（2023秋•西城区校级期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 14．（2020秋•高新区校级期中）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，，点，之间距离为12个单位长度，点，之间距离为个单位长度． （1）若，互为相反数，且，则　　； （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．当，两点到点的距离相等时，求，两点出发的时间． 15．（2023秋•柘城县期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于、两地之间且距地，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地时停止运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点． （1）以点为坐标原点，以从到为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点所表示的有理数； （2）在（1）的数轴上，求时点表示的有理数； （3）当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 有理数 （17个考点梳理+14个题型解读+真题拔高15题） 题型清单目录 【考点题型一】正负数的实际应用 3 【考点题型二】有理数的分类 6 【考点题型三】带“非”字的有理数 8 【考点题型四】用数轴上的点表示有理数 10 【考点题型五】利用数轴比较有理数的大小 12 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 14 【考点题型七】数轴上的动点问题 18 【考点题型八】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 21 【考点题型九】相反数—化简多重符号 24 【考点题型十】相反数的应用 25 【考点题型十一】化简绝对值 27 【考点题型十二】绝对值得非负性 31 【考点题型十三】绝对值方程及其他应用 36 【考点题型十四】有理数的大小比较 41 期中真题拔高训练15题 43 知识点01：正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 知识点02：有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 知识点03：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 知识点04：相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 知识点05：绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 知识点06：有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则： 同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【考点题型一】正负数的实际应用 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 【答案】(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是15千米 (3)从岗亭到A处共耗油33.5升 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．（1）求出记录数据之和，即可作出判断；（2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可；（3）求出各数据绝对值之和，乘以0.5即可得到结果． 【规范解答】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是15千米； （3）根据题意得： （千米）， ∵摩托车行驶1千米耗油0.5升， ∴（升）， 答：从岗亭到A处共耗油升． 【变式1-1】（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)该厂本周星期一生产工艺品的数量为______个； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品? (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元，试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.65 【思路点拨】（）根据表格将与相加即可求得周一的产量； （）由表格中的数字可知星期六产量最高，星期天产量最低，用星期六对应的数字与相加求出产量最高的量，同理用星期天对应的数字与相加求出产量最低的量，两者相减即可求出所求的个数； （）由表格中的增减情况，把每天对应的数字相加，利用互为相反数的两数和为，且根据同号及异号两数相加的法则计算后，与与的积相加即可得到工艺品一周共生产的个数； （）用乘以单价元，加超额的个数乘以，减不足的个数乘以，即为一周工人的工资总额． 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）周一的产量为：个； （2）由表格可知：星期六产量最高为（个），星期日产量最低为（个）， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）； （3）根据题意得一周生产的工艺品为： （个）， 答：服装厂这一周共生产工艺品个； （4）， ， （元）， 则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：（元）， 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 【变式1-2】（23-24七年级上·陕西榆林·期中）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【难度】0.65 【思路点拨】（1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【规范解答】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米， （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 【考点评析】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． 【考点题型二】有理数的分类 【精讲题】（22-23七年级上·广西桂林·期中）把下列各数填在相应的集合内： ，，，，0，，， (1)负有理数集合：{__________________…} (2)正分数集合：{__________________…}． (3)非负整数集合：{__________________…}． (4)非负数集合：{__________________…}． 【答案】(1)，，， (2)， (3)，0 (4)，0，， 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据负有理数的意义进行解答即可； （2）根据正分数的意义进行解答即可； （3）根据非负整数的意义进行解答即可； （4）根据非负数的意义进行解答即可． 【规范解答】（1），，，， 负有理数集合：{，，，，…} （2）正分数集合：{，…}． （3）非负整数集合：{，0，…}． （4）非负数集合：{，0，，…}． 故答案为：，，，；，；，0；，0，， 【变式2-1】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的集合中： 8，，，，0，，，，． 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负有理数集合{ …}． 【答案】8，，，，；，，；8，， 0，；，， ，， ；8，，0，，，； 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查有理数的分类，根据有理数的定义直接逐个分类即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得， 正数集合{8，，，， }； 负数集合{，，}； 整数集合{8，， 0， }； 分数集合{ ，， ，， }； 非负有理数集合{8，，0，，，}． 【变式2-2】（23-24七年级上·广西崇左·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，，，，，，． 整数：｛__________________...｝； 分数：｛__________________...｝； 负有理数：｛__________________...｝． 【答案】，，0；0.04，，，，，；，，，． 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查整数、分数、有理数的定义，根据整数、分数、有理数的定义进行解答即可． 【规范解答】解：整数：｛，，0｝； 分数：｛0.04，，，，，｝； 负有理数：｛，，，｝． 【考点题型三】带“非”字的有理数 【精讲题】（23-24七年级上·福建泉州·期中）请把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，， 正整数集合：{__________…}； 负分数集合：{__________…}； 自然数集合：{__________…}； 非负有理数集合：{__________…}． 【答案】；，；，；，，，． 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【规范解答】根据有理数的分类及定义有： 正整数集合：{    ，…}； 负分数集合：{ ，…}； 自然数集合：{ ，…}； 非负有理数集合：{ …}； 故答案为：；，；，；，，，． 【变式3-1】（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【答案】见解析 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、分数、非负整数的定义进行分类即可． 【规范解答】解：正数集合：，，，，，； 整数集合：，，，； 正分数集合：，，，； 非负整数集合：，． 【变式3-2】（22-23七年级上·四川眉山·期中）把下列各数填在相应的大括号里． ，0.275，，0，，，0.1，，，，． 正整数集合｛                        ……｝ 非负整数集合｛                        ……｝ 负数集合｛                            ……｝ 分数集合｛                            ……｝ 非负数集合｛                        ……｝ 【答案】；；；； 【难度】0.65 【思路点拨】根据正整数、非负整数、负数、分数、非负数等概念，将相应的数填入大括号里即可． 【规范解答】解：， 正整数集合为：； 非负整数集合为：； 负数集合为：； 分数集合为：； 非负数集合为：； 故答案为：；；；； 【考点评析】此题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的相关概念以及有理数的分类是解答此题的关键． 【考点题型四】用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【难度】0.85 【思路点拨】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，解答此类问题时要注意在数轴上表示各数时要用原数． 先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 【规范解答】解：如图所示： ∴． 【变式4-1】（22-23七年级上·浙江湖州·期中）下面的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数有（    ）个． A． B． C．9 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【思路点拨】本题考查了数轴．熟练掌握数轴是解题的关键． 根据在数轴上表示有理数进行作答即可． 【规范解答】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共9个， 故选：C． 【变式4-2】（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【难度】0.4 【思路点拨】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【规范解答】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【考点评析】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 【考点题型五】利用数轴比较有理数的大小 【精讲题】（20-21七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，数轴上的刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_____； （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_____； （3）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，，，-（+1.6） 【答案】（1）4；（2）2或6；（3）数轴表示见解析，-2<-（+1.6）<|-1.5|<2.5<5． 【难度】0.4 【思路点拨】（1）根据点A表示-3即可确定原点位置，然后根据数轴确定点B的坐标即可； （2）分两种情况即可求解； （3）先在数轴上确定各数的点的位置，然后再根据数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大，最后用"<"号把这些数连接起来即可． 【规范解答】解：（1）如图，O为原点，点B所表示的数是4; 故答案为4； （2）点C表示的数为4-2=2或4+2=6. 故答案为：2或6； （3）把下列各数在数轴上表示如图： 由数轴可知：-2<-（+1.6）<|-1.5|<2.5<5． 【考点评析】本题主要考查了有理数的比较大小和数轴的应用，在数轴上确定各数所表示的点的位置是解答本题的关键． 【变式5-1】（18-19七年级上·江苏南京·期中）如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子：，，都成立，则原点在　　 A．点A的左侧 B．点A和点B之间 C．点B和点C之间 D．点C的左侧 【答案】C 【难度】0.4 【思路点拨】根据数轴可以得到a、b、c的关系，然后根据题目中的条件，可以得到点原点在什么位置，本题得以解决． 【规范解答】解：由数轴可得， a＜b＜c，|b-a|＜|c-b|， ∵a+c＜0， ∴c＞0，a＜0且|a|＞|c|， ∵|b|＜|c|，a+b＜0， ∴b＜0， ∴原点位于点B和点C之间， 故选C． 【考点评析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出原点的位置． 【变式5-2】（23-24七年级上·湖南永州·期中）点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 【答案】(1)，1； (2)标出位置见解析，． 【难度】0.65 【思路点拨】（1）本题考查数轴上的点表示的数，根据数轴上A、B所在的位置，即可解题； （2）本题主要考查了用数轴表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，根据数轴表示数的方法在数轴上表示出C、D的位置，然后进行比较大小即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，1； （2）解：数轴表示如下图所示： ． 【考点题型六】数轴上两点之间的距离 【精讲题】（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【规范解答】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【变式6-1】（23-24七年级上·浙江温州·期中）一把刻度尺的部分在数轴上的位置摆放如图所示，若刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和，现将该刻度尺沿数轴向右平移个单位，则刻度尺上对应数轴上的数为 ．    【答案】 【难度】0.65 【思路点拨】通过两点间的距离比求出数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离，进而求刻度“”在数轴对应的数及符号，最后通过“左加右减”即可求解． 本题主要考查了数轴与刻度尺，解题关键是求出一个单位长度代表多少厘米． 【规范解答】解：因为刻度尺上的刻度“”和“”分别对应数轴上的和， ∴刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离是，是刻度尺上刻度“”与刻度“”之间的距离的倍； 而数轴上刻度“”和“”之间的数轴距离是， 所以数轴上刻度“”与刻度“”之间的距离是，由于刻度“”在数轴的左边，属于负数，所以对应的数应为，向右平移个单位后为． 故刻度尺上对应数轴上的数为． 故答案为：． 【变式6-2】（20-21七年级上·福建泉州·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【难度】0.4 【思路点拨】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【规范解答】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 【考点题型七】数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【难度】0.65 【思路点拨】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【规范解答】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南安阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了利用数轴解决问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律． 找出在翻转的过程中，顶点A、B、C、D分别对应数的规律，再根据可以得到答案． 【规范解答】∵每4次翻转为一个循环组依次循环， ∴， ∴翻转2016次后正方形在数轴上的方向和题干中一致， ∴此时点A对应的数为2016 ∴翻转2017次后，数轴上数2017所对应的点是B． ∴翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是C． ∴翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是D． 故选D． 【变式7-2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.4 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【规范解答】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 【考点题型八】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（19-20七年级上·北京海淀·期中）已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b| （1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数． （2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|    【答案】（1）图详见解析,﹣b＜a＜﹣a＜b；（2）0 【难度】0.4 【思路点拨】（1）根据已知得出a＜0，b＞0，|b|＞|a|，再在数轴上标出即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）   ﹣b＜a＜﹣a＜b； （2）∵有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|， ∴2a-b＜0，2b-a＞0， ∴|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b| ＝﹣2a+b﹣（2b﹣a）+（a+b） ＝﹣2a+b﹣2b+a+a+b ＝0． 【考点评析】此题考查有理数的大小比较，正确理解数的正负性、绝对值的性质是解题的关键. 【变式8-1】（2023·北京石景山·一模）实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（　　） A．a的相反数大于2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到． 由图得，且，可知，然后逐项判断即可． 【规范解答】解：由图得，且， ∴，D正确，不符合题意； ∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意； a的相反数大于2即是，故B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 【答案】(1)①；②； (2)A 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断大小关系； （2）根据，，可判断出m和n异号，进而可得p为正数，结合可得n为负数． 【规范解答】（1）解：①由数轴可知； ②由数轴可知，， ，， 故答案为：，； （2）解：，， m和n异号， 由数轴可知m，n，p中有两个正数，一个负数， p为正数， ， ， n为负数， 表示有理数n的为点A． 故答案为：A． 【考点题型九】相反数—化简多重符号 【精讲题】（19-20七年级上·重庆铜梁·期中）已知，，的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】②③⑤ 【难度】0.4 【思路点拨】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案. 【规范解答】由图可得，b<0，0<a<c ∴b+a+(-c)<0，故①错误；-a-b+c>0，故②正确；，故③正确；，故④错误；，故⑤正确；故答案为②③⑤. 【考点评析】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识. 【变式9-1】（15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【规范解答】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式9-2】．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来． 0，，，， 【答案】见解析 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了利用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，化简多重符号，比较有理数的大小，正确理解数轴上的点与有理数的对应关系是解题的关键．正确在数轴上表示各数，再由左到右用“<”连接即可． 【规范解答】解：，，， 在数轴上表示下列各数： ． 【考点题型十】相反数的应用 【精讲题】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【规范解答】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 【变式10-1】（18-19七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法：① 平方等于64的数是8；② 若a，b互为相反数，ab≠0,则；③ 若，则的值为负数；④ 若ab≠0，则的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是0.正确的个数为(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.4 【思路点拨】根据平方、相反数的定义、绝对值的性质依次判定各项后即可解答. 【规范解答】① 平方等于64的数是±8； ② 若a，b互为相反数，ab≠0,则； ③ 若，可得a≥0，则的值为负数或0； ④ 若ab≠0，当a>0，b>0时，=1+1=2；当a>0，b<0时，=1-1=0；当a<0，b>0时，=-1+1=0；当a<0，b<0时，=-1-1=-2；所以的取值在0，1，2，－2这四个数中，不可取的值是1. 综上，正确的结论为②，故选B. 【考点评析】本题考查了平方的计算、相反数的定义及绝对值的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键. 【变式10-2】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【思路点拨】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【规范解答】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． 【考点题型十一】化简绝对值 【精讲题】（22-23七年级上·浙江台州·期中），则化简的结果为（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，掌握负数的绝对值等于这个数的相反数是解题的关键． 先根据已知条件化简绝对值，然后进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式11-1】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为 例如，，则和关于的“相对关系值”为． 若和关于的“相对关系值”为l，和关于的“相对关系值”为，和关于的“相对关系值”为，…，和关于的“相对关系值”为． (1)的最大值为______； (2)直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或或或 【难度】0.65 【思路点拨】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据，的取值范围，分情况讨论即可求解； （2）由题意得，，，，，对，分情况讨论，分别计算求出满足要求的解即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：， 当，时，，则； 当，时，，则，， 当，时，，则，， 当，时，，则； 综上所述，的最大值为 （2）解：由题意得：， ，，，， 当时，， 解得：， 同理，，，，， ， 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，，， ， 当时，由题意得，，， ，即， 同理，，，， ； 当，时， ，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，， ， 综上所述，的值为或或或 【变式11-2】（15-16七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【难度】0.4 【思路点拨】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【规范解答】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 【考点题型十二】绝对值得非负性 【精讲题】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且a，c满足，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A，C之间，且满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合． (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①的最小值为_____，此时x可以取_____；（写出满足条件的一个数即可） ②当代数式取得最小值时，_____，最小值为_____． 【答案】(1)；1；9； (2)； (3)①6，中任一个数都可以；②1，12． 【难度】0.65 【思路点拨】（1）根据题意及非负数的性质求解即可； （2）先求出的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 故答案为：；1；9； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数表示的点重合， 故答案为：； （3）①表示数轴上的点到5和-1的距离之和， ∴的最小值为， 此时x可以取的值为中任一个数都可以； 故答案为：6；（中任一个数都可以）； ②由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【考点评析】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式12-1】（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）在数轴上点A、C表示的数分别为a、c，且a、c满足 (1)______，_______； (2)若点A向左运动m个单位长度，此时点A所对应的数为_______．（用含m的式子表示） (3)已知数轴上点B对应的数为，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．当x为何值时，的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时的值． 【答案】(1)，2 (2) (3)当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时BC﹣AB的值为2 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查的是列代数式，数轴，绝对值，偶次方，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据非负数的性质分别求出，即可； （2）根据右移加即可求解； （3）运动秒后，点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为，根据两点间的距离公式和整式的加减计算即可求解． 【规范解答】（1）由题意得，， 解得，． 故答案为：，2； （2）若点向左运动个单位长度，此时点所对应的数为． 故答案为：； （3）运动秒后，点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为． ， ， ， 的值不会随着时间的变化而变化， ， 解得， 此时． 当时，的值不会随着时间的变化而变化，此时的值为2． 【变式12-2】（23-24七年级上·天津滨海新·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题：    (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： (3)在（1）（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点A以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设经过秒钟过后，若点B与点之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；1；6 (2)8 (3)不变；3 【难度】0.65 【思路点拨】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2）首先确定的取值范围，再化简绝对值即可； （3）根据题意，用表示出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为， 由（1）可知，，，， ∴点A表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是6， ∵根据题意，点P在B、C间运动， ∴， ∴； （3）解：不变，理由如下： 根据题意，当经过秒钟过后， 点A表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 由题意，， ∴， ∴的值不变，． 【考点评析】本题主要考查了非负数的性质、化简绝对值、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及数轴上动点问题等知识，熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 【考点题型十三】绝对值方程及其他应用 【精讲题】（23-24七年级上·湖南常德·期中）阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 【答案】(1)1或 (2)1 (3)1025156 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）根据绝对值的几何意义，即可作答． （2）先表示的几何意义，再结合数轴，即可作答． （3）线表示的几何意义，找到和2023的中点，当，取得最小值，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，即或， 解得或， 则x的值是1或， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：1； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，⋅⋅⋅2023的点的距离的和， ∴当位于和2023的中点时，即 ∴当时，最小， 最小值为： ． 【变式13-1】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【难度】0.65 【思路点拨】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【规范解答】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 【变式13-2】（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示6与的差的绝对值，也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)若，则 ； (2)利用数轴，若，找出所有符合条件的整数x； (3)由以上探索，对于有理数x，使，写出符合条件的x的值． 【答案】(1)8或 (2)，，，0，1，2 (3)或4 【难度】0.65 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的两点间的距离，绝对值，分类思想，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意，或，计算即可． （2）根据题意，，确定，确定整数解即可． （3）分，，三种情况，解方程即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得或， 解得或， 故答案为：8或． （2）解：当时， ， 此时，符合题意的整数有，，，0，1，2； 当时， ，不是常数， 此时，不符合题意； 当时， ，不是常数， 此时，不符合题意； 故满足题意的x的整数解为，，，0，1，2． （3）解：当时， ， 此时，不符合题意 当时， ， ∵， ∴ 解得，符合题意； 当时， ， ∵， ∴ 解得，符合题意； 故x的值为或4． 【考点题型十四】有理数的大小比较 【精讲题】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)、、； (3)． 【难度】0.65 【思路点拨】（）根据点表示的数即可求出，根据是负数且到原点的距离为可以得出的值； （）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可； 本题考查了有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的大小法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由图可得，， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为， ∴， 故答案为：，； （2）解：为，，； （3）解：，， 各数在数轴上表示为： 由数轴可得，． 【变式14-1】（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【思路点拨】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可； （2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可． 【规范解答】（1）由数轴可知，①；    ②；    ③；    ④； 故答案为：． （2）由数轴可知： （3），，， ， ， ． 【考点评析】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 【变式14-2】（21-22七年级上·河北沧州·期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、、用“＜”连接，其中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【思路点拨】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“<”连接； 【规范解答】令 ，则 ， 则可得：； 故选：C 【考点评析】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识，同学们注意赋值法的运用，这可以给我 们解题带来很大的方便 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•海沧区期中）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，，下列说法错误的是　　 A． B． C． D． 解：、，， ，， ， 故正确，不符合题意； 、，， ， 故正确，不符合题意； 、，， ， 故正确，不符合题意； 、，， ， 故不正确，符合题意． 故选：． 2．（2022秋•江北区校级期中）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是　　 A．2 B． C． D． 解：像5和这样，只有符合不同的两个数叫做相反数， 的相反数是2． 故选：． 3．（2023秋•鲤城区校级期中）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为　　 A． B． C． D． 解：，点所表示的数为， 点表示的数为：， ， 点所表示的数为：， 故答案为：． 4．（2023秋•三元区期中）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 解：根据数轴可得，且 ，，，故，，错误， ，， ，，则， ，故选项正确． 故选：． 5．（2023秋•鲤城区校级期中）如，2，，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，1，，我们说．已知集合，0，，集合，若，则的值是　　 A．2 B． C． D． 解：由题意知，0，，由互异性可知，，． 因为，， 由，可得，， 所以，即， 那么就有或者， 当得， 当无解． 所以当时，，0，，，，， 此时符合题意． 所以． 故选：． 二．填空题 6．（2016秋•郫都区期中）如图，数轴上，两点表示的数是互为相反数，且点与点之间的距离为4个单位长度，则点表示的数是 　　． 解：， 则这两个数是和． 故答案为：． 7．（2022秋•思明区校级期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 　　． 解：， 数轴的单位长度是0.6厘米， ， 在数轴上，的距离是3个单位长度， 点所对应的数为． 故答案为：． 8．（2019秋•红安县期中）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数，为整数），例如：，，．当时，化简的结果是 　，，0　． 解：①时， ； ②时， ； ③时， ． 故的结果是，，0． 故答案为：，，0． 9．（2023秋•钟祥市期中）有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 解：由数轴知，，， ，，， 原式， 故答案为：． 10．（2023秋•海曙区校级期中）电影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影的方法可称为“　或6　站台”． 解：， ， ； 或， ． 故站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 三．解答题 11．（2023秋•阿城区期中）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0． （2）化简：． 解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 12．（2018秋•殷都区期中）邮递员从邮局出发，先向西骑行到达村，继续骑行到达村，然后向东行骑行到达村，最后回到邮局． （1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，为1个单位长度的数轴上表示出、、三个村庄的位置； （2）村离村有多远？ （3）邮递员一共行驶了多少千米？ 解：（1）； （2）村离村的距离为； （3）邮递员一共行驶了（千米）． 13．（2023秋•西城区校级期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、3、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． （1）若，则　1　； （2）若，求的值； （3）若点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为秒，试判断：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 解：（1）由数轴可得：若，则； 故答案为：1； （2） 分3种情况 ①若点在点左侧 ， ， ②若点在点右侧 ， ③若点在点、之间 这与题目条件矛盾 综上所述的值为或5． （3）， ， ， 的值不会随着的变化而变化． 14．（2020秋•高新区校级期中）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，，点，之间距离为12个单位长度，点，之间距离为个单位长度． （1）若，互为相反数，且，则　8　； （2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动．当，两点到点的距离相等时，求，两点出发的时间． 解：（1），，互为相反数， ，． ， ． 故． （2）由题意得：表示的数是，表示的数是； 当、两点在的异侧时，， 解得：； 当、两点在的同侧时，， 解得：； 所以、两点出发的时间是1秒或4秒． 15．（2023秋•柘城县期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于、两地之间且距地，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地时停止运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点． （1）以点为坐标原点，以从到为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点所表示的有理数； （2）在（1）的数轴上，求时点表示的有理数； （3）当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． 解：（1）因为千米，且一个单位长度表示，所以点所表示的有理数是； （2） 所以时，点所表示的有理数是0.5； （3）①当小明在点的左边时， ②当小明在点的右边时， ③同法可得返回时，时或1.8时 答，当小明距离地时，的值是0.2或0.6或1.4或1.8时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$