专题2.3 实数【9大题型】-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题分类必刷清单（北师大版）

专题2.2 实数【9大题型】（北师大版） 题组一 实数分类 1 题组二 实数的性质 1 题组三 实数大小比较 2 题组四 实数估值 2 题组五 无理数整数部分与小数部分 3 题组六 实数与数轴 3 题组七 实数的运算 4 题组八 实数规律探究 5 题组九 实数新定义运算 6 题组一 实数分类 1．下列实数3.1415，π，，﹣0.020020002，0.10110111011110⋯（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列实数中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．在﹣π，，0，，，﹣2.5656656665…（相邻两个5之间6的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在数：3.14159，﹣1.010010001…，﹣7，中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在下列实数中，、，0、π、﹣3.14、，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题组二 实数的性质 6．下列各组数中互为相反数的一组是（　　） A．﹣|﹣2|与 B．﹣4与﹣ C．﹣与|| D．﹣与﹣|﹣| 7．下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B．2 C． D． 8．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与﹣ D．|﹣3|与3 9．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．﹣与2 D．|﹣2|和2 10．实数﹣24的倒数是（　　） A． B．24 C． D．﹣24 题组三 实数大小比较 11．下列实数中，最小的是（　　） A．0 B．﹣π C． D．﹣3 12．已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 13．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 14．已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 15．比较2，3，的大小，正确的是（　　） A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜ 题组四 实数估值 16．估计的值应在（　　） A．43和44之间 B．44和45之间 C．45和46之间 D．46和47之间 17．下列整数中，与最接近的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 18．若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．若整数a，b满足，，则a﹣b＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 20．估计的值在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 题组五 无理数整数部分与小数部分 21．若的小数部分是a，则的值是（　　） A． B． C． D． 22．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 23．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 24．已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 25．设（2）的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是（　　） A．2+1 B．2﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3 题组六 实数与数轴 26．如图，已知Rt△ABC的直角边BC在数轴上，其中AB为2个单位长度．AD为∠BAC的角平分线，则点D所应数轴上的数是 　 　． 27．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AB＝AE，则数轴上点E所表示的数为 　 　． 28．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　 　． 29．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是 　 　． 30．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是　 　． 题组七 实数的运算 31．计算： （1）； （2）． 32．计算： （1）； （2）． 33．计算： （1）． （2）． 34．计算： （1）； （2）． 35．计算：（1）； （2）． 题组八 实数规律探究 36．阅读下列解题过程： ；…… （1）计算：＝　 　（2）按照你所发现的规律，猜想：＝　 　（n为正整数）； （3）计算： 37．观察下列各式并解答问题： ；；…… （1）计算：； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）． 38．观察下列各式： ＝1+…①＝1+…②＝1+…③请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律＝　 　； （2）计算 +++…+． 39．【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：＝　 　； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值．． 题组九 实数新定义运算 40．对于任意实数a，b，我们规定：G（a，b）＝a2+b2，H（a，b）＝ab，例如：G（1，2）＝12+22＝5，H（2，﹣3）＝2×（﹣3）＝﹣6． （1）填空： ①G（﹣4，2）＝　 　； ②若H（﹣5，x）＝20，则x＝　 　； （2）若x+y＝5，且G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20，求xy与（x﹣y）2的值． 41．对于有序实数对（a，b），（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下：（a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如：（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（4，1）⊕（﹣2，3）的值； （2）若（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 42．我们规定运算n（a，b）的结果为．部分情况下没有结果x2，此时规定x2＝﹣x1． （1）计算n1（2，8）+n2（6，2）的值． （2）存不存在0＜a＜4时，x1+x2＝0？若存在，请举一例；若不存在，请说明理由． 43．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与虚数无法合并） （1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　； （2）已知a﹣b＝1，（a+i）i+bi+1＝3i，求a2﹣b2（i2+i3+i4+⋯+i2023+i2024）的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 实数【9大题型】（北师大版） 题组一 实数分类 1 题组二 实数的性质 2 题组三 实数大小比较 2 题组四 实数估值 5 题组五 无理数整数部分与小数部分 7 题组六 实数与数轴 8 题组七 实数的运算 8 题组八 实数规律探究 12 题组九 实数新定义运算 12 题组一 实数分类 1．下列实数3.1415，π，，﹣0.020020002，0.10110111011110⋯（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：3.1415，，﹣0.020020002是有理数，共3个． 故选：C． 2．下列实数中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 故选：B． 3．在﹣π，，0，，，﹣2.5656656665…（相邻两个5之间6的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解答】解：﹣π，，﹣2.5656656665…（相邻两个5之间6的个数逐次加1），这3个是无理数． 故选：A． 4．在数：3.14159，﹣1.010010001…，﹣7，中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：无理数有：﹣1.010010001…，π，共2个， 故选：B． 5．在下列实数中，、，0、π、﹣3.14、，有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在下列实数中，、，0、π、﹣3.14、，有理数有、0、﹣3.14、共4个， 故选：D． 题组二 实数的性质 6．下列各组数中互为相反数的一组是（　　） A．﹣|﹣2|与 B．﹣4与﹣ C．﹣与|| D．﹣与﹣|﹣| 【解答】解：A、∵﹣|﹣2|＝﹣2，＝﹣2， ∴﹣|﹣2|＝， 故A不符合题意； B、﹣＝﹣4，故B不符合题意； C、∵||＝， ∴﹣与互为相反数， 故C符合题意； D、∵﹣|﹣|＝﹣ 故D不符合题意； 故选：C． 7．下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：A、，﹣1的倒数是﹣1，故本选项符合题意； B、2的倒数为，故本选项不符合题意； C、的倒数为，故本选项不符合题意； D、的倒数为2，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．3与﹣ D．|﹣3|与3 【解答】解：A．﹣3与＝3，两数是互为相反数，故此选项符合题意； B．﹣3与＝﹣3，两数相等，故此选项不合题意； C．3与﹣，两数不是互为相反数，故此选项不合题意； D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意； 故选：A． 9．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．﹣与2 D．|﹣2|和2 【解答】解：A、﹣2与＝2，符合相反数的定义，故选项正确； B、﹣2与＝﹣2不互为相反数，故选项错误； C、﹣与2不互为相反数，故选项错误； D、|﹣2|＝2，2与2不互为相反数，故选项错误． 故选：A． 10．实数﹣24的倒数是（　　） A． B．24 C． D．﹣24 【解答】解：实数﹣24的倒数是， 故选：A． 题组三 实数大小比较 11．下列实数中，最小的是（　　） A．0 B．﹣π C． D．﹣3 【解答】解：﹣π＜＜﹣3＜﹣＜0． 所以最小的数是﹣π． 故选：B． 12．已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【解答】解：a＝ ＝， b＝ ＝， c＝ ＝， ∵＞＞， ∴＜＜， 即a＜b＜c， 故选：A． 13．下列各式比较大小正确的是（　　） A． B． C．﹣π＜﹣3.14 D． 【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确； B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误； C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确； D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误． 故选：C． 14．已知a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣，那么a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【解答】解：∵＝＝，＝＝+，c＝＝+， ∴＞＞， ∵a，b，c都是正数， ∴a＜b＜c， 故选：A． 15．比较2，3，的大小，正确的是（　　） A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜ 【解答】解：， ∵7＜8＜9， ∴， 故选：C． 题组四 实数估值 16．估计的值应在（　　） A．43和44之间 B．44和45之间 C．45和46之间 D．46和47之间 【解答】解：∵1936＝442＜2019＜2025＝452， ∴44＜＜45． 故选：B． 17．下列整数中，与最接近的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵π﹣4＜0， ∴． ∵4﹣π最接近1， ∴与最接近的是1． 故选：C． 18．若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴整数a的值可为3或4或5， ∴整数a的值不可能为2． 故选：A． 19．若整数a，b满足，，则a﹣b＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【解答】解：∵1＜＜3，2＜＜3，3＜＜4，而整数a，b满足，， ∴a＝2，b＝3， ∴a﹣b＝2﹣3＝﹣1． 故选：B． 20．估计的值在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【解答】解：原式＝+＝6+， ∵16＜18＜25， ∴4＜＜5， ∴10＜6+＜11， 即原式的值在10和11之间， 故选：D． 题组五 无理数整数部分与小数部分 21．若的小数部分是a，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵3＜＜4， ∴的整数部分是3，小数部分是﹣3， ∴原式＝＝＝， 故选：B． 22．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a+b＝1． 故答案为：B． 23．已知的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2023的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．10 D．36 【解答】解：∵， ∴， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴ ∴， 故选：A． 24．已知a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分，那么2a﹣b的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b分别是6﹣的整数部分和小数部分， ∴b＝4﹣， ∴2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝． 故选：C． 25．设（2）的整数部分是m，小数部分是n，则n的值是（　　） A．2+1 B．2﹣1 C．2﹣2 D．2﹣3 【解答】解：（2）＝， ∵， 即， ∴， 又∵ ∴， ∴的整数部分是m＝4，小数部分是n＝， 故选：D． 题组六 实数与数轴 26．如图，已知Rt△ABC的直角边BC在数轴上，其中AB为2个单位长度．AD为∠BAC的角平分线，则点D所应数轴上的数是 　﹣2　． 【解答】解：∵AB＝2，BC＝4， ∴AC＝＝＝2， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴，即， 解得：BD＝﹣1． ∴点D在数轴上表示的数为：﹣1+﹣1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 27．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AB＝AE，则数轴上点E所表示的数为 　﹣1+　． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴AB＝． ∴AE＝AB＝． ∵A的坐标为﹣1，E在点A的右侧， ∴E的坐标为﹣1+． 故答案为：﹣1+． 28．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 　　． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴，不符合题意； ∵4＜7＜9， ∴，不符合题意； ∵9＜11＜16， ∴，符合题意； ∵16＜24＜25， ∴，不符合题意； 故答案为：． 29．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是 　1　． 【解答】解：由题图可得﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， ∴a﹣b＜0，1﹣a＞0，b﹣2＜0， ∴|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2| ＝﹣（a﹣b）﹣（1﹣a）﹣（b﹣2） ＝﹣a+b﹣1+a﹣b+2 ＝1． 故答案为：1． 30．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是　4+或6﹣或2﹣．　． 【解答】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7． 与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣． 第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1． 此时与数轴上的点C重合的点表示的数为： 5+（5﹣6+）＝4+． 或1﹣（﹣1）＝2﹣ 故答案为：4+或6﹣或2﹣． 题组七 实数的运算 31．计算： （1）； （2）． 【解答】解（1）：原式＝ ＝﹣9+2+（﹣1） ＝﹣9+2﹣1 ＝﹣8； （2）原式＝﹣1+4﹣6÷（﹣2） ＝﹣1+4﹣（﹣3） ＝﹣1+4+3 ＝6． 32．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝4+﹣ ＝4+﹣ ＝4++ ＝； （2） ＝﹣1+π﹣3+4﹣π﹣+6 ＝﹣1+π﹣3+4﹣π﹣+1+6 ＝7﹣． 33．计算： （1）． （2）． 【解答】解：（1） ＝6+1﹣5 ＝2； （2） ＝ ＝ ＝． 34．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣1﹣3+4 ═﹣1； （2）原式＝3+2+﹣2+2﹣1 ＝6﹣1． 35．计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣16×（﹣1）+2﹣5 ＝16+2﹣5 ＝13； （2）原式＝2×﹣（2﹣）+9﹣3 ＝1﹣2++9﹣3 ＝5+． 题组八 实数规律探究 36．阅读下列解题过程： ；…… （1）计算：＝　　（2）按照你所发现的规律，猜想：＝　　（n为正整数）； （3）计算： 【解答】解：（1） ＝ ＝， 故答案为：； （2）依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）原式＝ ＝． 37．观察下列各式并解答问题： ；；…… （1）计算：； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）． 【解答】解：（1）∵， ， ， …… ∴； （2）根据（1）得到， 证明： ＝ ＝ ＝ ＝． 38．观察下列各式： ＝1+…①＝1+…②＝1+…③请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律＝　1+　； （2）计算 +++…+． 【解答】解：（1）由规律可得规律＝1+， 故答案为：1+； （2）原式＝1++1++1++1++……+1+ ＝2023+（1+﹣+﹣+﹣+……+﹣） ＝2023+（1﹣） ＝2023+ ＝2023． 39．【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：＝　　； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【解答】解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ＝ ＝ ＝； （3）∵符合， ∴2n﹣1＝4047， ∴n＝2024， ∴． 题组九 实数新定义运算 40．对于任意实数a，b，我们规定：G（a，b）＝a2+b2，H（a，b）＝ab，例如：G（1，2）＝12+22＝5，H（2，﹣3）＝2×（﹣3）＝﹣6． （1）填空： ①G（﹣4，2）＝　20　； ②若H（﹣5，x）＝20，则x＝　﹣4　； （2）若x+y＝5，且G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20，求xy与（x﹣y）2的值． 【解答】解：（1）①由题知， G（﹣4，2）＝（﹣4）2+22＝20． 故答案为：20． ②由H（﹣5，x）＝20得， ﹣5x＝20， 解得x＝﹣4． 故答案为：﹣4． （2）由G（x，2y）+H（3，﹣y2）＝20得， x2+（2y）2+3×（﹣y2）＝20， 整理得，x2+y2＝20． 又因为x+y＝5， 所以xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）]＝＝， （x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣＝25﹣10＝15． 41．对于有序实数对（a，b），（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下：（a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如：（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（4，1）⊕（﹣2，3）的值； （2）若（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 【解答】解：（1）由题意得：（4，1）⊕（﹣2，3） ＝4×（﹣2）+1×3 ＝﹣8+3 ＝﹣5； （2）∵（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4， ∴4x﹣3y＝﹣4①， ∵（x，1）⊕（2，y）＝3， ∴2x+y＝3②， ∴①﹣②得：2x﹣4y＝﹣7， 解得：， ∴x+y＝． 42．我们规定运算n（a，b）的结果为．部分情况下没有结果x2，此时规定x2＝﹣x1． （1）计算n1（2，8）+n2（6，2）的值． （2）存不存在0＜a＜4时，x1+x2＝0？若存在，请举一例；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，n1（2，8）＝+4×2×8﹣2×2﹣8＝2+64﹣，n2（6，2）＝36+4×6×﹣7×4＝24+8， ∴n1（2，8）+n2（6，2）＝2+64﹣+24+8 ＝26+72.0078125． （2）由题意，b＝0， 又∵x1+x2＝0， ∴a2﹣2＝0． ∴a＝． 故a＝，b＝0． 43．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与虚数无法合并） （1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　； （2）已知a﹣b＝1，（a+i）i+bi+1＝3i，求a2﹣b2（i2+i3+i4+⋯+i2023+i2024）的值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：i3＝﹣i，i4＝1； 故答案为：﹣i，1； （2）∵（a+i）i+bi+1＝3i， ∴ai+i2+bi+1＝3i ∴（a+b﹣3）i＝0 ∴a+b﹣3＝0 ∴a+b＝3， ∴， 解得：， ∵i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0， 则原式＝4﹣i（i+i2+i3+...+i2022+i2023） ＝4﹣i[（i﹣1﹣i+1）+i4（i﹣1﹣i+1）+...+i2016（i﹣1﹣i+1）+i2020（i﹣1﹣i）] ＝4+i． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$